白正國與浙江大學微分幾何學派

薛有才 董杰

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2016.18.163

摘 要：白正國先生是浙江大學微分幾何學派的重要代表人物之一。科研上，他解決了國際射影微分幾何學界非常關注的Fubini問題，對蘇錐面進行了研究并拓廣了其性質(zhì)，給出了戈德織面序列的一個新定義，推廣了著名的W.Fenchel定理，解決了獨立保圓變換的黎曼空間的尺度形式問題等；學科建設上，他與陳建功、徐瑞云等人一起使得杭州大學數(shù)學系在短短的幾年間成為國內(nèi)具有重要影響的數(shù)學學科之一，對浙江大學數(shù)學系的建設起到重要作用；教學上，他先后培養(yǎng)了70多名碩士與博士，為光大浙江大學微分幾何學派做出了重要貢獻。

關鍵詞：白正國 浙江大學 微分幾何學派 科研 教學

中圖分類號：O186 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）06（c）-0163-04

Bai Zhengguo and Zhejiang University School of Differential Geometry

Xue Youcai1，2 Dong Jie1，2

（1.Zhejiang university of science and technology， School of science， Hangzhou Zhejiang，310023，China；2.Institute for History of Science and Technology， Inter Mongolia Normal University， Hohhot Neimenggu， 010022，China）

Abstract：Mr Bai Zhengguo is one of the important representatives of Zhejiang university school of differential geometry. He solved the problem of the famous Fubini， given a generalization of Sus associate quadrics of a surface and A new definition of the Godeaux sequence of quadrics. He promote the famous W.F enchel theorem and solved the problem of circle-preserving transformation of Riemann space， etc. Together with Chen jiangong， Xu Ruiyun makes hangzhou university math department in a few short years become one of the most important influence on mathematics in the domestic， play an important role on construction of department of mathematics of zhejiang university. He has trained more than 70 master and doctor， for everbright differential geometry school of zhejiang university has made an important contribution.

Key Words：Bai Zhengguo；Zhejiang university；School of differential geometry；The scientific research；Teaching

在20世紀30至40年代，以陳建功、蘇步青為首的浙江大學數(shù)學學派是與當時的意大利羅馬數(shù)學學派、美國芝加哥數(shù)學學派三足鼎立的舉世公認的著名數(shù)學學派，白正國（1916年12月至2015年1月）教授是這個學派的重要人物之一。20世紀50年代以后，白先生參與了浙江師范學院數(shù)學系、杭州大學數(shù)學系的建設與領導工作以及四校合并后的浙江大學數(shù)學系的建設，為承繼與光大浙江大學微分幾何學派做出了重要貢獻。

2015年1月27日凌晨，我國著名數(shù)學家，浙江大學微分幾何學派重要代表人物之一的白正國教授在杭州家中逝世。今年是白先生誕辰100周年，謹以此文深切懷念白正國先生。

1 學術成就

以蘇步青為代表的浙江大學微分幾何學派首期的工作集中在射影微分幾何方面，蘇步青先生當時的工作已在國際上具有相當大的影響。所以，白正國的研究也從射影微分幾何開始。

在蘇步青先生的影響下，白正國的研究從開始就瞄向世界一流水平。

當時在國際射影微分幾何學界有一個非常關注的Fubini問題。C.T.Sullivan在1914年給出：當一個直紋面的非直線的主切曲線全屬于線性叢時，這些曲線是互為射影等價的。W.Blaschke于1926年把這一結果擴充到非直紋曲面上：

定理1[2]如果一曲面的一系主切曲線全屬于線性叢，那么這系主切曲線在下述意義下是射影等價的，就是說：把這系一條主切曲線移到另一條去的直射變換，常把前者上每一點移到后者的那一點去，使得變換后的點在另一系的同一主切曲線上。

意大利著名數(shù)學家G.Fubini研究了Blaschke定理的逆問題，即如果一族漸近曲線是射影等價的，則此族是否必屬于線形叢？Fubini自己解決了當曲面為直紋面時的情況，得到了問題的肯定回答。由此，F(xiàn)ubini進一步提問：除了一族漸近曲線屬于線形叢的曲面以外，是否還有非直紋面的曲面，它的一族漸近曲線是互相射影等價的？白正國經(jīng)過潛心研究，圓滿地解決了此問題。回答是肯定的[3]：

定理2[2]除了單系或雙系主切曲線全屬于線性叢的曲面外，還有這樣的曲面使其一系的主切曲線在定理1的意義下是射影等價的。這種曲面只限于射影極小的一致曲面，且從而其另外一系主切曲線也是射影等價的。

從定理1，2可得

定理3[2]如果一曲面上有一系且只有一系主切曲線是在定理1的意義下射影等價的，那么這系主切曲線全屬于線性叢，而且反過來也成立。

蘇步青先生的另一得意門生方德植與白正國都沒有出國留學經(jīng)歷，但是他們在微分幾何領域都做出了世界一流的成績。方德植先生1933年畢業(yè)于浙江大學數(shù)學系留校任教，僅僅一年多時間就發(fā)表了一篇論文《定撓曲線的一個特征》，對法國著名數(shù)學家達爾布的一個公式做了重要改進，引起許多國內(nèi)外數(shù)學家的關注。方德植與白正國的成就極大地鼓舞了中國學生自力更生，積極創(chuàng)新突破的信心。

1842年著名數(shù)學家索夫斯·李（S.Lie）引入了李織面（在曲面的各個正常點?？蓻Q定一個織面使與曲面是射影協(xié)變的，稱該織面為李織面）。“自從索夫斯·李發(fā)現(xiàn)李織面以后，中間過了60余年，幾乎無人注意到這個重要元素。直到1908年，德穆蘭（A.Demoulin）才做出系統(tǒng)的研究，因此，得到了以他命名的射影協(xié)變四邊形”[2]。蘇步青先生在1935年前后對李織面與德穆蘭四邊形進行了系列研究，發(fā)現(xiàn)了以蘇步青命名的蘇織面——伴隨織面（德穆蘭四邊形的四邊和伴隨二次曲線相較于四個彎節(jié)點，它們確定了唯一的一織面，使它過德穆蘭四邊形和）。蘇先生給出了伴隨織面的系列重要性質(zhì)：

定理4如果一曲面的伴隨織面是固定的織面，那么的主切曲線全屬于線性叢，而且反過來也成立[2]。

定理5如果一曲面的李織面常與固定織面相切于四點，那么的主切曲線必須全屬于線性叢[2]。

白正國對蘇錐面進行了研究并拓廣了其性質(zhì)，有結果

定理6如果一曲面的所有主切曲線都屬于線性叢，那么每條曲線的所有彎節(jié)切線必在（僅僅和有關的）同一織面上，并且反過來也成立[2，4]。

（注：是曲面上過任意點M的兩主切曲線）

應用對于蘇錐面性質(zhì)研究的方法，白先生還給出了戈德織面序列的一個新定義[5]：

定理7利用主密切線叢，就能簡單地作出伴隨曲面上一點的戈德織面序列的定義[2]。

定理8按照曲面上一點的伴隨主切直紋面的密切曲線從，也能作出戈德織面序列的定義[2]。

白正國先生在射影微分幾何的曲面曲線論等方面有許多獨創(chuàng)性的工作。例如：關于Moutard二次曲面的研究[6]、Jonas曲面[7]、并對直紋空間中曲面的射影理論作了系統(tǒng)性的研究[8-9]等，這些論文先后發(fā)表于40年代美國數(shù)學會的有關雜志上。

1952年，全國高等院校學習前蘇聯(lián)經(jīng)驗，實行院系調(diào)整。陳建功、蘇步青等大批浙江大學數(shù)學教師分別調(diào)整到復旦大學、廈門大學等院校。白正國先生先后在新成立的浙江師范學院、杭州大學等校工作，研究方向也轉向一般空間微分幾何學的研究工作。1957年，他發(fā)表了論文“關于空間曲線多邊形的全曲率”[10]，推廣了著名的W.Fenchel定理：

定理9設C是空間一曲線多邊形，具有內(nèi)角θ，則它的全曲率滿足下列不等式：

其中等號當且僅當由凸曲線弧連接而成的平面曲線多邊形時成立。

這一成果被載入《中國數(shù)學十年》一書等著作中。

從20世紀60年代起，白正國與他的學生們在黎曼幾何研究上取得系列突破，特別是完美地解決了日本著名幾何學家矢野健太郎（K.Yano）提出的存在若干獨立保圓變換的黎曼空間的尺度形式問題[11]，這是保圓幾何中一個關鍵性問題。這一時期，白正先生還研究了黎曼空間中子流形的Codazzi-Ricci方程與Gauss方程的相關性[12]，共形平坦黎曼空間及常曲率空間的曲率張量的特征[13]，共形平坦黎曼空間中的共形平坦超曲面[14]等，得到許多重要結果。

從20世紀70年代后期始，白先生的研究方向轉向研究黎曼流形的整體性質(zhì)。他對擬常曲率流形做了系統(tǒng)研究，例如，他證明了：可以等距嵌入兩個不同常曲率流形的黎曼流形必是擬常曲率流形，其逆亦真[15]。另外，他在整體子流形幾何方面也給出了很好的結果[16-18]。

2 對浙江大學數(shù)學學派的貢獻

1952年，國家進行高等院校院系調(diào)整，浙江大學數(shù)學系建制被撤銷，陳建功、蘇步青等浙江大學數(shù)學學派的主要精英離開了浙江大學。白正國來到新建的杭州師范學院，與系主任徐瑞云一起，一面執(zhí)教，一面培養(yǎng)教師隊伍，組建教師研討班，經(jīng)過幾年不懈的努力，使得浙江師范學院數(shù)學系從一窮二白的基礎上取得突破，教學科研很快都上了一個很大臺階。

1958年杭州大學成立，隨后浙江師范學院合并于杭州大學，陳建功先生也回到杭州大學擔任副校長。白先生作為數(shù)學系的主要負責人，在陳建功、徐瑞云等人的支持下，承繼浙江大學數(shù)學學派的優(yōu)良傳統(tǒng)，積極組織教師參與各種科研活動，數(shù)學基礎教學與研究性教學互相融合，互相促進，取得積極成果。正是由于陳建功、徐瑞云、白正國等先生的不懈努力，杭州大學數(shù)學系在“文化大革命”前夕，教學和科研在國內(nèi)已經(jīng)達到較高水平、可躋身于國內(nèi)名牌大學數(shù)學系之列；同時，在國際上也逐漸引起影響。1965年在制定國家十二年科學規(guī)劃中，杭州大學數(shù)學系的幾何學和函數(shù)論都成為有關該項目的重點執(zhí)行單位之一?？梢哉f，經(jīng)過這一階段陳建功、徐瑞云、白正國等數(shù)學家的努力工作，新時期浙江大學數(shù)學學派的杭州大學分支基本形成。

1962年，經(jīng)國務院批準，白正國開始招收研究生。他的研究生如今不少已成為國內(nèi)外卓有成就的研究人員，如：浙江大學博士生導師沈一兵教授，南昌大學數(shù)學系主任歐陽崇珍教授，杭州師范學院圖書館館長蔡開仁教授等。1978年后，他又培養(yǎng)了許多碩士與博士，使得浙江大學微分幾何學派不斷發(fā)揚光大。白先生終生共培養(yǎng)了70多名碩士和博士研究生，他們中大部分成為國內(nèi)外數(shù)學專業(yè)的佼佼者，如：碩士生王國芳，博士生莫小歡、東瑜昕、朱小華、傅吉祥等。

學生沈一兵1987年起任浙江大學數(shù)學系教授，1993年被國務院學位委員會批準為基礎數(shù)學專業(yè)博士生導師。曾多次獲省部級科技成果獎，1992年起享受國務院特殊津貼，2006年獲浙江省教學名師。

學生歐陽崇珍1992年南昌大學任教授，數(shù)學研究所副所長，1995—2002年任數(shù)學系主任兼數(shù)學研究所所長，1996—2002年兼決策科學系主任。1992年10月享受國務院特殊津貼。其主要研究成果“關于利齊循環(huán)空間和利齊對稱空間”獲1990年江西省科技進步獎二等獎，合作研究成果“關于可展曲面的研究”獲1980年江西省科技成果獎三等獎（第二），“格拉斯曼流形的極小子流形研究”獲2004年江西省自然科學獎二等獎（第二）。

學生盛為民是白先生的第四個博士生，浙江大學數(shù)學系教授，博士生導師，美國數(shù)學會會員，美國數(shù)學評論評論員，他在具有一定幾何或物理背景的微分幾何和偏微分方程，包括預定曲率問題，k-Yamabe問題，以及曲率流問題等方面做出了貢獻。

學生傅吉祥是白正國與沈一兵共同培養(yǎng)的博士生，目前是復旦大學教授，博士生導師，第五屆晨興數(shù)學銀獎（2010）獲得者，長江學者特聘教授（2011），曾應邀在2010印度召開的國際數(shù)學家大會上作45分鐘特邀報告，他與國際數(shù)學大師丘成桐先生合作在微分幾何領域取得了世界一流成果，他們研究的幾何空間被國際上命名為Fu—Yau流形。

白正國與沈一兵等先生撰寫的教材《黎曼幾何初步》從1992年出版以來，受到研究生與數(shù)學研究者的喜愛，被教育部研究生工作辦公室推薦為全國研究生教學用書，為我國研究生教育做出重要貢獻。

白正國的其他學生如碩士生王國芳，博士生莫小歡、東瑜昕、朱小華等，都在畢業(yè)后做出了可喜的成績，為整體微分幾何這一研究領域增添了光彩。

3 評價

在20世紀30至40年代，以蘇步青為代表的浙江大學微分射影幾何學派是舉世公認的數(shù)學學派，白正國、張素誠、方德植等人都是這一學派的重要代表人物。如上所述，白先生在20世紀40年代發(fā)表的系列有關射影幾何文章，為浙江大學微分幾何學派鼎立于世起到了積極作用。

1952年全國高校院系調(diào)正以后，浙江大學微分幾何學派的重要代表人物蘇步青、谷超豪等人去了復旦大學，方德植40年代即去了廈門大學，張素誠到北京中國科學院數(shù)學研究所任研究員等。白正國先生到新成立的浙江師范學院數(shù)學系工作，后來到杭州大學工作，四校合并后再到浙江大學。如何在杭州承繼與發(fā)揚浙江大學微分幾何學派成為白先生的不二責任。所以，不論他調(diào)到那里，都絲毫不敢忘記繼承與發(fā)揚光大浙江大學微分幾何學派的重任。他繼承陳建功、蘇步青先生倡導的讀書討論班，論文報告會等優(yōu)良傳統(tǒng)，帶領他的學生在射影微分幾何、一般空間微分幾何學的黎曼幾何上都做出了重要貢獻，并且培養(yǎng)出了眾多優(yōu)秀的微分幾何人才，如上所述的沈一兵、傅吉祥等學生，都為光大浙江大學微分幾何學派做出了重要貢獻。

一般的說，狹義的浙江大學數(shù)學學派即指20世紀30至40年代的浙江大學數(shù)學家群體；廣義的說，浙江大學數(shù)學學派包括20世紀50年代以后的復旦大學數(shù)學家群體（復旦分支）與包括杭州大學在內(nèi)的浙江大學數(shù)學家群體（杭州分支）。由上可知，在20世紀50年代以后，特別是20世紀80年代以后，白先生無疑是新時期浙江大學數(shù)學學派特別是微分幾何學派杭州分支的主要代表人物之一。他為新時期浙江大學數(shù)學學派的建設付出了巨大心血，貢獻巨大。

白先生一生從事數(shù)學教學與科研。教學上，不論是在20世紀40年代的浙江大學，在20世紀50年代的浙江師范學院還是在杭州大學，他教書育人，誨人不倦，積極參與領導學科建設，為浙江大學數(shù)學學派的學科建設做出巨大貢獻。科研上，白先生一生堅持不懈，直到90多歲還在堅持研究。他在自己95歲大壽生日會上發(fā)言稱：“最近幾年沒有做研究，我落伍了，感覺很慚愧?！盵20]其精神境界令所有年輕一輩感嘆不已。正如中科院院士、復旦大學教授谷超豪與胡和生在慶賀老師八十華誕的賀信中所寫：

1952年院系調(diào)整后，浙江省的數(shù)學研究和教學遇到一定困難，您繼續(xù)發(fā)揚浙江大學數(shù)學系原來的精神和風格，和同事們一起奮斗了40多年，在杭州大學建設了一個高水平的數(shù)學系，成為我國數(shù)學研究和培養(yǎng)人才的重要基地之一，這是您的重要貢獻。您一貫堅持微分幾何的研究，早期在射影微分幾何方面做了很出色的成果。近年來適應國際發(fā)展潮流，在領導研究和培養(yǎng)人才方面又取得很大成就，優(yōu)秀中青年人才不斷成長，成為整體微分幾何方面的堅強的新生力量。您誠懇謙虛，實事求是，專心致志于學術，具有中國知識分子的傳統(tǒng)美德，發(fā)揚這種美德，對于今天的中國是十分必要的。

4 結語

白正國先生一生科研成就突出，為浙江大學微分幾何學派的繁榮與承繼做出巨大貢獻；學科建設上為原浙江大學、浙江師范學院、杭州大學、新浙江大學數(shù)學學科建設嘔心瀝血，功勛卓著；在教學上教書育人，兢兢業(yè)業(yè)，培養(yǎng)了70多名碩士與博士，為數(shù)學人才隊伍建設付出畢生精力；他一生嚴以律己，為人正直，品德高尚，堪為人模。今年是白先生誕辰100周年，謹以此文紀念白先生，并希望白先生的精神萬古長青，照耀后人，使浙江大學數(shù)學學派在新時期能夠有更好成就，為建設中國數(shù)學強國做出新貢獻。

參考文獻

[1] Zhengguo Bai.An analogue of Darboux pencil of quadrics[J]. Acad.Sinica Science Record， 1942（1）：65-69.

[2] 蘇步青.射影曲面概論[M].北京：科學出版社，1954：187-188.

[3] Zhengguo Bai.On the surfaces whose asymptotic curves of one system are projectively equivalent[J]. Univ. Nac.Tucuman.Revista A，1942（3）：341-349.

[4] Zhengguo Bai.A generalization of associate quadrics of a surface[J]. Amer.J.Math，1944（66）：115-121.

[5] Zhengguo Bai. A new definition of the Godeaux sequence of quadrics[J]. Amer.J.Math，1947（69）：117-120.

[6] Zhengguo Bai.On the quadrics of Moutard. Univ.Nac.Tucuman[J].Revista A.，1941（2）：67-77.

[7] Zhengguo Bai.A transformation of Jonas surfaces[J]. Bull.Amer.Math.Soc，1943（49）：793-796.

[8] Zhengguo Bai. The projective theory of surfaces in ruled space.I[J]. Amer.J.Math，1943（65）：712-736.

[9] Zhengguo Bai. The projective theory of surfaces in ruled space.II[J]. Amer.J.Math，1944（66）：101-114.

[10] Zhengguo Bai. On the integral curvature of a curvilinear polygon[J].（Chinese） Acta Math.Sinica，1957（7）：277-284.

[11] 白正國.存在若干獨立保圓變換的黎曼空間[J].數(shù)學學報，1964，14（1）：62-74.

[12] 白正國.黎曼空間中子空間的柯達齊-利齊方程和高斯方程的相關性[J].數(shù)學學報，1964，14（6）：781-789.

[13] 白正國.共形平坦黎曼空間及常曲率空間的曲率張量的特征[J].數(shù)學進展，1966（2）：175-182.

[14] 白正國.共形平坦黎曼空間的共形平坦超曲面[J].杭州大學學報，1966（1）.

[15] 白正國.擬常曲率黎曼流形在常曲率空間中的等距嵌入[J].數(shù)學年刊，1986（4）.

[16] 白正國.常曲率黎曼流形的極小子流形[J].數(shù)學年刊，1987（3）.

[17] 白正國.關于擬常曲率流形中子流形的不等式[J].數(shù)學年刊，1988（6）：704-708.

[18] 白正國.緊的黎曼流形的調(diào)和形式[J].數(shù)學年刊，1990（5）：639-644.

[19] 沈一兵.白正國先生簡傳[EB/OL].www.docin.com...896.html，2009-05-02.

[20]徐潔，張冰清.浙大數(shù)學系白正國教授逝世追悼會上來了三位院士[N].錢江晚報，2015-02-03.