頻率分布直方圖常見錯誤剖析

徐銳

頻率分布直方圖是用來刻畫樣本數據分布的重要工具之一，也是用樣本估計總體的常用方法. 整個制圖過程操作性強，圖形簡潔美觀、分布直觀，也適用于計算機繪圖，所以在各行業(yè)的數據處理中應用廣泛.

《普通高中數學課程標準》對頻率分布直方圖的具體要求是：通過實例體會分布的意義和作用，會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖表示樣本數據，并體會其特點. 會用樣本的頻率分布直方圖估計總體分布，會用樣本的頻率分布直方圖估計總體的基本數字特征. 簡單地說，就是能“制圖”，會“用圖”. 而同學們在解題中的錯誤也主要發(fā)生在這兩個過程中.

分組、頻數統計等環(huán)節(jié)出錯

例1 某市2016年4月1日～4月30日對空氣污染指數的監(jiān)測數據如下（主要污染物為可吸入顆粒物）：

61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，

91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.

請對以上數據進行分組，并統計每組頻數.

錯解1 首先計算這組數據的極差為103-45=58，將組距定為10，組數定為不是整數，無法分組.

錯解2 計算這組數據的極差為103-45=58，將組距定為10，組數定為6，則將30個數據分為[45，55]，[55，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，105]這6組，得到每組的頻數分別為2，3，5，12，9，3.

正解 計算這組數據的極差為103-45=58，將組距定為10，不是整數，可以分為六組. 在分組時，將30個數據分為[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105] 這6組，得到每組的頻數分別為2，3，3，11，8，3.

點撥 若“極差/組距”為整數，則此整數即為組數. 若“極差/組距”不為整數，則“極差/組距”的整數部分+1即為組數. 分組時每組所在區(qū)間一般是選擇“左閉右開”，而不是“雙閉”或“雙開”，以防止某些數據漏選或某些數據被多次計入不同小組，從而導致頻數統計失誤. 為防出錯，可以檢查各組頻數之和是否等于樣本容量. 如錯解2中，頻數之和為2+3+5+12+9+3=34>30，錯因是分組時所取區(qū)間為閉區(qū)間，因而75、85、95三個數據被重復計數了.

例2 2000輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖，時速在的汽車大約有（ ）

A. 30輛 B. 60輛

C. 300輛 D. 600輛

錯解 輛，選B.

正解 對應的頻率為，對應汽車數量為輛，選D.

答案 D

點撥 本例錯解在于將頻率分布直方圖的縱坐標“”誤認為是“頻率”. 正確的理解是頻率分布直方圖中每個矩形的高等于該組的，每個矩形的面積是該組的頻率.

練習

某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]. （1）求圖中的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數（x）與數學成績相應分數段的人數（y）之比如表，求數學成績在[50，90）之外的人數.

[參考答案]

（1）0.005 （2）73分 （3）10人