2014年北京高考數(shù)學(xué)理題19的簡解及其背景剖析

王樹森

拜讀文[1]后，獲益匪淺，筆者有再想探究的想法，限于水平，只能談幾點對該題的拙見.

一、試題的優(yōu)美解

題1 （2014年北京理科題19）已知橢圓C∶x2+2y2=4，

（1）求橢圓C的離心率.

（2）設(shè)O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，求直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

命題組的答案和文中提供的六種解法，字母繁多，算式冗長，運算繁雜.究其原因是：用點A坐標表示點B坐標；求出直線AB方程；用兩點間距離公式求線段AB等.下面筆者提供一種書寫流暢，算式簡潔，思路簡單的方法：

當B在（0，2）時，得A坐標為（±2，0），此時直線AB方程為x+y=2或x-y=-2，顯然直線AB與圓x2+y2=2相切.

當B不在（0，2）時，設(shè)坐標為（a，2）（a≠0），則

kOB=2a，

∵OA⊥OB，

∴kOA=-a2，

∴直線OA方程為y=-a2x，

由x2+2y2=4

y=-a2x得，x2A=8a2+2，

∴y2A=a24x2A=2a2a2+2，

∴|OA|2=x2A+y2A=2a2+8a2+2且|OB|2=a2+4.

令d為點O到直線AB的距離（也即Rt△OAB斜邊AB上的高），由平面幾何知識得，d2=|OA|2·|OB|2|AB|2

∴1d2=|OA|2+|OB|2|OA|2·|OB|2

∴d=2=r

∴直線AB與圓x2+y2=2相切.

可以看出，A坐標用橢圓方程和正比例函數(shù)解析式聯(lián)立求解運算量并不大，前述解法設(shè)而不求，就怕聯(lián)立方程組求解繁雜，其實是一個誤會，要看怎樣的方程聯(lián)立，并不是解方程組總是運算量大的，另外A的坐標也并不需徹底求出，因為用了一點幾何知識（初中里人人能掌握、必須要掌握的知識），就不需要求直線AB方程了.

二、試題背景

事實上，題1背景廣泛，無論從題根角度還是從變式題角度考慮，都有規(guī)律性可尋，并且也發(fā)現(xiàn)北京市近幾年高考解析幾何題命題規(guī)律.

題2 （人教A版選修4-4第15頁習(xí)題6）已知橢圓的中心為O，長軸長、短軸長分別為2a，2b（a>b>0），A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB.求證：1|OA|2+1|OB|2為定值；（2）求△AOB的面積的最大值和最小值.

題3 （2009年山東理科22題）設(shè)橢圓E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）過M（2，2） ，N（6，1）兩點，O為坐標原點，

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB.若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由.

題4 （2009年北京理科題19）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為3，右準線方程為x=33.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l是圓O∶x2+y2=2上動點P（x0，y0）（x0y0≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，證明∠AOB的大小為定值.

題5 （2011年北京理科題19） 已知橢圓G：x24+y2=1，過點（m，0）做圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A，B兩點.

（Ⅰ）求橢圓G的焦點坐標和離心率；

（Ⅱ）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值.

筆者揣摩命題專家如何設(shè)計高考題的，即由題2如何發(fā)展成題3、題4、題5和題1的.一切都是題2結(jié)論巧奪天工，動中有靜，令人佩服數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

題2中不妨設(shè)橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），將橢圓的直角坐標方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程：（ρcosθ）2a2+（ρsinθ）2b2=1，即ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ，因為OA⊥OB，所以設(shè)A（ρ1，θ），則B（ρ2，θ+π2）， 所以1|OA|2+1|OB|2=1ρ21+1ρ22=b2cos2θ+a2sin2θ+b2sin2θ+a2cos2θa2b2=a2+b2a2b2，所以1|OA|2+1|OB|2為定值.因為OA⊥OB，所以|OA|2+|OB|2=|AB|2，若設(shè)d為點O到邊AB的距離（也即Rt△OAB斜邊AB上的高），則1|OA|2+1|OB|2=|AB|2|OA|2|OB|2=1d2，即d=aba2+b2也為定值.由此可知當A，B分別在橢圓上運動且OA⊥OB時，存在一個以原點為圓心，aba2+b2為半徑的圓，它始終與AB相切.換言之，A和B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的兩動點，O是橢圓的中心，且OA⊥OB，OD⊥AB于點D，則點D的軌跡方程為x2+y2=a2b2a2+b2.

題3就是這一結(jié)論的逆命題：是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且OA⊥OB？現(xiàn)在看來是存在半徑為R=11|OA|2+1|OB|2=aba2+b2的圓.由于直線AB是圓的切線，在圓上運動時和橢圓相交，致使線段AB有變化，求其取值范圍恰如其分.這樣難度就上去了，體現(xiàn)“源于書本，高于書本”的命題原則.

眾所周知，圓錐曲線有統(tǒng)一的性質(zhì)，在橢圓中成立的結(jié)論在雙曲線中一般也成立，因此將題2中橢圓改為雙曲線x2a2-y2b2=1（b>a>0），也有類似結(jié)論：當A，B分別在雙曲線上運動且OA⊥OB時，1|OA|2+1|OB|2=b2-a2a2b2，存在一個以原點為圓心，abb2-a2為半徑的圓，它始終與AB相切.

所以在題4中，假設(shè)當A、B在雙曲線 x2-y22=1上運動且有OA⊥OB，因為a2=1，b2=2，所以1|OA|2+1|OB|2=b2-a2a2b2=12，故存在圓x2+y2=2與直線AB相切.

命題專家高人一籌就是“反彈琵琶”，事先知道存在圓O∶x2+y2=2，直線l（也即直線AB）是該圓上動點P（x0，y0）（x0y0≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，有結(jié)論OA⊥OB，所以可以設(shè)計證明∠AOB的大小為定值.

那拋物線又會怎樣呢？不妨設(shè)拋物線直角坐標方程為y2=2px（p>0），轉(zhuǎn)化為極坐標方程為：ρ=2pcosθsin2θ.

當A和B為拋物線上除原點以外的兩個動點，且OA⊥OB，易得1|OA|2+1|OB|2=14p2（4sin22θ-3），與θ有關(guān)，并非定值，這大概是中心二次曲線與無心二次曲線的差別吧！但“東方不亮西方亮”，拋物線與前兩者還是有類似之處的.

下面的高考題就是一個很好的佐證：設(shè)點A和B為拋物線y2=4px（p>0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線（2000北京、安徽春季招生試題）.

通過求解，M的軌跡方程為：（x-2p）2+y2=4p2（x≠0），所以軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點（“4p”改為“2p”，也有相仿的結(jié)論，無非數(shù)據(jù)一點差別）.

此題的逆命題也成立：過點D（2p，0）做直線交圓（x-p）2+y2=p2于點M，交拋物線y2=2px（p>0）于點A、B，O為拋物線頂點，則OA⊥OB，OM⊥AB.

題5是過點（m，0）做切線，并非定圓上某一動點的切線，所以圓的半徑不受r=aba2+b2制約，切線隨m的變化而運動，與題3切線運動方式有區(qū)別，但求|AB|的取值范圍（最大值）卻有異曲同工之妙，這是繼承基礎(chǔ)上的創(chuàng)新，使得題目短小精悍，但內(nèi)涵豐富，很能考查出學(xué)生分析解決問題的能力與計算能力.

讓人意外的是事隔5年后，類似題重出江湖，將B點運動改在直線y=2上，又讓我們欣賞到如此優(yōu)美的結(jié)論，不得不佩服專家的真知灼見與勇氣.

三、深入探究

筆者一直在想，命題專家如何想到將B點運動由橢圓上改在直線y=2上，照樣有類似的結(jié)論？

不妨設(shè)B坐標為（a，t）（at≠0），則kOB=ta，∵OA⊥OB， ∴kOA=-at，∴直線OA方程為y=-atx，由x2+2y2=4

y=-atx得，x2A=4t22a2+t2，

∴y2A=a2t2x2A=4a22a2+t2，

∴|OA|2=x2A+y2A=4（a2+t2）2a2+t2，且|OB|2=a2+t2.

令d為點O到直線AB的距離（也即Rt△OAB斜邊AB上的高），由平面幾何知識得，

d2=|OA|2·|OB|2|AB|2.

∴1d2=|OA|2+|OB|2|OA|2·|OB|2=1|OA|2+1|OB|2=2a2+t24（a2+t2）+44（a2+t2）=2a2+t2+42（2a2+2t2）.

由此可知d不是定值，與t有關(guān).欲使d為定值，則t2+4=2t2，t=±2，此時a=0對定值沒有影響，只不過是在求解之初要討論一下，至此我們發(fā)現(xiàn)題1的由來.我們還可設(shè)想，橢圓改為雙曲線、拋物線，類似題又如何編擬呢？若干年后還會出現(xiàn)嗎？

通過對這道高考題粗淺的研究，讓筆者悟到作為老師和學(xué)生假若能象考古工作者縱橫聯(lián)系研究文物一樣地研究試題，了解試題的“前世今生”，發(fā)現(xiàn)一些高考題的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其內(nèi)在規(guī)律性的知識，再加上欣賞的眼光，就不難理解許多數(shù)學(xué)愛好者癡迷地遨游數(shù)學(xué)海洋的原因，“數(shù)學(xué)枯燥乏味”、“解析幾何太恐怖了，運算量大的驚人”言論就站不住腳了，而是讓人覺得“數(shù)學(xué)好玩”（陳省身語），倘若達到這一層次，我想“玩好數(shù)學(xué)”也就不難了.

參考文獻

[1]張新祿等.2014年北京高考數(shù)學(xué)理19題的多種解法及對教學(xué)的啟示[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（7-8）：88-90