懸點做勻速圓周運動的擺的運動情況研究

胡楊麗江 陳聰 徐娜 柴溢 金堅毅 文一帆 馮艦銳

【摘 要】一根忽略質(zhì)量線和重物可構(gòu)成一個擺。當(dāng)擺的懸掛點在水平面上做圓周運動的時候，其運動情況與懸點圓周運動的半徑、角速度、懸線長度、擺球質(zhì)量等量有關(guān)。文章從受力分析著手對擺的軌跡方程進行推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，理想條件下其穩(wěn)定狀態(tài)有2種，一是相位滯后為的情況，二是相位相同的情形。這2種情況分別又有從不穩(wěn)定態(tài)到穩(wěn)定態(tài)的“暫態(tài)”過程；考慮空氣阻力后，與理想條件下相差極小，然后以實驗驗證此理論結(jié)果正確。

【關(guān)鍵詞】懸點做勻速圓周運動的擺；滯后的擺；軌道；空氣阻尼

【中圖分類號】O314 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-0688（2016）11-0058-03

鐘擺運動的研究是一個經(jīng)典物理問題，而簡單的鐘擺是一種在物理和非線性振蕩等現(xiàn)象研究中的范例動力學(xué)，在這里我們要嘗試通過實驗描述我們所稱的廣義擾動擺[1]。

圓錐擺的懸點是軸線上一個固定的點。當(dāng)以懸線或懸線延長線上的點為參考系時，就相當(dāng)于一個懸點做勻速圓周運動的擺。那么可見，對于一個懸點做勻速圓周運動的擺而言，在有些情況下擺球會做相比懸點運動半徑更小的圓周運動，即相比于懸點具有空間相位上的“滯后性”[2]。本文在忽略擺球自身旋轉(zhuǎn)和懸線內(nèi)部應(yīng)力的情況下，探究具有滯后性的臨界條件和具有相位滯后特點時的運動情況。

設(shè)懸點勻速圓周運動的半徑為R1，角速度為ω，懸線長度為l，擺球質(zhì)量為m，且在本文中只有這4個量是可以被人為改變的。

1 基本原理

1.1 理想條件下的臨界條件

定義懸線與水平方向的夾角為θ，擺球在穩(wěn)定狀態(tài)下的圓周運動的半徑為r，借助圓錐擺的動力學(xué)方程，忽略空氣阻力的影響時，對于擺球有■=ω2r[3]，如要出現(xiàn)擺球相對懸點相位滯后（如圖1右所示）的情況，在r=-R1+？詛cosθ的情況下動力學(xué)方程需要有解。易知臨界條件為R1、？詛、ω滿足f（R1，l，ω）=■-l■+R1■=0。當(dāng)f（R1，l，ω）≤0時，能量較低的情況出現(xiàn)；當(dāng)f（R1，l，ω）≥0時，出現(xiàn)無相位滯后的情況。

1.2 理想條件下的軌跡分析

在可以出現(xiàn)空間相位滯后的情形下，由圓錐擺的相關(guān)推想可知其穩(wěn)定狀態(tài)有2種，一是空間相位滯后為π的情況，二是相位相同的情形。這2種情況分別又有從不穩(wěn)定態(tài)到穩(wěn)定態(tài)的“暫態(tài)”過程。

在穩(wěn)定狀態(tài)時，以l、R1、r在t=0時刻形成的平面為xOz面建立笛卡爾坐標(biāo)系，假想的圓錐擺懸點為O點，對于空間相位滯后為π的情況，有

x=（-R1+lcosθ）cosωty=（-R1+lcosθ）sinωtz=■，

而對于相位相同的情形，有

x=（R1+lcosθ）cosωty=（R1+lcosθ）sinωtz=■。

分別計算2種情況的能量可知，當(dāng)R1、l、ω均相同且滿足f（R1，l，ω）<0時，相位滯后π的情況總會比相位相同的情況能量低。

在達到穩(wěn)定狀態(tài)之前，有一段持續(xù)時間較長的暫態(tài)。暫態(tài)中，擺球不在穩(wěn)定狀態(tài)時的位置，而是以穩(wěn)定狀態(tài)時的懸線所在直線為軸，做獨立的圓錐擺運動。即，暫態(tài)中的擺球相對于穩(wěn)定狀態(tài)的擺球又有往復(fù)的超前與滯后。如圖2所示，設(shè)暫態(tài)中擺球關(guān)于軸線做的圓錐擺半徑為r2，懸線與圓錐底面的夾角為θ2，圓錐底面圓心距懸線圓周運動中軸線的距離為r1，圓錐軸線與水平面夾角為θ1，設(shè)l、R1、r1、r2以在同一平面內(nèi)時刻為t=0時刻，該平面為xOz面建立笛卡爾坐標(biāo)系，那么暫態(tài)中x，y的坐標(biāo)為x平衡y平衡+r2cosω2tsinθ2 r2cosω2t× cosω1t sinω1t-sinω1t cosω1t，導(dǎo)出軌跡方程為

x=r1cosω1t+r2cosω2tsinθ2cosω1t-r2sinω2tsinω1ty=r1sinω1t+r2cosω2tsinθ2sinω1t+r2sinω2tcosω1tz=-■+r2cosω2tcosθ2

對于空間相位滯后為π的情況，其中r1=-R1+lcosθ1，相位同步的情況則有r1=R1+lcosθ1。對于暫態(tài)而言，由于空氣阻尼的存在，系統(tǒng)能量緩慢降低，最終會達到穩(wěn)定狀態(tài)。

為了更貼近實際情況，接下來引入空氣阻尼進行研究。

1.3 引入空氣阻尼的分析

如圖3所示，設(shè)擺線上的拉力為T，擺線與豎直方向夾角為θ，擺線在水平方向的投影與擺球圓周運動的半徑夾角為φ，擺球圓周運動的半徑為r，擺球半徑為φ，空氣的動力黏滯系數(shù)為η。對擺球受力分析可得

Tcosθ=mgTsinθcosφ=mω2rTsinθsinφ=6πφηωr

于是解出tanφ=■，又有■=■和2Rrcos△α=R2+r2-l2sin2θ，進而可以解出相位差：

其中，M=R2l2ω2（m2ω2+36π2φ2η2）。

經(jīng)計算可知，空氣阻尼對△α的影響為忽略空氣阻尼時的10-3倍，所以理想情況已經(jīng)很貼近實際情況。

2 實驗過程及數(shù)據(jù)分析

實驗裝置如圖4所示，包括ZYTD555型電機、HY1711-2S電源、擺球、懸線、支架、擺臂。

實驗步驟如下。

（1）組裝實驗裝置，并且在電機轉(zhuǎn)軸正上方和裝置正前方各放置1臺攝像機。

（2）等間距改變待驗證的變量，并用2臺攝像機同步攝錄實驗現(xiàn)象。

（3）重復(fù)（2）的過程，利用Tracker軟件分析錄像中的暫態(tài)和穩(wěn)定狀態(tài)時的參數(shù)或軌跡。

2.1 對臨界條件的驗證

由于人為改變量只有4個，且根據(jù)理想條件下的結(jié)果，質(zhì)量不影響運動，因此只需要選取其中2個分別實驗便可驗證臨界條件式。

懸點圓周運動的半徑為9.7 cm，角速度為2πs-1時，不同懸線長度是否會形成空間相位滯后見表1。理論臨界擺長為47.19 cm，與實驗符合。

懸點圓周運動的半徑為9.7 cm，懸線長為55 cm時，不同轉(zhuǎn)速下是否會形成空間相位滯后見表2。理論臨界轉(zhuǎn)速為1.783πs-1，與實驗符合。

將以上2組實驗的無關(guān)變量改變，重復(fù)多次，均能得到相同結(jié)論。

2.2 對軌跡的驗證

為了驗證軌跡方程和實際情況的一致性，以如下案例為例，闡述驗證軌跡的過程。

懸點圓周運動的半徑為9.31 cm，懸線長為94.50 cm，角速度為10.47s-1時，以擺球旋轉(zhuǎn)中心（230，120）為坐標(biāo)，利用Tracker軟件追蹤重物可得圖線（如圖5所示）。

此次實驗與理論的吻合度為94.7%，在每個變量獨立變化均重復(fù)10組實驗后，所有實驗與軌跡方程的吻合度均在87%以上。

3 結(jié)論

滯后擺模型的研究與學(xué)習(xí)體現(xiàn)了牛頓力學(xué)的經(jīng)典性，由于實驗室研究條件的限制，本文討論了同相位與空間相位滯后為π的2種情況。實驗先從理想狀態(tài)的理論推導(dǎo)出發(fā)，得出小球的理想運動經(jīng)歷了從非穩(wěn)定態(tài)至穩(wěn)定態(tài)的轉(zhuǎn)變，隨后引入空氣阻尼因素，以此進一步貼近實際情況小球的運動。

對小球運動方程的實驗驗證設(shè)立了擺線長度、轉(zhuǎn)速、小球質(zhì)量3個參數(shù)，討論了空間相位滯后為π的滯后擺模型。通過控制變量法多次改變變量數(shù)值，均能得到與理論方程相符合的數(shù)值。最后繪制小球運動軌跡曲線，實驗曲線與理論曲線吻合度極高，確認(rèn)小球滯后擺運動方程理論推導(dǎo)的正確性。

參 考 文 獻

[1]JL Trueba，JP Baltanás，MAF Sanjuán.A genera-lized perturbed pendulum[J].Chaos，Solitons &Fractals，2003，15（5）：911-924.

[2]iypt.urfu.ru.Problems for the 29th IYPT 2016[DB/OL].http：//iypt.urfu.ru/en/about/problems，2016-03-20.

[3]wikipedia.Conical_pendulum[DB/OL].https：//en.wi-kipedia.org/wiki/Conical_pendulum，2016-04-18.

[責(zé)任編輯：陳澤琦]