積分上限函數(shù)的求導(dǎo)及應(yīng)用

摘 要：本文介紹了積分上限函數(shù)的概念、性質(zhì)，求導(dǎo)數(shù)的方法。

關(guān)鍵詞：積分上限函數(shù);連續(xù)函數(shù);可導(dǎo)

課堂教學(xué)是教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)中最重要的一環(huán)，它是給學(xué)生傳授知識(shí)的重要手段之一。課堂教學(xué)的目的，不僅在于給學(xué)生講清書(shū)本上的內(nèi)容，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。因此，我們必須在深刻理解、鉆研教材的基礎(chǔ)上，全局考慮，根據(jù)認(rèn)識(shí)規(guī)律去組織教材，提出問(wèn)題，逐步分析和解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)提高學(xué)生的思維能力。下面就自己在積分上限函數(shù)教學(xué)中的一點(diǎn)體會(huì)作一介紹。

積分上限函數(shù)的概念、性質(zhì)，不僅是微積分學(xué)基本理論（Newten—Leibniz公式）的證明工具，也是學(xué)習(xí)概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。然而，學(xué)生對(duì)這一部分內(nèi)容卻感到十分棘手，難以理解和掌握。為了使這一較難的問(wèn)題能輕松愉快地解決，在講授這部分內(nèi)容時(shí)，首先自己講授書(shū)本內(nèi)容，然后引導(dǎo)學(xué)生思考，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，最后總結(jié)出易理解和掌握的結(jié)果。

積分上限的函數(shù)，我們主要講清其概念及性質(zhì)。x∈[a，b]

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，對(duì)于任意的，f（x）在區(qū)間[a，x]上也連續(xù)。所以函數(shù)f（x）在[a，x]上也可積。定積分f（t）dt的值依賴(lài)上限x，因此它是定義在[a，b]上的x的函數(shù)，記

φ（x）=f（t）dt， ?x∈[a，b]

則φ（x）=f（t）dt稱(chēng)為積分上限的函數(shù)。

由上述定義知x∈[a，b]，且對(duì)于任意一個(gè)x，都有一個(gè)確定的

f（t）dt與之對(duì)應(yīng)，故f（t）dt是上限的一個(gè)函數(shù)，記作φ（x），即

φ（x）=f（t）dt ? ?x∈[a，b]

對(duì)于函數(shù)φ（x），學(xué)生們往往弄不清t的變化范圍，課堂上借助幾何圖形（圖1）說(shuō)明并標(biāo)明變量x、t的取值范圍（圖2），這樣就較易了解掌握了。

圖1

圖2

函數(shù)φ（x）具有下列重要性質(zhì)：

定理1：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

φ（x）=f（t）dt

在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，并且它對(duì)上限的導(dǎo)數(shù)就等于被積函數(shù)在上限處的值，即

φ′（x）=f（t）dt=f（x）

或dφ（x）=f（x）dx

為給出此定理的證明，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即=f（x），實(shí)際上原問(wèn)題有兩部分，一是“存在性”;二是“導(dǎo)數(shù)值”。同時(shí)應(yīng)當(dāng)復(fù)習(xí)“導(dǎo)數(shù)定義”，“積分中值定理”等，做完這些準(zhǔn)備工作之后再給予證明。

證明：易知φ（x+Δx）=f（t）dt于是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義

φ′（x）=

而：=[f（t）dt-f（t）dt]

=f（t）dt

由積分中值定理知道，在x與x+Δx之間必存在一點(diǎn)，使

f（t）dt=f（ξ）Δx

于是 =f（ξ）

對(duì)上式兩端取極限Δx→0，于是x+Δx→x，由于ξ在x與x+Δx之間所以這時(shí)必定ξ→x，再由f（x）是連續(xù)的，從而有

=f（ξ）=f（ξ）=f（x）

由導(dǎo)數(shù)的定義便有φ′（x）=f（t）dt=f（x）

這一定理建立了導(dǎo)數(shù)與積分之間的聯(lián)系。同時(shí)也告訴我們“任何連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)”。

定理的證明過(guò)程學(xué)生是容易理解的。然而在定理的應(yīng)用上，學(xué)生卻感到困難。如學(xué)生對(duì)dt能求出dt=，而對(duì)x>0時(shí)φ（x）=dt就不是那么容易求出

φ′（x）來(lái)。課堂上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀定理1的條件與結(jié)論，特別注意理解“對(duì)上限的導(dǎo)數(shù)就等于被積函數(shù)在上限處的值”。于是學(xué)生受到啟發(fā)把φ′（x）dt中的dx換成d，要使等式成立，則必須乘以，于是由定理1得

φ′（x）=·dt= ?（x>0）

積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)能求出了，那么如果函數(shù)出現(xiàn)在下限時(shí)應(yīng)該如何處理呢？運(yùn)用定積分的性質(zhì)交換定積分的上下限時(shí)，定積分的絕對(duì)值不變而符號(hào)相反，即φ（x）=f（t）dt=-f（t）dt，然后再運(yùn)用定理即可求出導(dǎo)數(shù)。

通過(guò)上面的求解，繼續(xù)提問(wèn)學(xué)生：“能否將定理1的結(jié)論更一般化地推廣？”經(jīng)過(guò)啟發(fā)和引導(dǎo)，學(xué)生回答說(shuō)“能”，這時(shí)抽問(wèn)學(xué)生，說(shuō)出他們各自的推廣想法，最后總結(jié)得：

定理2：設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，函數(shù)u（x），v（x）是區(qū)間[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù);則φ（x）=f（t）dt在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，并且

φ′（x）=f（x）dx=f（t）dt-f（t）dt

=u′（x）f（t）dt-v′（x）f（t）dt

=u′（x）·f [u（x）]-v′（x）f [v（x）]

可以看出定理1是定理2的u（x）=x、v（x）=a的特殊情形，了解掌握了定理2，對(duì)于較復(fù)雜的積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題就能非常方便地解決。下面舉幾個(gè)應(yīng)用定理的例子：

例1 求cos（π·t2）dt

解：由定理2有

cos（π·t2）dt=cos（πcos2x）（cosx）′-cos（πsin2x）（sinx）′

=-sinx·cos[π（1-sin2x）]-cosx·cos（πsin2x）

=sinx·cos（πsin2x）-cosx·cos（πsin2x）

=（sinx-cosx）·cos（πsin2x）

例2 在區(qū)域x>0求函數(shù)y=dt的極值點(diǎn)

解：由定理2知y′=·2x=2sinx

設(shè)y′=0?x=nπ ? （n=1，2…）

故所求極值點(diǎn)為xi=iπ ?（i=1，2，3…）。

例3 求極限

解：易知這是一個(gè)“”型的未定型，我們利用洛必達(dá)法則來(lái)計(jì)算，分子可寫(xiě)成-e-t2dt。

它是以cosx為上限的積分，作為x的函數(shù)可看成是以u(píng)=cosx為中間變量的復(fù)合函數(shù)，故由公式有

e-t2dt=-e-t2dt=-e-t2dt|u=cosx·（cosx）′

=-e-cos2x·（-sinx）

=sinx·e-cos2x

因此==

布置三個(gè)作業(yè)題練習(xí)一下，掌握解題方法：

1.φ（x）=e2tsintdt。

2.φ（x）=tedt。

3.φ（x）=（1-t2）dt。

4.求極限。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧靜相主編.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社.

作者簡(jiǎn)介：

賀建平（1964-），女，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育。