“三看”利用柯西不等式代數(shù)及幾何形式解題

葉忠

摘 要：柯西不等式是高中數(shù)學(xué)選修課的重要內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，受知識(shí)學(xué)習(xí)順序及學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟練程度的影響，利用柯西不等式代數(shù)形式及其向量形式解題常被割裂開(kāi)，“側(cè)看”這兩種形式，好象有很大區(qū)別；“正看”這兩種形式在解題中其實(shí)質(zhì)是相同的，甚至解題過(guò)程也相似；通過(guò)“轉(zhuǎn)身看”兩種形式在近年高考題中的運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)只學(xué)習(xí)向量運(yùn)算 （即幾何形式），可以代替柯西不等式代數(shù)形式解題.

關(guān)鍵詞：柯西不等式；代數(shù)形式；幾何形式

柯西不等式是著名的經(jīng)典不等式之一， 它在求函數(shù)最值，證明等式與不等式，解方程等方面都重要的應(yīng)用.

向量與柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中，既作為知識(shí)，又作為解題工具，它們的應(yīng)用有很多不同的地方，但有時(shí)用它們解決同一問(wèn)題時(shí)，兩者又常有異曲同工之妙，它們的這種交融在柯西不等式向量形式上得到充分體現(xiàn).由于人們對(duì)向量知識(shí)非常熟悉，柯西不等式向量形式與柯西不等式常被割裂開(kāi).其實(shí)，在現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，只要向量存在，即使高考不考柯西不等式，還是可以在向量應(yīng)用中找到柯西不等式的影子，甚至在很多需要利用柯西不等式來(lái)解題的時(shí)候，可以通過(guò)向量方法來(lái)代替.

1 “側(cè)看”利用柯西不等式代數(shù)形式及其向量形式解題

柯西不等式和向量在解題教學(xué)常以工具的形式被用來(lái)解題.從解題工具的層面看解題，很多學(xué)生利用柯西不等式向量形式解題，也不會(huì)把它和柯西不等式聯(lián)系起來(lái).這是因?yàn)?，在中學(xué)教材中，向量的學(xué)習(xí)先于柯西不等式的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)向量的熟悉程度也遠(yuǎn)勝于柯西不等式.

例1.已知點(diǎn)P（x0，y0）及直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0），求證：點(diǎn)P到直線l的距離d=.

證法1（利用柯西不等式解題）：

設(shè)點(diǎn)P1（x1，y1）是直線l上的任意一點(diǎn)，則Ax1+By1+C=0，PP1=.顯然，PP1的最小值就是P到直線l的距離.

由柯西不等式得：

當(dāng)且僅當(dāng)B（x1-x0）=A（y1-y0），即PP1⊥l時(shí)取等號(hào).根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義.

所以，點(diǎn)P到直線l的距離d=.

證法2（利用向量形式解題）：

設(shè)平面內(nèi)直線l的方向向量=（-B，A）.

與之垂直的直線l'的方向向量為=（A，B）.

設(shè)點(diǎn)P1（x1，y1）是直線l上的任意一點(diǎn)，

則=（x1-x0，y1-y0），點(diǎn)P到直線l的距離d=

因?yàn)閮煞N方法在“數(shù)”與“形”中有不同的偏向，所以很容易讓我們覺(jué)得這是兩種沒(méi)有聯(lián)系的方法.

利用這兩種方法得到點(diǎn)到直線的距離公式，都有其巧妙的一面.向量方法：利用法向量，求出在法向量上的投影長(zhǎng)度，進(jìn)而求出距離；而柯西不等式方法：很巧妙地利用等號(hào)的唯一性得到了公式.本題兩種解法表面上看有很大的區(qū)別，但認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)他們本質(zhì)上就是利用·≥A（x1-x0）+B（y1-y0） =Ax0+By0+C，其實(shí)就是利用柯西不等式的向量形式：·≤

因此，從這點(diǎn)上說(shuō)兩者其實(shí)是統(tǒng)一的.會(huì)出現(xiàn)這是兩種不同方法的偏差緣于向量的學(xué)習(xí)在先，且對(duì)·≤

的熟悉程度勝過(guò)柯西不等式.

2 “正看”利用柯西不等式代數(shù)形式及其向量形式解題

在現(xiàn)行《不等式選講》教材中，從向量數(shù)量積角度對(duì)二維柯西不等式進(jìn)行了解釋?zhuān)芽挛鞑坏仁降南蛄啃问娇醋魇强挛鞑坏仁降膸缀伪硎拘问?利用空間向量的數(shù)量積得到三維形式的柯西不等式，進(jìn)而猜想到一般形式的柯西不等式.柯西不等式代數(shù)形式及其向量形式兩者是等價(jià)的.因此，利用它們來(lái)解題，只是思考的出發(fā)點(diǎn)有所不同，但方法是一致的.

例2.（福建省泉州市2015屆普通中學(xué)高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查21）已知a，b，c∈R+，a+b+c=2，記a2+b2+c2的最小值為m.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m；（Ⅱ）略.

方法1：（利用柯西不等式）由柯西不等式，整理得，（a2+b2+c2）[1+（）2+（）2]≥（a+b+c）2，當(dāng)且僅當(dāng)==，即a=，b=，c=1時(shí)，等號(hào)成立，所以m=2.

方法2（利用向量形式）：設(shè)=（a，b，c），=（1，，），則

，因此（a2+b2+c2）[1+（）2+（）2]≥（a+b+c）2，整理，得a2+b2+c2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)==，即a=，b=，c=1時(shí)，等號(hào)成立，所以m=2.

例3.（2012年湖北高考理科第6題）設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則=（ ）.

A. B. C. D.

方法1：（利用代數(shù)形式）：

由柯西不等式知：（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2而10×40=202，當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)，等號(hào)成立，不妨設(shè) ===k，則a=kx，b=ky，c=kz.因此=k，而=k2，從而=.故選C.

方法2（利用向量形式）：

設(shè)=（a，b，c），=（x，y，z），因此， ·=ax+by+cz.由

故20=ax+by+cz≤=20當(dāng)且僅當(dāng) ==時(shí)，等號(hào)成立，下同解法1.

從兩例上看，兩種方法解題入手不同，但解題過(guò)程卻是相似的.

例2由已知條件a+b+c=2及目標(biāo)“求a2+b2+c2的最小值”想到利用柯西不等式；由a+b+c想到構(gòu)造向量=（a，b，c），=（1，，），得到向量解法.例3從ax+by+cz=20展開(kāi)聯(lián)想，根據(jù)題目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比較自然.從兩例可以看出，利用柯西不等式代數(shù)形式及其向量形式解題的方法是一致的.選擇哪種方法進(jìn)行解題，可能會(huì)因解題者的知識(shí)解構(gòu)、思維特征及對(duì)問(wèn)題與方法的熟悉程度做出選擇.分析近幾年各省市高考卷或各地市質(zhì)檢卷，可以發(fā)現(xiàn)，基本上能用柯西不等式的代數(shù)形式解題的問(wèn)題都能用向量形式來(lái)完成.

3 “轉(zhuǎn)身看”利用柯西不等式及向量形式解題的教學(xué)

比較兩種解題方法，從解決問(wèn)題的角度看，受思維特點(diǎn)和知識(shí)熟悉程度影響，不同的人會(huì)喜歡不同的處理方式.

從柯西不等式的地位與作用看，由于柯西不等式是經(jīng)典不等式，向量形式只是其中一種，利用代數(shù)形式研究一些相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題更讓人們所習(xí)慣.因此，從這個(gè)角度看，不能不介紹柯西不等式代數(shù)形式而只介紹向量形式.

從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，利用二者進(jìn)行解題，基本上是可以互相替代的.學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)柯西不等式的代數(shù)形式，只要熟悉向量形式（或者說(shuō)熟悉·≤

），就可以完成解題.學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積概念與運(yùn)算都比較熟悉，利用柯西不等式向量形式訓(xùn)練學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解題中靈活運(yùn)用，從某種角度看，可以代替《不等式選講》中的柯西不等式的學(xué)習(xí).正因?yàn)閺囊酝膶W(xué)習(xí)與考試看，高考及各地市質(zhì)檢卷中，《不等式選講》部分考查柯西不等式的試題，學(xué)生既使沒(méi)學(xué)柯西不等式，只要熟練掌握·≤

的運(yùn)用，一樣可以很好地完成解題，所以即便現(xiàn)在全國(guó)高考課標(biāo)卷沒(méi)考柯西不等式，但運(yùn)用向量工具解決問(wèn)題中仍然保留著它的影子.