高中三角函數(shù)教學(xué)常見問題探析

王威

三角函數(shù)是目前高中數(shù)學(xué)課程中較為傳統(tǒng)的內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn)，學(xué)好三角函數(shù)不僅是高中階段的重要任務(wù)，也是為大學(xué)數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)的重要前提.學(xué)生進(jìn)入高中后，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法上大都還是采用初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，這樣的學(xué)習(xí)方法對(duì)于更注重抽象思維的高中數(shù)學(xué)來說不再適用，導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)上會(huì)面臨學(xué)習(xí)困境.因此研究高中三角函數(shù)的教學(xué)問題，對(duì)于解決學(xué)習(xí)和教學(xué)中的困難，提高教學(xué)效率具有重要意義.

一、高中三角函數(shù)教學(xué)中常見的問題

1.缺少預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，一旦遇到困難就打退堂鼓

受初中階段的學(xué)習(xí)習(xí)慣的影響，上高中后很多學(xué)生依然采用初中的學(xué)習(xí)方式.在初中階段的數(shù)學(xué)課程，每堂課的教學(xué)任務(wù)較少，在上完課后都會(huì)留下充足的時(shí)間讓學(xué)生去回顧和總結(jié).但是到了高中以后，課堂容量加大，學(xué)生能夠獨(dú)立支配的時(shí)間減少，在教學(xué)內(nèi)容上不再是單純的計(jì)算，更注重學(xué)生抽象思維的訓(xùn)練.由于養(yǎng)成了當(dāng)堂預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)的習(xí)慣，進(jìn)入高中后這樣的方法不再適用，阻礙了三角函數(shù)的有效學(xué)習(xí).

由于初中階段三角函數(shù)相對(duì)簡單，學(xué)起來不費(fèi)勁，養(yǎng)成了學(xué)習(xí)不刻苦的習(xí)慣，在高中階段一旦遇到困難的題目就打退堂鼓，看答案.有的學(xué)生一遇到一知半解的問題就求助于參考書和同學(xué)，并沒有對(duì)詳細(xì)的解題過程進(jìn)行推敲.

2.公式學(xué)習(xí)不求甚解

高中三角函數(shù)這一章節(jié)的公式相對(duì)較多，很多學(xué)生面對(duì)這些公式無從下手，有時(shí)候在解題過程中不知道該用哪個(gè)公式.例如，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用，sin（390°）=sin（30°+360°）=sin30°=1/2.已知tanβ=3/4，求sinβ，cosβ.很多學(xué)生一看到這個(gè)問題就會(huì)想到同角的正切值就等于它的正余弦比，卻忽略了同角正弦平方加余弦平方的和等于一的特點(diǎn).還有，在進(jìn)行簡化求值方面的解題時(shí)，很多學(xué)生不知道該用哪個(gè)公式，具體的步驟應(yīng)該如何去做，其實(shí)只需要將角化成誘導(dǎo)公式左邊角的形式就可以利用公式進(jìn)行簡化了.導(dǎo)致這一問題產(chǎn)生的根本原因就是不理解公式的內(nèi)涵和公示的運(yùn)用條件，也缺乏對(duì)公式的練習(xí).

3.易忽略有字母的三角函數(shù)值的符號(hào)

在三角函數(shù)的運(yùn)算過程中很多學(xué)生會(huì)忽略三角函數(shù)值的符號(hào).例如，已知sinα=-3/5，求cosα，tanα的值.很多學(xué)生出現(xiàn)在求解cosα?xí)r，直接利用sin2α+cos2α=1的變式cosα=1-sin2α進(jìn)行求解的錯(cuò)誤解法.再如，已知tanα=-3，求sinα，cosα的值，可以利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式組成sinα，cosα的二元一次方程組，根據(jù)給出的條件可以看出α是第一象限或第三象限角，然后根據(jù)不同的象限分開討論.很多學(xué)生在解題的過程中，往往忽略了條件的設(shè)定，在使用運(yùn)算公式時(shí)也容易忽略符號(hào).

4.在運(yùn)用誘導(dǎo)公式時(shí)，對(duì)符號(hào)的把握不到位

在三角函數(shù)整個(gè)知識(shí)章節(jié)中，總共有16個(gè)公式用于問題的解答.在運(yùn)用這些公式時(shí)，往往難以確定符號(hào)，從而造成解題錯(cuò)誤.弄錯(cuò)符號(hào)容易分不清主體和部分，在利用誘導(dǎo)公式二sin（π+α）=-sinα?xí)r，將α看做是一個(gè)銳角，而π+α就是第三象限角，根據(jù)正弦值在第三象限是負(fù)值，所以得出了公式中的“-”.但是學(xué)生在做題過程中卻是直接根據(jù)角的終邊落在第幾象限來確定公式后的符號(hào)，這樣一來就用錯(cuò)了三角函數(shù)的解題公式.

5.用幾何語言表示終邊相同的角不夠準(zhǔn)確

在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點(diǎn)的一條射線，終邊落在這條射線上的角的集合有很多種表示方式，但是這些終邊相同的角的集合都是相同的，都可以表示為S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.但是很多學(xué)生卻不知道如何選擇終邊相同的角α.在求終邊落在經(jīng)過原點(diǎn)的直線上的角的集合的時(shí)候，應(yīng)先將直線分成兩條經(jīng)過原點(diǎn)的射線，根據(jù)定義的要求，將終邊落在兩條射線上的角的集合寫出，最后將這兩個(gè)角的集合并集就得到了結(jié)果.但是學(xué)生往往在求并集的時(shí)候出現(xiàn)問題，他們對(duì)式子中的k·360°不會(huì)進(jìn)行化簡，還有學(xué)生合并完了，但是在書寫上出現(xiàn)錯(cuò)誤.

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)策略

1.利用口訣熟記公式和符號(hào)

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分有眾多公式，這些公式對(duì)于學(xué)生來說非常不容易背誦，有時(shí)候死記硬背下來，但在用的時(shí)候還會(huì)出現(xiàn)偏差，利用口訣能夠記得既準(zhǔn)又牢固.例如，可以根據(jù)公式一到公式四的特點(diǎn)，把它的性質(zhì)歸納為“函數(shù)名不變，象限定正負(fù)”，公式五和公式六可以歸納為“函數(shù)名改變，象限定正負(fù)”，還有些學(xué)者將誘導(dǎo)公式匯總成了兩句話“奇變偶不變，象限定正負(fù)”.另外記憶三角函數(shù)四個(gè)象限符號(hào)的口訣可以定義為：“上正、右余、對(duì)角切”這樣一來學(xué)生就可以準(zhǔn)確的判定出函數(shù)的符號(hào).

有些學(xué)生雖然能夠準(zhǔn)確無誤的寫出誘導(dǎo)公式，但是對(duì)于解題還是沒有頭緒，不知道從何處下手，為此，有些人總結(jié)出了化簡題的口訣“負(fù)化正，大化小，化到銳角求解值”這樣一來，對(duì)于大部分的題目都可以通過口訣的形式完成解答.

在對(duì)誘導(dǎo)公式的掌握中可以進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

首先通過預(yù)設(shè)情景引出誘導(dǎo)公式，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察誘導(dǎo)公式，讓他們說出誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特征.（終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，把任意角的三角函數(shù)值的問題都縮小到0°～360°角的范圍內(nèi)進(jìn)行解答）通過練習(xí)題，練習(xí)三角函數(shù)中角的變換.（將sin1110°簡化成公式的形式），通過觀察210°與30°角的終邊的關(guān)系來進(jìn)一步理解三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

其次，通過引入問題，觀察sinα與sin（π+α）的圖像位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜測.

（1）角α與角（π+α）的終邊的關(guān)系是什么？

（2）α與（π+α）的終邊分別交以O(shè)為圓心的圓于P和Q兩點(diǎn)，那這兩點(diǎn)的關(guān)系如何？

（3）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？

根據(jù)上述問題提出sinα與sin（π+α），cosα與cos（π+α），tanα與tan（π+α）之間的關(guān)系如何？通過對(duì)這些式子的觀察，總結(jié)規(guī)律，嘗試用一個(gè)式子表示出來，并在黑板上板書.再用相同的方法歸納出其他的公式.

然后，通過例題的講解，熟悉對(duì)公式的運(yùn)用.最后結(jié)合教師總結(jié)的口訣，學(xué)生通過練習(xí)題，加以理解和鞏固.

2.利用多媒體，形象演示函數(shù)變化的難點(diǎn)

經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，很多高三年級(jí)的學(xué)生會(huì)在函數(shù)的基本變化上出現(xiàn)問題，經(jīng)過詢問才知道，他們根本沒有掌握好函數(shù)變化的過程和內(nèi)容.在進(jìn)行三角函數(shù)教學(xué)時(shí)，教師如果僅僅是利用傳統(tǒng)的“粉筆+黑板”模式進(jìn)行教學(xué)，很難體現(xiàn)函數(shù)的變化特性，不利于學(xué)生的理解，甚至還會(huì)產(chǎn)生厭煩情緒.

在函數(shù)變換教學(xué)中重點(diǎn)需要解決的問題有三個(gè)，第一，單個(gè)變量對(duì)函數(shù)的影響；第二，三個(gè)變量之間的聯(lián)系；第三，對(duì)y=Asin（ωx+φ）函數(shù)圖象的理解和應(yīng)用.如果利用多媒體，可以將抽象的函數(shù)問題具體化，由靜態(tài)轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)，使學(xué)生通過形象思維和抽象思維相結(jié)合的方式理解內(nèi)容，提高學(xué)生的興趣，優(yōu)化課堂教學(xué).

首先選取A=3，ω=2，φ=π3，利用計(jì)算機(jī)做出如圖1所示各圖像，通過由y=sinx向y=sin（x+π3）過渡，由y=sinx向y=sin2x過渡，y=sinx向y=3sinx過渡，教學(xué)中通過問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生觀察.例如：讓學(xué)生通過小組合作的形式，討論函數(shù)在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生變形了嗎？發(fā)生了什么變化？來讓學(xué)生了解單個(gè)變量對(duì)函數(shù)的影響，通過圖形的演示，讓學(xué)生充分理解函數(shù)圖象的這些問題，進(jìn)而自己總結(jié)函數(shù)圖象的基本變換理念.

圖1學(xué)生在了解了函數(shù)圖象的變化過程后，再在做題過程當(dāng)中遇到一些未曾見過的問題，學(xué)生就會(huì)對(duì)這一部分的知識(shí)靈活運(yùn)用了.例如函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B怎么變化？首先可以通過換元的方式，令G=Asin（ωx+φ），這樣一來就可以轉(zhuǎn)化為y=G的圖像，然后將該圖像向上或向下平移B個(gè)單位，得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+B的圖像.

3.通過變式練習(xí)，提高學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的應(yīng)用能力

在三角函數(shù)章節(jié)中，不僅要熟練掌握三角函數(shù)的各個(gè)公式，還要掌握應(yīng)對(duì)各種題型的解題技巧，這樣才能夠在解題過程中，更加方便快捷地利用公式進(jìn)行解題.教師可以尋找一些具有代表性的題目，保持題目本質(zhì)的前提下不斷變換形式來考察學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，提高學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的應(yīng)用能力，提高解題效率.

（收稿日期：2015-10-12）