導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)對(duì)電容器充電問題探疑

孫恒啟

2013年新課標(biāo)1卷理綜物理題如下：

例1 如圖1，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L.導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C.導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大

圖1小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面.在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g.忽略所有電阻.讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系.

解法1 （1）設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，平行板電容器兩極板之間的電勢(shì)差為U=E，設(shè)此時(shí)電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有Q=CU聯(lián)立可得，Q=BLvC

（2）設(shè)金屬棒的速度大小為v時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為t，通過金屬棒的電流為i，金屬棒受到的磁場力方向沿導(dǎo)軌向上，大小為f1=BLi，設(shè)在時(shí)間間隔（t，t+Δt）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ，則ΔQ=CBLΔv按定義有：i=ΔQΔt

ΔQ也是平行板電容器在時(shí)間間隔內(nèi)增加的電量，由上式可得，Δv為金屬棒的速度變化量，金屬棒所受到的摩擦力方向沿導(dǎo)軌斜面向上，大小為：f2=μN(yùn)，式中N是金屬棒對(duì)于導(dǎo)軌的壓力大小，有N=mgcosθ，金屬棒在時(shí)刻t的加速度方向沿斜面向下，設(shè)其大小為a，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ-f1-f2=ma.

即：mgsinθ-μmgcosθ=CB2L2a+ma

此時(shí)可得： a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2C

由題意可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻金屬棒的速度大小為：v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2Ct.

解法2 （1）設(shè)經(jīng)過時(shí)間t沿導(dǎo)軌下滑的距離為x，電容器的電壓為U，電荷量為Q，則Q=CU，U=BLv，所以Q=CBLv.

（2）根據(jù)能量守恒定律可得：

12mv2+12CU2=（mgsinθ-μmgcosθ）x

整理可得： v2=2×mgsinθ-μmgcosθm+B2L2C·x

結(jié)合v2=2ax， 類比可得所以a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2C，即v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2Ct.

圖2例2 處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中放置一足夠長光滑U型金屬框架寬為L，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個(gè)初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.求導(dǎo)體棒的最終速度.

解法1 當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運(yùn)動(dòng)時(shí)，要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：BLv=UC=q/C.而對(duì)導(dǎo)體棒ab利用動(dòng)量定理可得：-BLq=mv-mv0.

由上述二式可求得： v=mv0m+B2L2C

解法2 設(shè)最終速度為v，U=BLv

12mv20-12mv2=12CU2

解得： v2=mv20m+B2L2C

這種解法對(duì)嗎？

很顯然兩種方法的答案并不相同，為什么按照同樣的思路解題得到的結(jié)果卻迥然不同呢？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情形呢？

經(jīng)過查閱資料、自主學(xué)習(xí)得知：

帶電體的能量為W=12CU2

這是孤立導(dǎo)體的靜電能公式也可以推廣到帶電的電容器，因?yàn)殡娙萜鲀砂彘g的電勢(shì)差與極板上所帶電荷量的關(guān)系是線性關(guān)系.

但是在電動(dòng)勢(shì)為E的電源對(duì)電容器充電過程中，電源所提供的能量W′=QE=QU=2W，也就是說，在充電過程中，電容器僅得到了電源提供的一半能量，另一半能量在導(dǎo)線和電源內(nèi)阻上轉(zhuǎn)化為內(nèi)能或者以電磁波的形式發(fā)射了出去.

結(jié)合這些知識(shí)我們可以得到以下解法.

正解 導(dǎo)體棒的動(dòng)能減少量并沒有全部轉(zhuǎn)化為電容器所儲(chǔ)存的電能，相反導(dǎo)體棒動(dòng)能的減少量卻等于導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流所釋放的電能.

設(shè)經(jīng)極短時(shí)間t后的速度為v，根據(jù)動(dòng)量定理可得：

BILΔt=m（v0-v）

Q=IΔt

圖3所以Q=mv0BL-mBLv即導(dǎo)體棒所釋放的電量與導(dǎo)體棒的速度是線性減函數(shù)，因而導(dǎo)體棒所釋放的電能由圖3可知E=（BLv+BLv0）BLvC/2.

對(duì)導(dǎo)體棒由動(dòng)能定理可得E=12mv20-12mv2.

聯(lián)立以上兩式可得： v2=mv20m+B2L2c.

綜合以上分析可以得到導(dǎo)體棒減少動(dòng)能所釋放的能量一部分轉(zhuǎn)化為電容器所儲(chǔ)存的電能，另一部分以電磁波的形式和回路的焦耳熱釋放掉.而在例1中加速過程中則回路中沒有相應(yīng)的焦耳熱產(chǎn)生和電磁波輻射，故得到相同的結(jié)果.

（收稿日期：2015-05-16）