談一類數(shù)學(xué)題型的證題策略

林毅

【摘 要】數(shù)學(xué)題中，經(jīng)常出現(xiàn)所謂“不論”類型的題目，即不論字母為何值或不論圖形的位置如何變化，證明某結(jié)論成立。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；方程；特殊值；圖形

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)所謂“不論”類型的題目，這類題目，歷來都是很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，成為知識(shí)的薄弱點(diǎn)。為了解決這一問題，本文將談?wù)勛C明這類題的解題策略。

一、利用已掌握的知識(shí)，直接通過推理證得

這是常用的方法，在牽涉到二次方程、二次函數(shù)的一些題型中，經(jīng)常利用判別式直接證明。

例1：證明：不論m為何實(shí)數(shù)，二次方程x2-（m2+6）x+2m2+8=0一定有兩個(gè)不相等的正數(shù)根。

證明：△=[-（m2+6）]2-4（2m2+8） =（m2+2）>0

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

設(shè)方程的兩根為α、β ∵α、β=2m2+8>0

∴二根同號(hào)，又α+β=m2+6>0

∴二根均為正。

∴方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)根。

二、通過取特殊值開路，由特殊過渡到一般性證明

既然字母不論為何值總有某結(jié)論成立，因此當(dāng)字母取一些特殊值時(shí)，結(jié)論肯定成立，通過取特殊值時(shí)得出結(jié)論，再去驗(yàn)證字母取任何值時(shí)的結(jié)論也成立。

例2：已知關(guān)于x、y的二元一次方程：（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就得到一個(gè)方程。求證：不論a為何實(shí)數(shù)值，這些方程都是有一個(gè)公共解，并求出這個(gè)公共解。

證明：當(dāng)a=0和a=1時(shí)，方程分別是：-x+2y+5=0和3y+3=0

解方程組；解得

把此解代入原方程：左邊緣科學(xué)﹦3（a-1）-（a+2）+5-2a=0=右邊

∴不論a為何實(shí)數(shù)值，是原方程的一個(gè)公共解。

三、通過特殊位置的圖形所提供的線索，找到證題的途徑和明確證題的方向

對于一些幾何題，由于圖形不論如何變化，總有某結(jié)論成立，我們可以選取圖形的特殊位置，在這種情況下，往往結(jié)論清楚地顯現(xiàn)出來，證題就有了明確的方向，就便于我們找到證題途徑。

例3：如圖1（1），ABCD、A/B/C/D/是兩個(gè)邊長相同的正方形，ABCD的位置固定，A/點(diǎn)固定在正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)上。證明：不論正方形A/B/C/D/繞著A/點(diǎn)如何旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)正方形重合部分的面積總是定值。

分析：如果正方形A/B/C/D/的位置恰好如圖1（2）所示，即正方形A/B/C/D/的兩條邊和正方形ABCD的兩條對角線重合，顯然，這時(shí)兩正方形重合部分的面積等于正方形面積的，這就是我們要確定的定值。對于一般情況，如圖1（1）所示，由于△A/BC的面積等于正方形面積的，所以只要證明△A/EB與△A/FC等積就行了（E、F分別是AB與A/B/，BC與A/D/的交點(diǎn)），這由△A/EB≌△A/FC立即得證。