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    教材中一道例題的引用

    2016-05-30 07:44:33康聰
    數(shù)學學習與研究 2016年2期
    關(guān)鍵詞:設點化簡雙曲線

    康聰

    由書中例題進行拓展,對2015年的高考數(shù)學的相應試題有很好的解題幫助.

    人教A版選修2-1.41頁 例3.

    如圖1,設點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0).

    直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是-,求點M的軌跡方程.

    解:設點M的坐標為(x,y),因為點A的坐標是(-5,0),所以,直線AM的斜率kAM =(x ≠ -5);同理,直線BM的斜率kBM =(x ≠ 5).由已知有 × = -(x ≠ ±5),化簡,得點M的軌跡方程為 + = 1(x ≠ ±5).

    55頁 探究

    如圖2,點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是,試求點M的軌跡方程.

    解:設點M的坐標為(x,y),因為點A的坐標是(-5,0),所以,直線AM的斜率kAM =(x ≠ -5);同理,直線BM的斜率kBM =(x ≠ 5).由已知有 × =(x ≠ ±5),化簡,得點M的軌跡方程為 + = 1(x ≠ ±5).

    拓展1 已知橢圓方程 + = 1(a > b > 0)實軸上的兩點分別為A(-a,0),B(a,0),橢圓上的點M(x,y)異于A,B兩點,求證:kMA·kMB = -.

    拓展2 已知雙曲線方程 - = 1實軸上的兩點分別為A(-a,0),B(a,0),雙曲線上的點M(x,y)異于A,B兩點,求證:kMA·kMB =.

    引用1 (2015年新課標2理)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂點為120°,則E的離心率為 ( ).

    A. B. 2 C. D.

    解:由題意可知,AB = MB,kAM =,kAM·kBM = 1①,由拓展2得kAM·kBM =②聯(lián)立①②得,a = b,則E的離心率為,選D.

    引用2 (2015年重慶文)設雙曲線 - =1(a > 0,b > 0)的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,A2,過F做A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點,若A1B⊥A2C,則雙曲線的漸近線的斜率為 ( ).

    A. ± B. ± C. ±1 D. ±

    解:由題意可知,k = -k①,∵ A1B⊥A2C,

    ∴ k ·k = -1②,聯(lián)立①②得k ·k = 1,

    由引理2知,k ·k =,得到a = b,選C.

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