紙帶處理專題分析

劉清發(fā)

利用打點計時器打出紙帶的目的是利用紙帶上的點跡來分析物體的運動情況，然而在處理紙帶的過程中，學生普遍感到處理起來比較困惑，比較混亂，現(xiàn)在把處理紙帶的有關方法匯總如下，以便于大家掌握用紙帶分析物體運動的情況這種基本技能.

一、逐差法

1.相鄰逐差法

由于物體做勻變速直線運動，所以滿足在連續(xù)相等的時間間隔內位移之差相等，即Δx=aT2，可解得a=ΔxT2.

例1 一打點計時器固定在傾角為θ的斜面上，一小車拖著穿過打點計時器的紙帶從斜面上滑下，打出的紙帶的一段如圖1所示，紙帶上0、1、2、3、4、5、6是按先后順序打出的計數(shù)點，每相鄰兩個計數(shù)點之間還有四個實驗點未畫出.

（1）根據(jù)紙帶上記錄的數(shù)據(jù)判斷小車是做

運動.

（2）若小車做勻加速運動，則加速度大小a

. （3）小車在計數(shù)點3所對應的速度大小為v=

圖1解析

（1）x1=6.00 cm，

x2=16.00 cm -6.00 cm=10.00 cm，

x3=30.00 cm-16.00 cm=14.00 cm，

x4=48.00 cm-30.00 cm=18.00，

x5=70.00 cm-48.00 cm=22.00 cm，

x6=96.00 cm-70.00 cm=26.00 cm.

可得：Δx=x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=x6-x5=4.00 cm，即相鄰的相等時間內的位移之差為常數(shù)，所以可以判斷物體做的是勻加速直線運動.

（2）每相鄰兩個計數(shù)點之間還有四個實驗點未畫出，所以相鄰的計數(shù)點間的時間間隔 T=0.1 s， 根

據(jù)勻變速直線運動的推論公式Δx=aT2得，a=ΔxT2=0.040.12m/s2=4 m/s2.

（3）根據(jù)勻變速直線運動中時間中點時刻的速度等于該過程中的平均速度，所以v=x3+x42T=1.6 m/s.

例2 在做“探究小車速度隨時間變化的規(guī)律”的實驗中，取一段如圖2所示的紙帶研究其運動情況.設O點為計數(shù)的起始點，在四個連續(xù)的計數(shù)點中，相鄰計數(shù)點間的時間間隔為0.1 s，若物體做理想的勻加速直線運動，則計數(shù)點“A”與起始點O之間的距離x1為

cm，打計數(shù)點“A”時物體的瞬時速度為

m/s，物體的加速度為

m/s2.

圖2解析 根據(jù)勻變速直線運動的特點（相鄰的時間間隔位移之差相等）得出： xBC-xAB=xAB-x1.解得計數(shù)點A與起始點O之間的距離為x1=4.00 cm.

根據(jù)勻變速直線運動中時間中點時刻的速度等于該過程中的平均速度，可以求出打計數(shù)點“A”時物體的瞬時速度為：vA=0.100.2m/s2=0.50 m/s.根據(jù)勻變速直線運動的推論公式Δx=aT2得，a=ΔxT2=0.020.12m/s2=2.00 m/s2.

2.隔項逐差法

從理論上來說，由于物體做勻變速直線運動，所以滿足在連續(xù)相等的時間間隔內位移之差相等，即Δx=aT2.但在實際的實驗過程中不可避免的出現(xiàn)或多或少的誤差，造成相鄰時間內的位移差測量的并不相等，如果再利用一個Δx求解加速度，偶然誤差務必太大，為了減小實驗中的偶然誤差，分析紙帶時，紙帶上的各段位移最好都用上，如圖3紙帶上測得連續(xù)6個相同的時間間隔T內的位移x1、x2、x3、x4、x5x6，則x4-x1=（x4-x3）+（x3-x2）+（x2-x1）=3a1T2，同理，x5-x2=3a2T2，x6-x3=3a3T2，物體的加速度a=a1+a2+a33=（x4-x1）+（x5-x2）+（x6-x3）9T2=（x4+x5+x6）-（x1+x2+x3）9T2.由此可以看出，各段位移都用上了，有效地減小了偶然誤差，這種方法被稱為逐差法.所以利用紙帶計算加速度時，應使用逐差法.

圖3例3 某學生用打點計時器研究小車的勻變速直線運動.他將打點計時器接到頻率為50Hz的交流電源上，實驗時得到如圖4的一條紙帶.他在紙帶上便于測量的地方選取第一個計時點，在這點下標明A，第六個點下標明B，第十一個點下標明C，第十六個點下標明D，第二十一個點下標明E.測量時發(fā)現(xiàn)B點已模糊不清，于是他測得AC長為14.56 cm、CD長為11.15 cm、DE長為13. 73 cm，則打C點時小車的瞬時速度大小為

m/s，小車運動的加速度大小為

m/s2， AB的距離應為

cm.（保留三位有效數(shù)字）

圖4解析 在第一個點下標明A，第六個點下標明B，第十一個點下標明C，第十六個點下標明D，第二十一個點下標明E；可以看出相鄰的計數(shù)點間的時間間隔為T=0.02×5 s=0.1 s.根據(jù)勻變速直線運動中時間中點時刻的瞬時速度等于該過程中的平均速度，可以求出打紙帶上C點時小車的瞬時速度大小，vC=AC+CD+DE4T=0.986 m/s.由逐差法可得：a=CE-AC4T2=2.58 m/s2.根據(jù)逐差相等得，xBC-xAB=xDE-xCD=13.73 cm-11.15 cm=2.58 cm，又因為xBC+xAB=xAC=14.56 cm，解得xAB=5.99 cm.

點評 所謂逐差法，就是把測量的數(shù)據(jù)逐項相減或按順序分為兩組進行對應項相減，然后將所得差值作為因變量的多次測量值進行數(shù)據(jù)處理的方法.它也是物理實驗中處理數(shù)據(jù)常用的一種方法.

二、 v-t圖象法

例4 某學生在做“探究小車運動的速度與時間關系”的實驗中選擇了一條清晰的紙帶，在紙帶上確定出A、B、C、D、E、F、G共7個計數(shù)點.其相鄰點間的距離如圖5所示，每兩個相鄰的計數(shù)點之間還有四個點未畫出.

圖5（1）根據(jù)紙帶上各個計數(shù)點間的距離，計算出打下B、C、D、E、F五個點時小車的瞬時速度，請將vC、vE的速度值填入下表（要求保留3位有效數(shù)字）

（2）將B、C、D、E、F各個時刻的瞬時速度標在如圖6甲所示的坐標紙上，并畫出小車的瞬時速度隨時間變化的關系

（3）根據(jù)第（2）問中畫出的v-t圖線，求出小車運動的加速度為

m/s2.（保留兩位有效數(shù)字）甲 乙

圖6解析 （1）每兩個相鄰的計數(shù)點之間還有四個點未畫出，所以兩個相鄰的計數(shù)點之間的時間間隔為0.10 s.根據(jù)在勻變速直線運動中時間中點時刻的瞬時速度等于該過程中的平均速度可以求出各點的瞬時速度大小.vC=xBD2T=4.38+5.202×0.1cm/s=0.479 m/s，vE=xDF2T=5.99+6.802×0.1cm/s=0.640 m/s.

（2）以開始打A點時為計時起點，每隔0.15秒選一個點，適當?shù)倪x取縱橫數(shù)值，根據(jù)表格中所給出的各個點速度大小，用描點法即可畫出速度-時間圖象如圖6乙所示.

（3）根據(jù)圖象的物理意義可知，在速度-時間圖象中，圖象的斜率大小表示物體的加速度大小，故a=ΔvΔt=0.80 m/s2.

點評 （1）利用紙帶進行計算，要注意三點：①計數(shù)點是如何取的；②長度采用了什么單位；③所給的紙帶數(shù)據(jù)是誰與誰之間的距離.

（2）做v一t圖線時，要使描得的點盡可能的分布在直線的兩側，偏差過大的點不予考慮.

（3）由a=ΔvΔt求a時，要在圖線上取兩個相對較遠的點.

三、貼紙法

例5 做勻加速直線運動的小車，牽引一條紙帶通過打點計時器，交流電源的頻率是50 Hz，由紙帶上打出的某一點開始，每5個點剪下一段紙帶，按圖7甲所示，每一條紙帶下端與x軸相重合，左邊與y軸平行，將紙帶粘在坐標系中，求：

（1）第一個0.1 s內中間時刻的速度是多少？

（2）運動物體的加速度是多少？

甲 乙

圖7解析 方法一 （1）勻加速直線運動中，中間時刻的速度等于這個過程中的平均速度.紙帶剪斷處的瞬時速度等于被剪斷處兩側的這兩條紙帶的總長度除以打在這兩條紙帶所用的時間.第一個0.1 s內中間時刻的速度是：v=x1T=22.5×10-30.1m/s=0.225 m/s.

（2）加速度可以由Δx=aT2求出，其中Δx為相鄰兩條紙帶的長度差，由圖可知相鄰兩條紙帶的長度差都為8.0 mm，所以a=ΔxT2=8.0×10-30.12m/s2=0.80 m/s2.

方法二 （1）勻加速直線運動中，中間時刻的速度等于這個過程中的平均速度.紙帶剪斷處的瞬時速度等于被剪斷處兩側的這兩條紙帶的總長度除以打在這兩條紙帶所用的時間.第一個0.1 s內中間時刻的速度是：v=x1T=22.5×10-30.1m/s=0.225 m/s.

（2） 紙帶的高度之比等于中間時刻速度之比，也就是說圖中第一段紙帶高度代表0.05 s時的瞬時速度，第二段紙帶高度代表0.15 s時的瞬時速度，第三段紙帶高度代表0.25 s時的瞬時速度，第四段的高度代表0.35 s時的瞬時速度，第五段代表0.45s時的瞬時速度，第六段代表0.55 s時的瞬時速度.因此可以用紙帶的長度表示每小段時間中間時刻的瞬時速度，將紙帶上端中間各點連接起來，可得到如圖7乙所示的v-t圖象，利用圖象求斜率可以求得小車加速度 .

（收稿日期：2015-10-20）