提煉“一線三等角” 提升學(xué)生解題能力

王海彬

摘 要：“一線三等角”是指三個(gè)相等的角在同一條直線上所形成的基本圖形，其本質(zhì)是應(yīng)用“一線三垂足”圖形中存在的兩個(gè)相似三角形及其一般性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，分析其圖形變式“一線三等角”的存在條件和解題應(yīng)用，認(rèn)識(shí)“一線三等角”及其圖形變式和特殊形式在初中平面幾何解題中的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：一線三等角；直觀體驗(yàn)；操作領(lǐng)悟；直接分離；靈活構(gòu)造

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）12-061-2

一、直觀體驗(yàn)“一線三等角”基本圖形，洞察本質(zhì)

徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。換言之，通過(guò)直觀能夠建立起人對(duì)自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)學(xué)家對(duì)直觀包括幾何直觀下了定義。綜合這些定義，我們認(rèn)為直觀要體現(xiàn)兩點(diǎn)：一是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢(shì)。幾何直觀是利用圖形洞察問(wèn)題本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特點(diǎn)，又有抽象思維的特點(diǎn)。

從“一線三等角”的特殊情況，即：三個(gè)角都是直角在同一條直線上所形成的基本圖形，到三個(gè)角都是60度角，再到三個(gè)角是45度角，最后到三個(gè)角都是一般角，結(jié)論仍然成立，再放到具體的圖形中，學(xué)生很快就找到了解決的方法。通過(guò)從特殊到一般的層層遞進(jìn)，學(xué)生對(duì)“一線三等角型”的基本圖形有了一些感覺(jué)。通過(guò)圖形的不斷變化，讓學(xué)生感受到圖形之間的聯(lián)系、題目之間的聯(lián)系?！叭怪毙汀钡奶岢鍪菍W(xué)生感到新鮮的，并將它拓展到“三角相等型”讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從薄到厚，又從厚到薄的過(guò)程。培養(yǎng)學(xué)生善于歸納總結(jié)，將題目歸類，會(huì)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

二、操作領(lǐng)悟“一線三等角”基本圖形，發(fā)展思維

《新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐，自主探究與合作交流時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地重要方式?！毙W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是與具體實(shí)踐活動(dòng)分不開的，重視動(dòng)手操作，是發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力最有效途徑之一。新課程的特點(diǎn)之一，是重視直觀教學(xué)，增加了學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)和動(dòng)手操作內(nèi)容。為此，操作活動(dòng)成了課堂教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

例2 如圖，已知正方形ABCD，把直角三角板的直角頂點(diǎn)放在邊BC上的任一點(diǎn)E處，讓直角三角板繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得三角板的

直角邊分別交AB、CD邊于點(diǎn)M、N，則△MBE與△ECN之間有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。

變式：把直角三角板點(diǎn)E繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得直角邊分別交BA的延長(zhǎng)線及CD邊于點(diǎn)M、N，上述結(jié)論仍然成立嗎？為什么？

在操作過(guò)程中加入變式教學(xué)有助于學(xué)生拓寬視野、加深對(duì)“一線三等角”基本圖形的理解、消化；突破課堂教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，提高課堂教學(xué)的效益；培養(yǎng)學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思維習(xí)慣，激勵(lì)他們創(chuàng)新、探究能力的發(fā)展。

三、直接分離“一線三等角”基本圖形，快速解題

面對(duì)一個(gè)比較復(fù)雜的圖形時(shí)，在保持圖形中各元素（點(diǎn)、線、角等）相對(duì)位置不變的情況下，提取出原圖的一部分進(jìn)行分析，從而解決問(wèn)題的方法就是圖形分離法。分離圖形既是一種有效的解題方法，也是學(xué)生空間觀念的重要組成部分。在圖形教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“分離圖形”的方法會(huì)收到事半功倍的效果，從這個(gè)意義上說(shuō)，圖形分離法也是一種教學(xué)方法。

能否靈活地運(yùn)用“圖形分離法”解題，首要前提就是看學(xué)生是否掌握基本概念，是否準(zhǔn)確把握基本圖形的特征。

在初中數(shù)學(xué)圖形內(nèi)容的教學(xué)中，運(yùn)用“圖形分離法”提高教學(xué)效果的例子不勝枚舉。但應(yīng)該注意到“圖形分離法”的運(yùn)用要適度，要有明確的目的，有時(shí)結(jié)合“圖形的組合”進(jìn)行訓(xùn)練效果會(huì)更好。

四、靈活構(gòu)造“一線三等角”基本圖形，提升能力

從幾何圖形中直接分離出基本圖形，運(yùn)用基本性質(zhì)相對(duì)容易，而如何從幾何圖形中構(gòu)造出基本圖形進(jìn)行運(yùn)用，才是難點(diǎn)所在.為此必須先仔細(xì)觀察圖形、研究圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合已知條件或者所求、所證的內(nèi)容，才能靈活構(gòu)造出能解決問(wèn)題的基本圖形。

例4 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=4，在AB邊上取點(diǎn)G，現(xiàn)將紙片沿EG翻折，使點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)F處，當(dāng)AE=3時(shí)，求BG的長(zhǎng)。

研究幾何題，經(jīng)常需要給圖形添設(shè)輔助線，添設(shè)輔助線的實(shí)質(zhì)在于構(gòu)造基本圖形，以便將復(fù)雜的問(wèn)題化簡(jiǎn)，將隱蔽的關(guān)系明朗化，將分散的元素相對(duì)集中，從而找到一種解題途徑。同時(shí)，設(shè)計(jì)基本圖形的構(gòu)造，有時(shí)還需配合使用聯(lián)想、代換、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。

以上例子主要是提煉“一線三等角”基本圖形，提升學(xué)生解題能力，我們學(xué)習(xí)幾何基本知識(shí)，主要是學(xué)會(huì)抽象、分析、解決問(wèn)題的依據(jù)、方法，在實(shí)際運(yùn)用中逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯思維及推理論證的能力。而各種思維能力培養(yǎng)和發(fā)展的基礎(chǔ)是基本的幾何定義、定理、公理及其推論等基礎(chǔ)知識(shí)，幾何基本圖形的教學(xué)在初中幾何教學(xué)中有著舉足輕重的地位和作用。

1.導(dǎo)向功能：幾何基本圖形具有概括性的特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生由形象思維發(fā)展為抽象思維具有很強(qiáng)的導(dǎo)向功能。通過(guò)基本圖形的教學(xué)，學(xué)生在記憶中形成幾何圖形的基本框架，這樣日積月累，為學(xué)生的形象思維到抽象思維，再到邏輯思維奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.系統(tǒng)化功能：一個(gè)基本圖形就代表一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，由若干知識(shí)點(diǎn)組成一個(gè)單元知識(shí)體系。因此，只要學(xué)好了基本圖形，就自然將所學(xué)幾何知識(shí)分成了若干類。特別是在復(fù)習(xí)、梳理系統(tǒng)知識(shí)的時(shí)候，就可以用幾何基本圖形及相應(yīng)的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)將所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，這樣既直觀又形象，便于學(xué)生直觀形象地理解知識(shí)的聯(lián)系與內(nèi)涵。

3.簡(jiǎn)化功能：第一，表現(xiàn)形式的簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)明化，易于學(xué)生掌握、記憶；基本圖形都是用簡(jiǎn)潔明快的線條和必要的幾何符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表述文字內(nèi)容的，因此便于學(xué)生形成“數(shù)型”結(jié)合的思想，也便于學(xué)生形象直觀的理解、記憶、運(yùn)用知識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)效率。第二，運(yùn)用基本圖形可以將復(fù)雜圖形進(jìn)行分解，使之分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形（基本圖形），從而使解題依據(jù)更加明確，解題思路更加明晰。這樣使解決問(wèn)題的難度得以降低，達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”和快速解決問(wèn)題的目的。由此可見(jiàn)，幾何基本圖形的教學(xué)在初中幾何教學(xué)中有著不可低估的地位和作用。

在中考試題中，動(dòng)態(tài)型問(wèn)題是綜合性較強(qiáng)的試題，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，但它仍然是以平面幾何圖形為背景，“數(shù)形結(jié)合”是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，其中“形”的快速把握就要?dú)w功于“基本圖形”的有效提煉。