淺析“定積分的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

王兵兵 沈艷平

摘 要：定積分是微積分的重要內(nèi)容之一，在經(jīng)濟(jì)、管理、工程等自然學(xué)科中有重要的應(yīng)用?；诟叩葦?shù)學(xué)“必須夠用”的原則，對(duì)定積分概念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重視教學(xué)背景的引入，運(yùn)用實(shí)例講授新課并重視數(shù)學(xué)建模思想的融入，利用現(xiàn)代信息技術(shù)呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)化的教學(xué)過(guò)程。

關(guān)鍵詞：定積分；教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)思想

微積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，而定積分是微積分中的重要內(nèi)容。我校對(duì)理工科專業(yè)開設(shè)的高等數(shù)學(xué)課程采用的是由中國(guó)輕工業(yè)出版社出版的、由我校教師主編的《高等數(shù)學(xué)》，“定積分的概念”是該教材第五章第一節(jié)的內(nèi)容。職業(yè)院校以培養(yǎng)技能型人才為主要教學(xué)目標(biāo)，因此，我校對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)堅(jiān)持“必須夠用”原則，在對(duì)“定積分的概念”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，注重學(xué)生定積分概念的形成思想和對(duì)問(wèn)題分析方法的應(yīng)用。

一、“定積分的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)體會(huì)

1.背景介紹。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱。魏晉時(shí)期劉徽的“割圓術(shù)”，祖沖之對(duì)圓周率、球體積和球表面積的研究以及古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德對(duì)不可約量及面積和體積的研究等是古代的極限、微分思想，是微積分發(fā)展的萌芽階段。十六世紀(jì)，由于航海、機(jī)械制造和軍事的需要，科學(xué)家開始研究變量間的依賴關(guān)系，而變量的引進(jìn)，成為數(shù)學(xué)研究的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。十七世紀(jì)后半葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茲創(chuàng)建了微積分。兩人都是用幾何方法得出的微積分，但牛頓側(cè)重力學(xué)研究，為求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度建立了微積分的計(jì)算方法。萊布尼茲側(cè)重幾何研究，突出了切線的概念。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)一些用初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題能找到有效的解決辦法。

設(shè)計(jì)意圖：高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，對(duì)高等數(shù)學(xué)興趣低，影響了高等數(shù)學(xué)課堂的效率。為了豐富教學(xué)內(nèi)容，降低高等數(shù)學(xué)的難度，引入微積分的知識(shí)介紹，來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

2.用實(shí)際問(wèn)題引入新課。引例1：（收益問(wèn)題/曲邊梯形的面積）設(shè)某商品的銷售量為x，商品價(jià)格P是銷售量的函數(shù)P=P（x），求商品的銷售量從a變到b的過(guò)程中的總收入R。引例2：（變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題）火車在進(jìn)站時(shí)會(huì)減速，求火車從開始減速到進(jìn)站停止的總路程。

設(shè)計(jì)意圖：以現(xiàn)實(shí)生活中的常見問(wèn)題為引入，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以使學(xué)生形成較為形象、具體的問(wèn)題解決思路，改變數(shù)學(xué)較為枯燥的缺點(diǎn)。

3.授課過(guò)程融入數(shù)學(xué)建模思想。按照利用數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的步驟：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用，授課過(guò)程設(shè)計(jì)（以引例1為例）如下：

（1）模型準(zhǔn)備：?jiǎn)栴}的實(shí)質(zhì)實(shí)際為求一曲邊梯形的面積。（2）模型假設(shè)：?jiǎn)栴}中的變量都做好假設(shè)。（3）模型建立：明確該模型建立的思想是“化曲為直”，將曲邊梯形劃分為若干個(gè)矩形，利用矩形的面積和近似代替曲邊梯形的面積。（4）模型求解：將已知量帶入矩形的面積和公式，求得曲邊梯形面積的近似值。（5）模型分析：通過(guò)觀察矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)對(duì)自變量取值區(qū)間劃分越細(xì)，兩者之間的差距越小，當(dāng)自變量劃分成的區(qū)間長(zhǎng)度趨于0時(shí)，矩形面積和趨于曲邊梯形面積的真實(shí)值。因此，銷售總收入為銷售量與銷售價(jià)格的乘積當(dāng)銷售量劃分區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0時(shí)的極限值。（6）模型檢驗(yàn)：該引例中的推導(dǎo)過(guò)程均為數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，模型通過(guò)檢驗(yàn)。（7）模型應(yīng)用：對(duì)于引例2及類似的能化為求解曲邊梯形的面積和變速運(yùn)動(dòng)路程的問(wèn)題，均可使用該模型解決。

最后，教師歸納總結(jié)定積分的概念及解決問(wèn)題過(guò)程中所使用的解決步驟。也可歸納為“分割、取近似值、作和式、求極限”，并向?qū)W生介紹極限思想的應(yīng)用。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中養(yǎng)成自我總結(jié)的良好習(xí)慣，也使學(xué)生更具體地了解定義的形成過(guò)程。此外，將建模的思想融入授課過(guò)程，使學(xué)生了解運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的步驟，以便更好地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，還可為學(xué)生日后參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下基礎(chǔ)。

4.利用現(xiàn)代信息技術(shù)呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)化教學(xué)過(guò)程。在求曲邊梯形面積過(guò)程中，充分利用多媒體的可視性優(yōu)勢(shì)，利用其演示當(dāng)分割加細(xì)時(shí)矩形面積與曲邊梯形面積的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生通過(guò)自己的觀察得出分割越細(xì)、矩形面積與曲邊梯形面積之差越小，當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)時(shí)，矩形面積近似等于曲邊梯形的面積。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

對(duì)于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，運(yùn)用多樣化的教學(xué)手段，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以激發(fā)學(xué)生的潛能、開闊學(xué)生的思路，使學(xué)生在生活中廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹帥雷.以問(wèn)題為載體、以解決問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)的信息化教學(xué)設(shè)計(jì)——以高職高等數(shù)學(xué)定積分的概念及其計(jì)算為例[J].中國(guó)信息技術(shù)教育，2014（10）：32-34.

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