立體幾何

許少華

立體幾何無論是客觀性試題還是主觀性試題都是以中檔題或是中檔偏下試題與考生見面，是我們主要得分之題.因此，我們說：它是我們必須堅守的陣地.當(dāng)我們面對這一內(nèi)容進行復(fù)習(xí)時，該如何進行呢？本文帶你一起進入從基礎(chǔ)知識、基本技能到常規(guī)方法與必備能力的全面復(fù)習(xí)與欣賞.

一、近三年全國（1）卷的考情報告與分析

1.（1）理科試題分布情況

（2）文科試題分布情況

2. 考情分析

對于理科，由上表可以清晰的看出，三視圖是年年都考，從試題的排位上可以看出，此類試題并不是最簡單的題，多以中檔題出現(xiàn).旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積、線面位置關(guān)系、異面直線成角及二面角也是相對而言的高頻考點.直線與平面所成的角也時常會在試卷中出現(xiàn)，復(fù)習(xí)時，不可過多強調(diào)，但絕不能不管不問，常規(guī)的處理方法必須掌握.

對于文科，由上表同樣可以看出，三視圖是年年都考，從試題的排位上也可以看出，此類試題同樣不是最簡單的題，也多以中檔題出現(xiàn).旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積、平行問題與垂直問題也是相對而言的高頻考點.直線與平面所成的角及二面角雖然課本中有，但近年命題從未涉及，因此，復(fù)習(xí)這兩個內(nèi)容時，只達到了解層次即可.

二、基礎(chǔ)知識整合

1. 空間幾何體

1. 1. 必記概念與定理

（1）正棱錐的性質(zhì)

側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影構(gòu)成一個直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也構(gòu)成一個直角三角形.

（2）四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系.

1. 2. 活用公式與結(jié)論

（1）常用面積和體積公式

①S圓柱側(cè)=2πrl，S圓柱側(cè)=πrl，S球=4πR2；

②V柱=Sh，V錐=Sh，V球=πR3.

（2）三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正（主）視圖的下面，長度與正（主）視圖一樣；側(cè)（左）視圖放在正（主）視圖的右面，高度和正（主）視圖一樣，寬度與俯視圖一樣.畫三視圖的基本要求：正（主）俯一樣長，俯側(cè)（左）一樣寬，正（主）側(cè)一樣高.

1. 3. 辨明易錯易混點

（1）應(yīng)注意根據(jù)幾何體的三視圖確定幾何體的形狀和數(shù)量特征，尤其是側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)與幾何體中的數(shù)據(jù)之間的對應(yīng).

（2）弄清楚球的簡單組合體中幾何體度量之間的關(guān)系，如棱長為a的正方體的外接球的半徑為a.

（3）搞清幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所在底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積.

2. 空間點、線、面的位置關(guān)系

2. 1. 必記概念與定理

（1）直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

① 線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.

② 線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β=b?a∥b.

③ 面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α?α∥β.

④面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b?a∥b.

（2）直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

① 線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.

② 線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.

③ 面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.

④ 面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l? a⊥β.

2. 2. 活用公式與結(jié)論

（1）平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

2. 3. 辨明易錯易混點

（1）判定定理和性質(zhì)定理中的條件不明確，導(dǎo)致判斷出錯.如由α⊥β，α∩β=l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的限制條件.

（2）明確圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.

3.（理）空間向量與立體幾何

3. 1. 必記概念與定理

線、面平行與垂直的向量方法

設(shè)直線l的方向向量分別為=（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分別為=（a2，b2，c2），=（a3，b3，c3），則：

（1）線面平行：l∥α?⊥?·=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.

（2）線面垂直：l⊥α?∥?=k?a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2.

（3）面面平行：α∥β?∥?=λ?a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3.

（4）面面垂直：α⊥β?⊥? ·=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.

3. 2. 活用公式與結(jié)論

空間角的計算

（1）線線夾角

設(shè)l，m的夾角為θ（0≤θ≤），則cos θ==.

（2）線面夾角

設(shè)直線l與平面α的夾角為θ（0≤θ≤），則sin θ==│cos〈，〉│.

（3）面面夾角

設(shè)平面α、β的夾角為θ（0≤θ<π），則|cosθ|==│cos〈，〉│.

3. 3. 辨明易錯易混點

（1）求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析.

（2）兩條異面直線所成角的范圍：0°<α≤90°；直線與平面所成角的范圍：0°≤α≤90°；二面角的平面角的取值范圍：0°≤α≤180°.

三、考點聚焦

1. 三視圖

三視圖是立幾中的熱點之一，每年高考都考，考題形式靈活多樣，可能與畫圖結(jié)合，考查其中一個視圖.可能與基本計算結(jié)合，考查其中一個視圖的面積、幾何體的最長邊、表面的最大面積等.還可能與多面體的體積與表面積結(jié)合，考查表面積與體積的計算.

（1）識圖

識圖，既有對特殊幾何體的識別，又有對幾何體中截面形狀的識別.圍繞這一內(nèi)容出現(xiàn)過一些典型試題，請看：

例1. 將正三棱柱截去三個角（如圖1所示，A，B，C分別是△GHI三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）

分析：首先要認識這個幾何，注意圖2幾何體的特點，由于面AED垂直于底面EFD，于是，從側(cè)面看過去，應(yīng)該看到兩個直角，從這點出發(fā)即可得到答案為A.

例2. 已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（ ）

分析：注意“長對正高平齊寬相等”，也就是說：正視圖與俯視圖的長要對正，正視圖與側(cè)視圖的高要平齊，俯視圖與側(cè)視圖的寬要相等.我們注意“正視圖與側(cè)視圖的高要平齊”可排除A；再結(jié)合俯視圖是正三角形，可知正視圖，不可能是B與C，故正確選項為D.

（2）最值

例3. 某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（ ）

A. 2 B. 2 C. 4 D. 2

點評：本題的設(shè)計頗具特點，通過視圖將線段與其投影聯(lián)系在一起，然后再結(jié)合均值不等式產(chǎn)生結(jié)論，無論是哪一點不過關(guān)都不可能產(chǎn)生結(jié)果.

例4. 如右上圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ）

A. 6 B. 4

C. 6 D. 4

解析：該幾何體是如圖所示的棱長為4的正方體內(nèi)的三棱錐E-CC1D1 （其中E為BB1的中點），

容易得到CC1=C1D1=4，C1D=4，EC=EC1=2，D1E==6.

其中，最長的棱為D1E=6.

例5. 一四面體的三視圖如左圖所示，則該四面體四個面中最大面的面積是（ ）

A. 2 B. 2

C. D. 2

解析：由三視圖可得幾何體如下圖所示的棱長為2的正方體內(nèi)的三棱錐B-CB1D1，結(jié)合圖形，我們知道S△BCB1=×2×2=2， S△BB1D1= S△BCD1=×2×2=2，S△CB1D1==×2×2×=2.

比較可知，正確選項為D.

點評：例4與例5具有相似之處，都需要一一計算，然后進行比較產(chǎn)生結(jié)論.在計算過程中，首先要求由三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體必須準(zhǔn)確；其次，要求對幾何體的結(jié)構(gòu)要十分清晰，構(gòu)成該幾何體的面與棱都準(zhǔn)確掌握.否則，是極易出錯的.

2. 表面積與體積

體積與表面積也是“小題”命題的熱點之一，在此類試題的設(shè)計中往往與三視圖結(jié)合，通過對三視圖與幾何體的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生幾何體后，得到結(jié)論.

例6 .一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm2）為（ ）

（A）48+12

（B）48+24

（C）36+12

（D）36+24

解析：這是一個什么樣的三棱錐呢？從俯視圖中可以看出底面是等腰直角三角形，直角邊長為6.再看俯視圖中還有一條“斜邊中線”，顯然，它是一條棱的射影，那么，另外兩條側(cè)棱的射影在哪里？正好落在了斜邊上，由此可知含這兩條側(cè)棱的側(cè)面與底面垂直，且頂點在底面內(nèi)的射影是底面直角三角形斜邊的中點.

據(jù)棱錐的直觀圖，則有PO=4，OD=3，由勾股定理，得PD=5， AB=6，全面積為：×6×6+2××6×5+×6×4=48+12，故選A.

例7. 設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）. 則該幾何體的體積為 m3.

解析：從俯視圖與側(cè)視圖可以得到兩個信息，一是頂點在底面上的射影位于底面三角形的一邊上，且是底邊上的四分之一分點；二是一個側(cè)面與底面垂直；再看正視圖，可以得到底面三角形的一個頂點在底邊上的射影是該邊的中點.

棱錐的直觀圖如上，這是一個三棱錐，高為2，底面三角形一邊為4，這邊上的高為3， 體積等于×2×4×3=4. 于是，該幾何體的體積為4m3 .

例8. 如圖，某幾何體的三視圖如下圖所示，其中網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（ ）

A. 8 B. 9

C. 10 D. 12

解析：由三視圖可得幾何體如圖右圖所示的三棱錐A-BCD，其中AB=AC=AD==2，底面三角形BCD中BD=4，CD=2且BD⊥CD，得S△BCD=×4×2=4.點A在面BCD內(nèi)的正投影為BC中點，于是三棱錐A-BCD的高為h==

3.

故體積為V=×4×3=8.

3. 客觀性試題的創(chuàng)新設(shè)計

立幾中的客觀性試題是立幾試題改革與創(chuàng)新的“試驗田”，近年出現(xiàn)了“百花齊放”的新景象，很多創(chuàng)新性的試題都在立幾中出現(xiàn).

例9. 如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足.設(shè)AK=t，則t的取值范圍是 .

解析一：作DO⊥AF于O并延長交AB于G，折起后AO⊥面DOG.當(dāng)面ABD⊥平面ABC時，點D的投K影在哪里？其實，就是點G.

事實上，在面ABD內(nèi)作DG′⊥AB于G′，則DG′⊥面ABC，從而DG′⊥AO，連OG′，得AO⊥面DOG′，于是G與G′重合.

設(shè)DF=x（1解析二：采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，t=1，隨著F點到C點時，因CB⊥AB，CB⊥DK，∴ CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，對于CD=2，BC=1，∴BD=，又AD=1，AB=2，因此有AD⊥BD，則有t=，因此t的取值范圍是（，1）.

點評：本題的解析一很漂亮，分析出點D的投影K的具體位置是求解的關(guān)鍵，有了它，便有了一切；解析二抓住極端點的求解更漂亮，別具一格.它告訴我們對客觀題的求解要靈活、不必追求循規(guī)蹈矩.

例10. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，頂點B1到對角線BD1和到平面A1BCD1的距離分別為h和d，則下列命題中正確的是（ ）

A. 若側(cè)棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為（0，1）

B. 若側(cè)棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為（，）

C. 若側(cè)棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為（，）

D. 若側(cè)棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為（，+∞）

解析：設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為λ（λ>0），過B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B.在Rt△BB1D1中，B1D1=，B1D=，由三角形面積關(guān)系得h=B1H==. 設(shè)在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，所以BC⊥平面AA1B1B，于是BC⊥B1G，所以B1G⊥平面AB1CD1，故B1G為點到平面A1BCD1的距離，在Rt△A1B1B中，又由三角形面積關(guān)系得d=B1G==.于是==·.

于是當(dāng)λ>1，所以λ2+2>3，<1-<1，所以∈（，1）.

例11. 如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點，定義

f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是三棱錐M-PAB、 三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f（M） = （，x，y），且+≥8恒成立，則正實數(shù)a的最小值為_______.

解析：由題意得+x+y=××3×2×1=1?x+y=.

而+=+=2（1+a++）≥2（1+a+2）=2（1+）2，即+的最小值為2（1+）2，由于+≥8恒成立，則2（1+）2≥8?a≥1.

點評：本題打破了立幾的常規(guī)命題模式，既“擺脫”了點、線、面，又依存于點、線、面，求解中一個巧妙地利用函數(shù)，一個適時地應(yīng)用了基本等式，無論是求解還是將要面對的結(jié)論具有很大的創(chuàng)新性.

例12. 如圖，一只小船以10 m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20 m的橋上，一輛汽車由西向東以20 m/s的速度前進.現(xiàn)在小船在橋下水平面P點以南的40 m處，汽車在橋上Q點以西30 m處（其中PQ⊥水面），則小船與汽車間的最短距離為 .

（不考慮汽車與小船本身的大小）

解析：設(shè)經(jīng)過ts汽車在A點，船在B點，如下圖，則有AQ=30–20t，BP=40–10t，PQ=20. 設(shè)點A在水平面的射影為C，連結(jié)CB，AB，不難得出△ACB 和△CPB 都是直角三角形，從而AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+（30–20t）2=100[5（t–2）2+9].

故當(dāng)t=2時，線段AB最短，最短距離為30 m..

點評：面對此類問題，要記住“麻雀雖小，五臟俱全”；求解時一點也不能含糊，“實際問題”→“建立模型”→“產(chǎn)生數(shù)學(xué)結(jié)論”→“實際結(jié)果”的基本步驟一點也少不了.

4. 空間點、線、面的基本關(guān)系

立體幾何涉及三種語言，圖形語言、文字語言、符號語言，對于符號語言通常是通過選擇題進行考查的，它要求對符號語言的準(zhǔn)確理解與正確運用.

4.1. 基本關(guān)系

例13. α、β是兩個平面，m、n是兩條直線，有下列四個命題：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，m?α，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.

其中正確的命題有 .（填寫所有正確命題的編號）

解析：對于命題（1）由于m⊥n，m⊥α，可得n在平面α內(nèi)或n∥α，而n∥β，則平面α與平面β可能平行，于是，α⊥β是不正確的.

再看（2）由n∥α，則n必平行于α內(nèi)某一直線n′，由于m⊥α，則m⊥n′，從而m⊥n. 顯然，（2）是正確的.

命題（3）是兩面平行的一個性質(zhì)，雖然，課本中未直接給出，但我們講課時都會說，沒有難度.

命題（4）結(jié)合平行線的性質(zhì)也容易產(chǎn)生結(jié)論.

點評：本題是一道填空題，它涉及四個命題正確性的判定.我們知道：從數(shù)學(xué)的嚴謹性角度看，肯定命題要給出證明，否定命題要舉出反例. 顯然，無論是證明還是舉反例，對于一道填空來說是不易的，它要求必須對四個命題作出準(zhǔn)確的判斷，一個出錯，“滿盤皆輸”，且此類題不需要四個命題都難度，只要有一個較難度就夠了，顯然，這不是“淺”考查的命題方式.它要求我們復(fù)習(xí)必須達到一定的深度.

4.2. 異面直線成角

例14. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BM與AN所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.

解析：如圖，E為BC的中點. 由于M，N分別是A1B1，A1C1的中點，故MN∥B1C1且MN=B1C1，故MN∥BE，所以四邊形MNEB為平行四邊形，所以EN∥BM，所以直線AN，NE所成的角即為直線BM，AN所成的角.設(shè)BC=1，則B1M=B1A1=，所以MB===NE，AN=AE=，在△ANE中，根據(jù)余弦定理得cos∠ANE==.

點評：異面直線成角是近年高考命題的一個“小”熱點，細心的人可能還記得2016年全國（1）卷文、理科的第11題給考生朋友帶來的“驚喜”，那真叫考得“扎實”.

4.3. 線線平行、線面平行及面面平行

平行問題包括線線平行、線面平行及面面平行. 關(guān)于平行的判定與性質(zhì)，內(nèi)容十分豐富，設(shè)計試題的前景廣闊，再加上各種距離或是各種面積與體積的計算，這一試題就非常好了.

例15. 如圖，四棱錐中P-ABC，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（I）證明MN∥平面PAB；

（II）求四面體N-BCM的體積.

解析：（1）由已知得AM=AD=2，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN=BC=2.

又AD∥BC，故TN平行且等于AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.

因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB

（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，

所以N到平面ABCD的距離為PA.

取BC的中點E，連結(jié)AE. 由AB=AC=3得AE⊥BC，AE==.

由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM=×4×=2.

所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=×S△BCM×=.

點評：本題建立在四棱錐的基礎(chǔ)上進行設(shè)計，第一問證明線面平行，第二問求體積.無論是第一問還是第二問都是考查基本性質(zhì)與基本方法的應(yīng)用，只要我們掌握好常規(guī)的解題步驟就能順利完成求解.

4.4. 線線垂直、線面垂直及面面垂直

垂直問題包括線線垂直、線面垂直及垂直平行.關(guān)于垂直的判定與性質(zhì)，內(nèi)容十分豐富，設(shè)計試題的前景廣闊，同樣再加上各種距離或是各種面積與體積的計算，這一類試題與平行問題相似也十分豐滿.

例16. 如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

（I）證明：AC⊥HD′；

（II）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱錐D′-ABCEF體積.

解析：（I）由已知，得AC⊥BD，AD=CD.

又由AE=CF得=，故AC∥EF.

由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC∥HD′.

（II）由EF∥AC得==.

由AB=5，AC=6得DO=BO==4. 所以O(shè)H=1，D′H=DH=3.

于是OD′2+OH2=（2）2+12=9=D′H2，故OD′⊥OH.

由（I）知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′=H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH，AC∩OH=O，所以O(shè)D′⊥平面ABC.

又由=得EF=.

五邊形ABCEF的面積S=×6×8-××3=.

所以五棱錐D′-ABCEF體積V=××2=.

點評：垂直問題的求解要抓住：線線垂直——線面垂直——面面垂直的基本思路.從基本圖形入手，借助線線垂直的起點，產(chǎn)生我們需要的結(jié)論.

4.5. 平面的翻折

建立在某個圖形的基礎(chǔ)上，由部分圖形沿一條特殊直線進行翻折產(chǎn)生空間問題，是立幾命題的重要思路之一，此類試題的特點是，圖形新穎、靈活，求解必須將新舊圖形對照.

例17.如圖（1），四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，作如圖（2）折疊，折痕EF∥DC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF.

（1）證明：CF⊥平面MDF；

（2）求三棱錐M-CDE的體積.

點評：解決與折疊有關(guān)的問題的兩個關(guān)鍵：（1）要明確折疊前后的變化量和不變量.一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化.（2）在解決問題時，要比較折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.

5. 立體幾何與空間向量

5.1. 直線與平面成角

直線與平面所成的角是空間角中的一種，它與線面垂直、線線垂直等聯(lián)系相當(dāng)密切，建

立在直線與平面基本關(guān)系的基礎(chǔ)上設(shè)計直線與平面成角問題，用以全面考查立幾的基礎(chǔ)知識是完全可能的，因此，我們必須高度重視.

例18. 如圖，四棱錐P-ABC中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（I）證明MN∥平面PAB；

（II）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

解析：（I）由已知得AM=AD=2，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN=BC=2.

又AD∥BC，故TN平行且等于AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.

因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.

5.2. 二面角

二面角是一個永不衰退的高考熱點，近年命題較為頻繁，面對此類試題我們的處理思路有兩種：其一是通過“作——證——求”，運用立幾的方法進行求解；其二是通過空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量完成求解.

例20. 如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

（I）證明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

解析：（I）由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC.

又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.

（II）過D作DG⊥EF，垂足為G，由（I）知DG⊥平面ABEF.

以G為坐標(biāo)原點，的方向為A軸正方向，

為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.

由（I）知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE=60°，則DF=2，DG=，可得A（1，4，0），B（-3，4，0），E（-3，0，0），D（0，0，）.

由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC.

又平面ABCD∩平面EFDC=DC，故AB∥DC，CD∥EF.由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角，∠CEF=60°. 從而可得C（-2，0，）.

故二面角E-BC-A的余弦值為-.

點評：本題第一問較簡單，幾乎是送分題.第二問要建立空間直角坐標(biāo)系，為此我們要首先尋找三條兩兩垂直的直線，于是建立在第一問結(jié)論的基礎(chǔ)上，很快找到了滿足條件的三條直線，于是空間直角坐標(biāo)系的三條軸也就找到了.

立體幾何的常規(guī)命題是“兩小一大”，分數(shù)為22分，占據(jù)部分近六分之一，但在最后你的得分中肯定超過六分之一，因此，當(dāng)我們面對它時，我們說：這是必須堅守的陣地，無論如何都一定要保住它.

責(zé)任編輯 徐國堅