大學(xué)理工專業(yè)數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式的探索、實踐與反思

李敬娜

摘要：本人根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知論的觀點再結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，分析了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體應(yīng)該是學(xué)生主動參與思維活動的過程，并結(jié)合理工專業(yè)學(xué)生的興趣特點和專業(yè)知識，指出必須構(gòu)建以學(xué)生為中心，以促進學(xué)生的素質(zhì)發(fā)展為目的，并融合多種興趣激發(fā)方式，以師生的互動活動為主要形式的全新教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程；理工專業(yè)；教學(xué)模式

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）18-0140-03

一、以現(xiàn)代認(rèn)知論的觀點分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動

現(xiàn)代認(rèn)知論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是對環(huán)境中的刺激產(chǎn)生反應(yīng)并依其關(guān)系形成的一種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是意義獲得和期望實現(xiàn)的過程。所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)習(xí)者頭腦里的知識量、清晰度和組織方式，它是從教學(xué)實踐中轉(zhuǎn)化而來的。而數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)者所掌握的數(shù)學(xué)知識按照自己理解的深度、廣度再結(jié)合自己的感知、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特征組合而成的具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，都是以原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，將新的知識進行加工和整合，通過新知識和舊知識之間的聯(lián)系和相互作用，將新知識納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而擴大認(rèn)知內(nèi)容，這一過程被稱為同化。如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有適當(dāng)?shù)闹R與新知識相聯(lián)系，那么就對原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進行改組或部分改組，進而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個過程叫作順應(yīng)。有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是通過識別、記憶、分析、推斷等認(rèn)知活動不斷地同化和順應(yīng)的過程。

一般來說，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)包括知識理論學(xué)習(xí)和方法技巧學(xué)習(xí)。我們也可以把這兩方面的學(xué)習(xí)看成是兩個層次：知識理論學(xué)習(xí)好比戰(zhàn)略層面的內(nèi)容，而方法技巧則可以看作是戰(zhàn)術(shù)層面的內(nèi)容。數(shù)學(xué)技能總是以數(shù)學(xué)知識和理論為基礎(chǔ)的，但知識的理解并不完全等同于技能的形成，它總是要經(jīng)歷分析、理解、構(gòu)建、練習(xí)以至熟練的過程。在技能的學(xué)習(xí)過程中，知識理論起著引導(dǎo)的作用，它能夠幫助學(xué)習(xí)者朝著正確的方向思考問題。較難的數(shù)學(xué)問題的解決是個復(fù)雜的思維活動過程，它既要運用抽象、歸納、類比、分析、演繹等邏輯思維的形式去進行論證，也要用到直覺頓悟等非邏輯思維形式來探索問題解決的方法，是人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)，也是其思維品質(zhì)和主體作用的集中表現(xiàn)，是學(xué)習(xí)者的創(chuàng)造性工作。波利亞曾指出，學(xué)習(xí)解題的最佳途徑就是自己去發(fā)現(xiàn)，去摘“跳起來可以摘到的蘋果”。而這一過程的完成會給學(xué)習(xí)者帶來心理上的成就感和滿足感，從而對學(xué)習(xí)者的心理形成正的反饋，這就是我們可以利用“問題驅(qū)動”激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的心理學(xué)依據(jù)。

由此可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的主體應(yīng)該是學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動的過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)該是被動地接受，而應(yīng)該是積極主動地參與數(shù)學(xué)思維活動。事實上，只有經(jīng)過一定程度的思維活動，學(xué)生才能理解抽象的數(shù)學(xué)理論和掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法，才能理順大量的數(shù)學(xué)理論之間的聯(lián)系和來龍去脈。否則，他們所獲得的知識也僅僅是簡單的堆砌，好像一團混沌或亂麻，難以形成良好的知識脈絡(luò)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是在教師的主導(dǎo)下，盡可能地激發(fā)學(xué)生的興趣，并緊緊圍繞學(xué)生的主體作用的發(fā)揮去進行。

二、大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式面臨調(diào)整

數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容是前人創(chuàng)新的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)知識體系源于抽象和創(chuàng)新，又能促進人們進行新的創(chuàng)新，良好的數(shù)學(xué)能力有助于創(chuàng)新能力的形成和提高。在理工類專業(yè)人才的教育培養(yǎng)中，大學(xué)數(shù)學(xué)課程不僅要為學(xué)生打下扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)。正如李大潛院士所說，許多取得突出業(yè)績的畢業(yè)生都有這樣的體會，在工作中真正需要用到的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，具體的數(shù)學(xué)定理、公式和結(jié)論，其實并不多，學(xué)校里學(xué)過的許多數(shù)學(xué)知識都似乎派不上多少用場，有的甚至完全淡忘，但所受到的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，所領(lǐng)會的數(shù)學(xué)思想和精神，所培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，卻時刻都在發(fā)揮著重要的作用，成為取得成功的關(guān)鍵因素。

縱觀本人的以及高校大部分教師的教學(xué)工作，學(xué)生的主體性一直未能得到足夠的重視，在現(xiàn)行的教學(xué)主流模式中，教師“一言堂、滿堂灌”現(xiàn)象嚴(yán)重，包括本人在內(nèi)的許多教師過于追求知識的系統(tǒng)和完整，為了追趕教學(xué)進度和達到標(biāo)準(zhǔn)化教學(xué)的要求，講得過多、過細(xì)，缺乏啟發(fā)和引導(dǎo)，未能給學(xué)生們留足獨立思考的時間，久而久之，使學(xué)生養(yǎng)成了機械地接受老師傳授而惰于思考的習(xí)慣；而教師在重知識、輕思想、重結(jié)果、輕過程的傾向下，不能對隱含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法進行精辟的提煉和分析，不能充分揭示數(shù)學(xué)理論魅力，不能充分展示數(shù)學(xué)對人的思維的鍛煉，致使教學(xué)雙方都停留在膚淺的層面上，長此以往，會使一部分學(xué)生失去對數(shù)學(xué)的興趣，轉(zhuǎn)而把數(shù)學(xué)看成沉重的負(fù)擔(dān)，喪失積極從事數(shù)學(xué)活動的潛在可能。尤其是學(xué)生剛剛從中學(xué)跨入大學(xué)校門的時候，在長期的應(yīng)試教育的指導(dǎo)下，偏重方法技巧，過度地依賴于教師去歸納和總結(jié)，凡事“拿來主義”，思維上存在惰性，缺乏積極的思考探索的思維活動。

三、大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式變革的思考與實踐

分析造成這些現(xiàn)象的根本原因，一是長期以來的傳統(tǒng)教育思想的慣性作用，二是學(xué)科教學(xué)計劃的影響：（1）我國的數(shù)學(xué)教育只注重掌握知識和方法技巧，而很少體察數(shù)學(xué)知識所反映的思想方法及其對人的整體素質(zhì)的影響；（2）課時壓縮得過少，致使教學(xué)的很多環(huán)節(jié)多是匆匆忙忙走過場，大大降低了這門課的真正價值。為此，我們應(yīng)該采用以下幾點措施。

首先突出學(xué)生的主體地位。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須經(jīng)過學(xué)生積極的數(shù)學(xué)活動之后，才能達到一定的效果，而學(xué)生的個性差異、興趣取向等對活動的過程有直接的影響。在教學(xué)中，老師必須以學(xué)生為中心構(gòu)建教學(xué)平臺，形成以促進學(xué)生素質(zhì)的全面發(fā)展為目的，以師生互動為主要課堂教學(xué)形式的全新教學(xué)模式，啟發(fā)學(xué)生思考，組織學(xué)生探索，幫助學(xué)生學(xué)會分析、概括等，培養(yǎng)科學(xué)的思維方法和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，在講授數(shù)理邏輯運算合?。ā模┪鋈。ā牛r，首先從自然語言出發(fā)，抽象概括出運算的意義，并且提問如何記憶它們的真值表。那么，有些學(xué)生自然會想到集合運算中的交集（∩）并集（∪），他們不僅形狀有類同處，意義也類同。在講到邏輯運算的規(guī)律時，如分配律、結(jié)合律、冪等律等等，再次引導(dǎo)學(xué)生類比集合運算，讓他們?nèi)ふ壹线\算的相應(yīng)規(guī)律，并讓他們思考為什么會出現(xiàn)這些相似之處，能否將兩種運算統(tǒng)一到共同的框架下等等。

其次，我們還可以采取多種教學(xué)手段來調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。比如我們可以通過適當(dāng)?shù)膯栴}來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探索的興趣，使他們的學(xué)習(xí)能力在解決問題的過程得到升華。當(dāng)然，在設(shè)計“問題驅(qū)動”時，要考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，形式可以多樣化。適當(dāng)難度的問題驅(qū)動在培養(yǎng)學(xué)生的意志力、創(chuàng)新能力方面的作用是顯而易見的。比如，在微積分中值定理部分，讓學(xué)生們考慮這個問題：

設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=0，a>0，證明？堝ξ∈（a，b）使得

當(dāng)學(xué)生們看到問題的已知條件，就會往運用中值定理去證明的方向去想。但是，究竟是利用羅爾定理、拉格朗日中值定理還是柯西中值定理呢？當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)已知條件中有f（a）=0，a>0時，很有可能是利用羅爾定理，但是顯然不是對f（x）直接用。那么，我們構(gòu)造怎樣的輔助函數(shù)，使它在ξ點的導(dǎo)數(shù)是f ′（ξ）（b-ξ）+af（ξ）的形式或者包含這樣的形式呢？于是，引導(dǎo)學(xué)生大膽嘗試，先看f（x）（b-x）是否可行，然后發(fā)現(xiàn)f（ξ）前面沒有a。那么，把輔助函數(shù)改成f（x）（b-ax）是不是就彌補了這一缺陷呢？其實不然，在af（ξ）符合我們所要的形式的同時卻給另一項f ′（ξ）（b-ξ）中的ξ帶來了個系數(shù)a。那么，把a放在哪里才行呢？這是一個耐人尋味的問題。引導(dǎo)學(xué)生考慮基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)果，什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能出來a同時又不改變（b-x）的形式，于是要構(gòu)造的輔助函數(shù)就清晰了。

我們還可以通過介紹文化背景、應(yīng)用背景和發(fā)展歷程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如在學(xué)習(xí)曲率和曲率圓概念這一節(jié)時，我們可以展示千姿百態(tài)的幾何圖案、蜿蜒曲折的長江、火車軌道等，他們都可以抽象為彎曲的曲線，他們之所以千姿百態(tài)，是因為在這些曲線的不同點處的彎曲程度不同。要想去精確地量化，研究或設(shè)計這些彎曲對象，離不開曲率。曲率是刻畫曲線彎曲程度的量。在全國微課設(shè)計大賽中，一位老師首先提出問題：使用半徑為多大的圓形砂輪才能最有效地打磨一個斷面輪廓為拋物線的零件的內(nèi)部呢？以這個問題為開頭引入曲率概念，最后又通過準(zhǔn)確地計算拋物線上各點的曲率和曲率圓成功地解決了這一問題，使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)源于實踐的特點。

我們可以充分地利用現(xiàn)代信息技術(shù)創(chuàng)造形象直觀的講解方式，比如在講泰勒中值定理時，有些教材當(dāng)中直接給出了定理的內(nèi)容。我們可以通過PPT展示函數(shù)的圖像的方式，讓學(xué)生們直觀地看到，在ξ0點上，從函數(shù)值相等開始，一階導(dǎo)數(shù)相等，多項式函數(shù)與f（x）具有相同的切線，但彎曲方向可能相反；二階導(dǎo)數(shù)也相等的話，那么多項式函數(shù)與f（x）不僅具有相同的切線，而且彎曲方向也相同。這樣，學(xué)生們自然直觀地看到，如果三階以上的導(dǎo)數(shù)再相等的話，它們的圖像就更接近，自然得出泰勒中值定理中系數(shù)的計算方法。同時，我們舉例是也要注意和學(xué)生的專業(yè)背景相結(jié)合，比如對于生命科學(xué)專業(yè)的學(xué)生，我們可以分析細(xì)胞繁殖速率方面的極值問題；對于電子信息工程專業(yè)的學(xué)生，我們可以分析傅里葉級數(shù)與信號處理方面的問題。

此外，我們還可以將學(xué)科的交叉融合融入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)當(dāng)中。比如在講到“可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的”這一定理時，我們可以讓學(xué)生們思考這一命題的逆命題“連續(xù)的函數(shù)一定可導(dǎo)”是否正確。很快，學(xué)生們通過舉反例（如絕對值函數(shù)）的方式，發(fā)現(xiàn)這是不正確的。那么我們再引導(dǎo)學(xué)生思考這一命題的逆否命題“不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)”。很快，利用反證法，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這是正確的。那么，如果我們用p表示“函數(shù)可導(dǎo)”，用q表示“函數(shù)連續(xù)”的話，利用數(shù)理邏輯的符號，“可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的”即為“p→q”。它的逆否命題“不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)”即為“┐q→┐p”。若p表示“下過雨了”，q表示“地面濕了”，“p→q”就是“如果下過雨了，地面就濕了”?！癌磓→┐p”則表示“如果地面沒濕，那么就沒有下過雨”。這其實是生活中常用的邏輯。如果p表示“參加土風(fēng)舞大賽”，q表示“期末的綜合測評可以加分”，那么“p→q”就是“如果參加土風(fēng)舞大賽，那么期末的綜合測評可以加分”?！癌磓→┐p”則表示“如果某同學(xué)的期末的綜合測評沒加分，那么他一定沒參加土風(fēng)舞大賽”。以貼近學(xué)生生活的例子讓他們感受到數(shù)理邏輯無處不在。

再如，在幾何中，我們可以直觀地看到向量的共線、共面，垂直，在線性代數(shù)中，二維向量的共線、三維向量的共面的推廣便是一般的線性相關(guān)的概念；垂直就是正交，特點是內(nèi)積為零。在學(xué)習(xí)解析幾何二次曲面的知識時，課本當(dāng)中給出的都是標(biāo)準(zhǔn)型的二次曲面，在應(yīng)用過程中，一旦遇到非標(biāo)準(zhǔn)的二次曲面時學(xué)生就不知道它的形狀了。在線性代數(shù)課程中講到化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型時，一定要把利用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法與二次曲面分類的內(nèi)容結(jié)合起來。

其次還要科學(xué)地制定教學(xué)計劃，給學(xué)生必要的數(shù)學(xué)活動空間。數(shù)學(xué)活動方式的教學(xué)模式與現(xiàn)行的數(shù)學(xué)主流模式相比，并非總要多占時間，而關(guān)鍵是要合理地組織。就離散數(shù)學(xué)而言，我們可以適當(dāng)安排一些數(shù)學(xué)建模活動，讓學(xué)生學(xué)會從實際問題出發(fā)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，編程實現(xiàn)得到結(jié)果，并思考所得的結(jié)果如何指導(dǎo)實際問題，如做出某地交通信號燈的邏輯電路。鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)競賽，不僅可以提高他們的數(shù)學(xué)技能，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，也為他們將來從事科研或者其他方面的工作打下良好的邏輯思維基礎(chǔ)。

最后，要做到理論與方法并重，結(jié)果與過程并舉。一般說來，教科書中的數(shù)學(xué)理論的表現(xiàn)形式是精美和抽象的，那是因為它更多地接受了數(shù)學(xué)家們的雕琢和完善，逐步達到了理想狀態(tài)，但這種理想狀態(tài)也常常使人感到枯燥。因此，作為數(shù)學(xué)教師，要善于在教學(xué)中把那些潛在的東西發(fā)掘和展示出來，使學(xué)生們充分感受到數(shù)學(xué)的優(yōu)美和生動。例如，在講到二元關(guān)系中的函數(shù)的時候，啟發(fā)學(xué)生對比函數(shù)的不同定義（運動的觀點，即自變量和因變量的對應(yīng)關(guān)系，映射的觀點以及二元關(guān)系的觀點），啟發(fā)學(xué)生思考為什么會這樣定義，啟發(fā)學(xué)生思考現(xiàn)實世界中的各種變化，使學(xué)生認(rèn)識到在現(xiàn)實世界中存在大量的這種規(guī)律的變化，所以我們把它們歸為一類來研究。再如，在講到映射概念時，我們只要引導(dǎo)學(xué)生們考慮在本教室當(dāng)中，學(xué)生和全部座位這兩個集合之間的映射時（對應(yīng)法則就是坐在相應(yīng)座位上），學(xué)生就很容易理解映射的概念，以及為什么像集通常取的大一些。如果在單射的時候的像集中把沒有原像的元素去掉（對應(yīng)上例中把沒學(xué)生坐的座位去掉），此時單射就變成了一一映射。

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