求解病態(tài)線性方程組的超松弛余量修正迭代法及應(yīng)用

吳呈良 李星 董魁 張恩培

【摘要】科學(xué)計(jì)算和工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到病態(tài)線性方程組求解，而病態(tài)線性方程組的求解過(guò)程對(duì)數(shù)據(jù)擾動(dòng)非常敏感.本文先通過(guò)讓每次迭代產(chǎn)生近似解的余量的平方和最小的原則自動(dòng)生成超松弛迭代法中的松弛因子，再結(jié)合超松弛迭代法收斂速度快和針對(duì)病態(tài)方程組的余量修正法簡(jiǎn)單有效易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，提出了一種求解病態(tài)線性方程組的新方法，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，該算法在一定范圍內(nèi)適合求解病態(tài)線性方程組，且具有快速收斂，精度較高的特性.

【關(guān)鍵詞】ω自動(dòng)生成；超松弛迭代法；余量修正法；病態(tài)線性方程組

【中圖分類號(hào)】O241.6

一、引 言

科學(xué)計(jì)算和工程設(shè)計(jì)中，經(jīng)常會(huì)遇到求解線性代數(shù)方程組的問(wèn)題，而且計(jì)算方法的其他分支的研究也往往歸結(jié)為此類問(wèn)題.比如，在地球物理的反演計(jì)算中經(jīng)常需要解線性方程組來(lái)獲取重要結(jié)論.然而通過(guò)實(shí)際勘探和理論分析建立起來(lái)的線性方程組絕大多數(shù)都是病態(tài)的.如何利用計(jì)算機(jī)求解線性方程組，尤其是病態(tài)線性方程組，是我們共同關(guān)心的課題.

目前較為成熟的利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行線性方程組求解的方法主要分為兩類：一類是通過(guò)有限步運(yùn)算求得方程組解的直接法，此方法適用于中、小型系數(shù)矩陣稠密的線性方程組求解，如高斯消去法、三角分解法等； 另一類是迭代法，此方法適用于大型的系數(shù)矩陣稀疏的線性方程組求解，如雅可比迭代法、賽德?tīng)柕ā⒊沙诘ǎ⊿OR）等.其中超松弛迭代法因其可以通過(guò)合理選擇松弛因子ω實(shí)現(xiàn)加速收斂而被廣泛使用.然而，針對(duì)類似地球物理反演計(jì)算等實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常遇到的病態(tài)方程組，因計(jì)算機(jī)系統(tǒng)舍入誤差和實(shí)際測(cè)量誤差的存在，采用上述直接法和迭代法已不適用.較為常用的求解病態(tài)線性方程組有迭代校正法、投影法、遞推法等，但是這些算法存在有效性差、過(guò)于復(fù)雜等問(wèn)題而不夠理想.

為了能較為有效地采用迭代法求解線性方程組，尤其是病態(tài)線性方程組，使算法能夠快速收斂、簡(jiǎn)單有效地實(shí)現(xiàn)求解，本文通過(guò)把超松弛迭代法融合到余量修正法當(dāng)中，根據(jù)最小二乘法思想對(duì)超松弛迭代法中的松弛因子進(jìn)行自動(dòng)生成，得到一種全新簡(jiǎn)單而又高效的求解線性方程組算法，并對(duì)此方法求解病態(tài)線性方程組進(jìn)行了深入研究.