排列組合中的分組分配問題

楊建國(guó)

【關(guān)鍵詞】分組；均勻；不均勻；分配

n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同的對(duì)象，稱為分配問題

排列組合應(yīng)用題中的分配分組問題，是一類抽象難懂的問題，包含的類型也特別多主要有以下幾種：均分無(wú)分配對(duì)象、均分有分配對(duì)象、非均分組無(wú)分配對(duì)象、非均分組有分配對(duì)象、部分均分無(wú)分配對(duì)象、部分均分有分配對(duì)象.很多同學(xué)在做這類題目的時(shí)候分不清楚到底是屬于哪類的分組分配問題.下面主要從一些例題分析這些不同類型的分組分配問題，從而更好的辨別這些類型的問題.

例1 六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

（1）每組兩本.

（2）甲、乙、丙三人，每人兩本

（3）一組一本，一組二本，一組三本.

（4）甲、乙、丙三人，一人一本、一人兩本、一人三本.

（5）一組四本，另外兩組各一本.

（6）甲、乙、丙三人，一人四本、一人一本、一人一本.

分析 顯然以上6個(gè)小題分別對(duì)應(yīng)一種類型的分配問題.

（1）分組與順序無(wú)關(guān)，是組合問題.分組數(shù)是C26C24C22=90（種），這90種分組實(shí)際

上重復(fù)了6次.我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個(gè)號(hào)碼，考察以下兩種：

分法：（1，2）（3，4）（5，6）與（3，4）（1，2）（5，6），由于書是均勻分組的，三組的本

數(shù)一樣，又與順序無(wú)關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法.以上的分組方法實(shí)際上加入了組的

順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)A33，所以分法是C26C24C22A33=15（種）.所以平均分組是無(wú)序的，各組合數(shù)相乘時(shí)產(chǎn)生了順序，故應(yīng)消序（除以平均組數(shù)的全排列）.

（2）“分為三組，再將這三組分給甲、乙、丙三人”，因此只要將分組方法數(shù)再乘以A33，即C26C24C22A33A33=90（種）.

（3）先分組，方法是C16C25C33，那么還要不要除以A33？我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書的本數(shù)是不一樣的，因此不會(huì)出現(xiàn)相同的分法，即共有C16C25C33=60（種）分法.所以不平均分組是有序的，不需要消序.

（4）類似（2）可以得到C16C25C33A33=360（種）.

（5）分組方法是C46C12C11=30（種），那么其中有沒有重復(fù)的分法呢？我們發(fā)現(xiàn)，其中兩組的書的本數(shù)都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的本數(shù)不一樣，不可能重復(fù).所以實(shí)際分法是C46C12C11A22=15（種）.所以局部平均分組應(yīng)局部消序.

（6）類似（2）可以得到C46C12C11A22A33=90（種）.

對(duì)于分配問題做到先分組，再分配

類似的問題比如：

例2 12本不同的書分給甲、乙、丙三人按下列條件，各有多少種不同的分法？

（1）一人三本，一人四本，一人五本；

（2）甲三本，乙四本，丙五本；

（3）甲兩本，乙、丙各五本；

根據(jù)上面例題的分析容易得出答案：

（1）C312C49C55·A33

（2）C312C49C55

（3）C212C510C55

下面再看幾個(gè)分配問題的變形問題

例3 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？

分析 恰有一個(gè)空盒，則另外三個(gè)盒子中小球數(shù)分別為1，1，2.實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為先將四個(gè)不同的小球分為三組，兩組各1個(gè)，另一組2個(gè)，分組方法有C14C13C22A22（種），然后將這三組（即三個(gè)不同元素）分配給四個(gè)小盒（不同對(duì)象）中的3個(gè)的排列問題，即共有C14C13C22A22A34=144（種）.

例4 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有多少種？

分析 先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有C110C19C28A22（種）分法.再考慮排列，甲任務(wù)需2人承擔(dān)，因此2人的那個(gè)組只能承擔(dān)甲任務(wù)，而一個(gè)人的兩組既可承擔(dān)乙任務(wù)又可承擔(dān)丙任務(wù)，所以共有C110C19C28A22A22=2520（種）不同的選法.

例5 設(shè)集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數(shù)有多少個(gè)？

分析 由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個(gè)元素都有“歸宿”，而

集合B的每個(gè)元素接受集合A中對(duì)應(yīng)的元素的數(shù)目不限，所以此問題實(shí)際上還是分組后分

配的問題.先考慮分組，集合A中4個(gè)元素分為三組，各組的元素?cái)?shù)目分別為1，1，2，則

共有C14C13C22A22（種）分組方法.再考慮分配，即排列，再乘以A33，所以共有C14C13C22A22A33=36（個(gè)）不同的函數(shù).

總之，掌握上述方法，就能順利解決任何分配問題.而且，學(xué)會(huì)了分配問題，還能將一些其他的排列組合問題轉(zhuǎn)化為分配問題來(lái)解決.