淺談解析幾何的雙向功能

李建杰 王楠

【摘要】 本文試圖從數(shù)形結(jié)合的角度，借助常見的曲線方程、幾何量和幾何關(guān)系的代數(shù)表示，結(jié)合有關(guān)實(shí)例，就運(yùn)用解析幾何方法解決代數(shù)問題進(jìn)行了探討，強(qiáng)調(diào)強(qiáng)化利用幾何方法審視代數(shù)問題這一功能意識(shí)的重要性，提出辨別代數(shù)問題中蘊(yùn)涵的幾何意義是利用幾何方法解決代數(shù)問題的關(guān)鍵，并結(jié)合具體示例提出了運(yùn)用解析幾何方法解決代數(shù)問題的具體途徑和方法，為實(shí)現(xiàn)解題過程的直接、簡(jiǎn)捷，避免繁復(fù)的代數(shù)運(yùn)算提供了思路.

【關(guān)鍵詞】 解析幾何；雙向功能

杰出地哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾，從方法論的高度把代數(shù)和幾何通過坐標(biāo)系這個(gè)橋梁結(jié)合起來，將曲線用方程表示，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題，建立了解析幾何. 橋梁總是雙向通行的，作為哲學(xué)家的笛卡爾還考慮了將代數(shù)中的方程看作某個(gè)坐標(biāo)系中的曲線，即反向應(yīng)用幾何方法解決代數(shù)問題. 他發(fā)現(xiàn)了用拋物線和圓的交點(diǎn)求三次和四次代數(shù)方程的實(shí)根這一著名的笛卡爾方法. 可見解析幾何自從來到世間，就肩負(fù)著雙重的使命：從幾何到代數(shù)，也從代數(shù)到幾何，即它具有雙向功能.

解析幾何方法的實(shí)質(zhì)是通過坐標(biāo)系把方程（方程組）同幾何對(duì)象對(duì)應(yīng)，使圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來. 把這個(gè)方法應(yīng)用于幾何，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，“以數(shù)解形”，這是解析幾何的主要功能，這種方法是普遍有效的，已成為幾何研究中的一個(gè)基本方法. 把這個(gè)方法應(yīng)用于代數(shù)，即通過解析幾何將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，“以形解數(shù)”，這也是一個(gè)功能，不過，它不具有普遍性，其前提條件是這個(gè)代數(shù)問題具有幾何意義. 然而，在我們的解析幾何教學(xué)中，總把代數(shù)到幾何附屬于幾何到代數(shù)，對(duì)解析幾何的第二功能的重要作用重視不夠，本文就此問題談點(diǎn)看法.

一、建立將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的功能意識(shí)

有一些代數(shù)問題，只要我們用解析幾何的眼光去看，一眼就能看出其具有的明顯的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為幾何問題很容易解決. 但如果只知道使用代數(shù)方法，想不到使用解析幾何方法，其運(yùn)算可能很繁瑣. 這就要求教師在教學(xué)過程中，通過例題，向?qū)W生闡明解析幾何除了具有解決幾何問題的功能外，還具有解決代數(shù)問題的功能，即具有雙向功能. 要培養(yǎng)學(xué)生具備運(yùn)用解析幾何的眼光審視代數(shù)問題的意識(shí)，只有具備了這種意識(shí)，才會(huì)主動(dòng)分析面臨的代數(shù)問題所具有的幾何意義.

二、用解析幾何的眼光審視代數(shù)問題所具有的幾何意義

由于一個(gè)代數(shù)問題能用幾何方法來解決的前提是它具有幾何意義，一看到某些代數(shù)表達(dá)式，通過“直接翻譯”馬上就能說出它的幾何意義. 即使所遇到的有些代數(shù)問題，其幾何意義雖然不能直接一眼看出，但我們可以靈活地運(yùn)用解析幾何知識(shí)，通過變形、聯(lián)想、猜想，賦予其特定的幾何意義，從而將其轉(zhuǎn)化成幾何問題，簡(jiǎn)化解法或直觀發(fā)現(xiàn)來解決. 本文將通過實(shí)例來說明如何把較復(fù)雜的代數(shù)、三角問題轉(zhuǎn)換成幾何問題，借助相關(guān)公式、性質(zhì)、圖形的特征、位置關(guān)系等來探求思考途徑和解決方法.