高考新亮點

王勇

縱觀近幾年高考試題，幾何概型問題頻頻出現(xiàn)，這類問題新穎別致，構(gòu)思精妙，極富思考性和挑戰(zhàn)性. 幾何概型的概率求解一般分三步：（1）判斷試驗是否為幾何概型；（2）將試驗構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量（如長度、面積、體積或角度）；（3）應(yīng)用幾何概型的概率公式求概率. 下面結(jié)合實例分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

與長度有關(guān)的幾何概型

例1 在區(qū)間[0，5]上隨機(jī)地選擇一個數(shù)[p]，則方程[x2+2px+3p-2=0]有兩個負(fù)根的概率為 .

解析 先根據(jù)方程有兩個負(fù)根求得[p]的取值范圍，然后利用幾何概型的概率計算公式求出概率.

[∵方程x2+2px+3p-2=0]有兩個負(fù)根[x1，x2，]

[∴Δ=4p2-43p-2≥0，x1+x2=-2p<0，x1x2=3p-2>0，]

又[0≤p≤5]，解得[23故由幾何概型的概率計算公式得，

[P=1-23+5-25-0=23.]

點撥 本題考查一元二次方程根的分布和幾何概型. 根據(jù)一元二次方程根的分布情況建立不等式組求[p]的取值范圍，考查了邏輯思維能力與運算求解能力. 將一元二次方程根的分布與概率相結(jié)合，體現(xiàn)了化歸意識在解題中的應(yīng)用.

例2 平面上畫了一組彼此平行且相距[2a]的平行線. 把一枚半徑[r

解析 結(jié)合線性規(guī)劃，利用幾何概型求解. 設(shè)兩串彩燈同時通電后，第一次閃亮的時刻分別為[x，y，x，y]可以看成平面中的點，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為[D=x，y0≤x≤4，0≤y≤4，]如圖所示，這是個正方形區(qū)域.

事件[A]表示“它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒”，所構(gòu)成的區(qū)域為[d=][x，y0≤x≤4，0≤y≤4，x-y≤2，]即圖中的陰影部分.

由幾何概型的概率計算公式得，

[PA=SdSD=42-2×12×2×242=34.]

答案 C

點撥 本題考查簡單的線性規(guī)劃和幾何概型的應(yīng)用. 將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃和幾何概型問題求解，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、創(chuàng)新應(yīng)用意識.

與體積有關(guān)的幾何概型

例7 如圖，在長方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，H]分別是棱[A1B1，D1C1]上的點（點[E與B1]不重合），且[EH∥A1D1]，過[EH]的平面與棱[BB1，CC1]相交，交點分別為[F，G.]設(shè)[AB=2AA1=2a.]在長方體[ABCD-A1B1C1D1]內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自于幾何體[A1ABFE-D1DCGH]內(nèi)的概率為[P]，當(dāng)點[E，F(xiàn)]分別在棱[A1B1，BB1]上運動且滿足[EF=a]時，則[P]的最小值為（ ）

A.[1116] B.[34] C.[1316] D.[78]

解析 設(shè)[BC=b]，則長方體[ABCD-A1B1C1D1]的體積為[V=AB?AD?AA1=2a2b]，幾何體[EB1F-HC1G]的體積為[V1=12EB1?B1F?B1C1=b2EB1?B1F.]

[∵EB21+B1F2=a2]，

[∴EB1?B1F≤EB21+B1F22=a22，]當(dāng)且僅當(dāng)[EB1=B1F][=22a]時等號成立，從而[V1≤a2b4.]

故[P=1-V1V≥1-a2b42a2b=78，]當(dāng)且僅當(dāng)[EB1=B1F=][22a]時等號成立.

所以[P]的最小值等于[78].

答案 D

點撥 本題由2010年福建省高考題改編而成，考查立體幾何的有關(guān)知識、幾何概型、基本不等式的應(yīng)用等. 考查空間想象能力和“正難則反”的思想方法.

例8 已知正三棱錐[S-ABC]的底面邊長為[a]，高為[h]，在正三棱錐內(nèi)取點[M]，則點[M]到底面的距離小于[h2]的概率為 .

解析 如圖，分別取[SA，SB，SC]的中點[A1，B1，C1]，分別連接[A1B1，B1C1，C1A1]，則當(dāng)點[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之間時，點[M]到底面的距離小于[h2].

設(shè)[△ABC]的面積為[S]，由[△A1B1C1～△ABC]且相似比為[12]得，[△A1B1C1]的面積為[S4.]

由題意易知，區(qū)域[D]（三棱錐[S-ABC]）的體積為[13Sh，]

區(qū)域[d]（三棱臺[A1B1C1-ABC]）的體積為[13Sh-13?S4?h2=][724Sh.]

記“點[M]到底面的距離小于[h2]”為事件[A]，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得，[PA=VdVD=78.]

答案 [78]

點撥 如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，那么就要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出構(gòu)成事件[A]的區(qū)域體積及試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積，再根據(jù)幾何概型的概率計算公式計算即可.

與角度有關(guān)的幾何概型

例9 在圓心角為[90°]的扇形中，以圓心[O]為起點作射線[OC]，則使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]的概率為 .

解析 如圖所示，記事件[F]為“作射線[OC，]使[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]”，作射線[OD，OE，]使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°.]當(dāng)[OC在∠DOE]內(nèi)（包括[OD，OE]）時，使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]，故[PF=∠DOE∠AOB=30°90°=13.]

點撥 當(dāng)涉及射線的運動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，常以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，切不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段. 作射線[OD，OE]，使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°]是求解本題的關(guān)鍵.