吳斌
構建在新課標體系下的初中數(shù)學新教材,都融入了一個全新的知識模塊——幾何圖形的變換.它涵蓋了平移變換、旋轉變換、對稱(軸對稱和中心對稱)變換及位似變換等四種變換.這些圖形變換的引入,有利于提升學生的立體空間想象能力, 也有利于學生自主動手習慣的養(yǎng)成,能較好地詮釋新課改理念的精髓;圖形變換又與客觀現(xiàn)實世界息息相關,也是對“數(shù)學源于生活”最好的說明.
不同的圖形變換,它們都有明確的概念范疇的定義.課本中的這些概念形成都是順從各自不同的運動變換軌跡,加以定義的.而在分析解答此類問題時,則應好好捉住它們各自的本質特征屬性,以點(旋轉中心或對稱中心),或以線(平移的距離或對稱軸)為支撐點,有的放矢進行問題的作答.
一、平移變換
平移變換的定義:在平面內,將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動叫做平移.平移的性質特征:(1)平移不改變圖形的形狀和大?。唬?)經過平移,對應點所連的線段平行且相等;(3)對應線段平行且相等,對應角也相等. 例1 如圖,已知⊙O1的半徑為1,⊙O2的半徑為2,圓心距O1O2 = 4. 現(xiàn)把⊙O1沿直線O1O2平移,使⊙O1與⊙O2外切,則⊙O1平移的距離為 ( ).
A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 3或5
簡解 要確定一動一靜兩圓的位置關系,應捉住兩圓的圓心距的變化情況,以動制靜,即以動點O1的平移代表整個⊙O1的平移,當兩圓外切時, 即O1O2 = 3,而O1與O2間的位置關系又是分類解答問題的基礎,故⊙O1平移的距離為1或7,所以選C.
在解答平移變換型的試題時,首先得熟悉平移的概念及性質,再者對平移的整個過程要做到心中有數(shù), 可“以點代面”分析圖形的整個平移過程, 即從“某一對應點移動變換的軌跡”入手,分析理清“整個圖形移動變換的軌跡”.從而把問題解決.
二、旋轉變換
旋轉變換的定義:在平面內,將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉;這個定點稱為旋轉中心,轉動的角稱為旋轉角.旋轉的性質特征:(1)旋轉不改變圖形的大小和形狀.經過旋轉,圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度;(2)任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角;(3)對應點到旋轉中心的距離相等.
例2 如圖,△OAB繞點O逆時針旋轉80°得到△OCD,若∠A = 110°,∠D = 40°,則∠α的度數(shù)是 ( ).
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
簡解 旋轉前后兩個三角形全等,所以∠D = ∠B = 40°,又因為∠A = 110°,所以∠AOB = 30°,所以∠α = ∠BOD - ∠BOA = 80° - 30° = 50°,故選C.
熟悉旋轉的概念及性質是解答旋轉變換型試題的關鍵,對整個旋轉變換流程進行分析,作到心中有數(shù)是解題的基礎,細心的進行運算作答是答題正確的保證.
三、位似變換
如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過相同點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形;這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比;位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.
例3 如圖是某校八(1)班一邊框寬度均為10 cm的矩形黑板,又量得其外框矩形的長為440 cm,寬為140 cm.
(1)課堂上,老師在黑板上列舉一道習題,請直接在黑板中解答;
(2)課后,該班甲、乙倆同桌對他們班黑板的內、外框矩形(如上圖)進行探究.
① 甲認為這兩個矩形 (填“是”或“不是”)位似圖形,試在上圖中,通過畫、找位似中心的方法加以說理;
② 乙認為這兩個矩形 (填“是”或“不是”)相似圖形,試說明理由.
簡解 (1)1:2;(2)①不是位似圖形,
∵畫找不到位似中心, ∴黑板的內、外框矩形不是位似矩形. ②不是相似圖形,∵外框矩形的長與寬的比 = = ,而內框矩形的長與寬的比 = . 又∵ ≠ ,∴該班黑板的內、外框矩形不是相似圖形.
解答位似型試題的關鍵:位似中心在哪;它們的位似比又是多少.在解答時,應特別注意位似比與這兩個位似圖形的前后排列次序有關.若是作圖題,更重要的是必須先清楚位似中心的位置,后續(xù)的作圖就顯得容易了.
四、綜合變換
一道試題的設置,有時更注重對多個知識點的考查,它多屬于比較綜合的中檔試題.
例4 (1)按要求在網格中畫圖:畫出圖形“ ”關于直線l的對稱圖形,再將所畫圖形與原圖形組成的圖案向右平移2格;
(2)根據以上構成的圖案,請寫一句簡短、貼切的解說詞: .
簡解 (1)如右圖,(2)解說合理即可,如愛心傳遞或我們心連心等.
解答這類較綜合的作圖題,應當先分析清楚作圖的前后順序,先作什么?再作什么?做到心中有數(shù),這是解決此類試題的關鍵.
仔細閱讀上面所列舉的幾道有代表性的試題,我們不難發(fā)現(xiàn),漳州地區(qū)的數(shù)學課改進程與全國其他地區(qū)一樣同步推進,它們都同樣具有鮮明的時代特色,但又具有明顯的漳州區(qū)域特點. 2016年的漳州市中考,在作圖題方面, 也許會另辟蹊徑,或是會超越這四種變換而設置,我們拭目以待.那么這四種變換會在哪里出題呢?我想也許可能會在最后兩道壓軸題中,以合理的形式出現(xiàn).我相信.