函數(shù)的解題與應(yīng)用

張煜恒

摘要：函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最核心的概念之一。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心課程，將數(shù)、式、方程、不等式等多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，可以說(shuō)，函數(shù)的存在將原本相對(duì)分散的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合化，對(duì)數(shù)學(xué)思維的整合具有種重要意義。如今，對(duì)于函數(shù)課程基本從學(xué)生進(jìn)入中學(xué)就開(kāi)始，而在學(xué)習(xí)過(guò)程中，因?yàn)閷?duì)于函數(shù)的接觸較少，所以函數(shù)課程的學(xué)習(xí)質(zhì)量相對(duì)較差。本文通過(guò)對(duì)當(dāng)前函數(shù)分析，闡述了當(dāng)前函數(shù)的解題思路和學(xué)習(xí)方式，揭示了函數(shù)的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；解題；應(yīng)用

學(xué)習(xí)的目的并不是單純的知識(shí)汲取，而是一個(gè)思維培養(yǎng)的過(guò)程。無(wú)論是哪個(gè)學(xué)科，其實(shí)它都是一種思維方式的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是對(duì)我們邏輯思維的最佳培養(yǎng)方式。它充分涵蓋了思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的敏捷性。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主要課程，是高中課程的主線。在函數(shù)學(xué)習(xí)中，定義域是最基本的構(gòu)成要素之一，函數(shù)的定義域是解題的關(guān)鍵。所以，在函數(shù)解題思路里，需要正確認(rèn)識(shí)到定義域的作用，正視其影響，對(duì)于數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)具有重要作用。

一、函數(shù)思想及其含義

函數(shù)思想也就是在函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們可能會(huì)建立的思維方式。通常來(lái)說(shuō)，函數(shù)是用于描述自然界當(dāng)中某一種量的依存關(guān)系，其主要反映一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物的變化而變化的規(guī)律與練習(xí)。函數(shù)的思想方法就是從一個(gè)事件當(dāng)中去獲取它的數(shù)學(xué)特征，然后用聯(lián)系的變化的觀點(diǎn)，對(duì)該數(shù)學(xué)特征進(jìn)行抽象化，建立起某一種函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)去解決該關(guān)系式，進(jìn)而解決該事物中出現(xiàn)的某些問(wèn)題。函數(shù)體現(xiàn)的是“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義思想。通常，函數(shù)思想都是說(shuō)的構(gòu)造函數(shù)，然后再利用構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解題，即：已知+未知+規(guī)定思想。其中已知被我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中定義為定量，而未知被定義為變量，規(guī)定思想則是事物之間存在的某種已經(jīng)被證實(shí)的客觀規(guī)律，也就是教學(xué)中的函數(shù)性質(zhì)。經(jīng)常會(huì)接觸到的函數(shù)性質(zhì)是：f（x）、x的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大最小值等，要求我們必須熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的特性。

函數(shù)的主旨是以無(wú)限為有限。在長(zhǎng)期的函數(shù)思想運(yùn)用中，人們發(fā)現(xiàn)，每當(dāng)利用函數(shù)思想去解決問(wèn)題后，都會(huì)將原本有限的公式擴(kuò)大化，也就是用短小的式子去描述一個(gè)有著較多數(shù)據(jù)或者無(wú)限數(shù)據(jù)的事物。在這個(gè)過(guò)程中，變量是不定的，所以可以隨時(shí)的變化，而在這個(gè)變化的過(guò)程中，就會(huì)產(chǎn)生不一樣的結(jié)果。故此，筆者認(rèn)為函數(shù)的思想可以表達(dá)為有無(wú)對(duì)等。也就是說(shuō)，世界上的所有東西都可以利用函數(shù)式推導(dǎo)而來(lái)，也就是本來(lái)沒(méi)有，但是規(guī)律具有無(wú)形創(chuàng)造力。

二、函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

（一）方程問(wèn)題

在具體的解題思路中，通常會(huì)將方程f（x）=0轉(zhuǎn)換為y=f（x）中圖像表達(dá)時(shí)，其與橫向軸即x軸的焦點(diǎn)坐標(biāo)。因此，可以利用函數(shù)的圖形研究方程的實(shí)根問(wèn)題，從而對(duì)方程問(wèn)題進(jìn)行解答。在實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)方程式，都是可以被替換為函數(shù)式，再利用函數(shù)式呈象，進(jìn)而根據(jù)變量的變化，來(lái)找出對(duì)應(yīng)的答案，實(shí)現(xiàn)方程式的解答。這種方式比方程式更為便捷，其包涵量較大，在一個(gè)方程題目下，存在多種量的變化，采用該種方式可以有效的實(shí)現(xiàn)解答。

（二）不等式問(wèn)題

不等式與函數(shù)的關(guān)系十分緊密，通常利用函數(shù)可以有效的表達(dá)不等式條件與結(jié)論之間的關(guān)系，從而得出不等式成立的條件。在高中數(shù)學(xué)中，不等式如果利用普通方式解答，很容易會(huì)出現(xiàn)漏答。隨著我們對(duì)于數(shù)學(xué)的接觸面變廣，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上，我們會(huì)接觸到正數(shù)、負(fù)數(shù)，而在解題中，單純依靠傳統(tǒng)方式來(lái)解答不等式，很容易將其負(fù)數(shù)忽略，從而造成答案不全。而函數(shù)就不會(huì)存在該種問(wèn)題，函數(shù)本身是一個(gè)區(qū)域的表達(dá)。

（三）最優(yōu)化問(wèn)題

所謂最優(yōu)化問(wèn)題，通常是對(duì)最大最小值的計(jì)算。在傳統(tǒng)的解題思想中，要想實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化，得出最佳答案，就必須找到臨界點(diǎn)。為了準(zhǔn)確的找出臨界點(diǎn)，通常會(huì)利用數(shù)學(xué)邏輯，進(jìn)行代入計(jì)算。但是，該種方式的計(jì)算量較大，耗費(fèi)時(shí)間。如果，將最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)解答，建立起一定的函數(shù)式，利用最大最小值的方式，就可以很直接的找出其最優(yōu)值。也就是我們將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖像，在圖像中如果存在最值，就會(huì)很明顯的看出，從而找出對(duì)應(yīng)的變量，就解決了最佳問(wèn)題。在函數(shù)中定義域的存在就是對(duì)問(wèn)題的條件限制，在限制下才會(huì)出現(xiàn)最值。

（四）行程問(wèn)題

行程問(wèn)題無(wú)非是指在一定時(shí)間或者一定速度的限制下，行駛了多長(zhǎng)的距離。傳統(tǒng)的解決方式，也就是將時(shí)間、速度都找出來(lái)，然后根據(jù)時(shí)間與速度的乘積等于路程，得出對(duì)應(yīng)的行程答案。但是，如果在解題中發(fā)現(xiàn)，時(shí)間和速度都沒(méi)有具體值，要計(jì)算的也不是路程，而是行程安排，怎么樣安排才能實(shí)現(xiàn)資源的集約化。這個(gè)時(shí)候，函數(shù)才是最佳解決方式，利用其內(nèi)在規(guī)律，對(duì)各個(gè)量進(jìn)行確定和計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)行程問(wèn)題的解決。

三、討論與建議

其實(shí)無(wú)論是任何問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)以有限為無(wú)限的原則，都可以對(duì)其進(jìn)行解決。但是，由于當(dāng)前階段中函數(shù)的教學(xué)相對(duì)較淺，所以導(dǎo)致其實(shí)用性有所降低。為了提高函數(shù)的實(shí)用性，當(dāng)前的學(xué)習(xí)中，教師需要注意函數(shù)與各個(gè)數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)化，由于數(shù)學(xué)本來(lái)就具有邏輯相通性，所以，其很多概念都是可以用函數(shù)來(lái)表達(dá)，因此，加大學(xué)生的函數(shù)思維，提高其函數(shù)運(yùn)用能力，有助于數(shù)學(xué)解題能力的提高，促進(jìn)學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升。

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