實變函數(shù)課程教學的幾點體會

黃朝軍

摘 要： 實變函數(shù)課程的思想痕跡在初等數(shù)學中就有所體現(xiàn)，掌握實變函數(shù)的知識對正確理解和解釋中小學數(shù)學課程中的一些概念、性質和結論有很大的益處.點集的測度在現(xiàn)實中是能夠得到較好解釋的.函數(shù)的可測并不十分抽象，可以設計較好的情境講授函數(shù)的可測.在函數(shù)可測意義之下，實變函數(shù)課程很好地解決了函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)收斂內容中的難題，使計算得到大大簡化.

關鍵詞： 實變函數(shù)課程 點集的測度 可測函數(shù)

引言

實變函數(shù)課程對于大多數(shù)學生來說都很困難、很抽象，主要原因是學生習慣了從初等數(shù)學到數(shù)學分析或高等數(shù)學，所研究的函數(shù)都是常規(guī)的性質很好的函數(shù).然而，有更多的性質不好的函數(shù)，需要換個角度認識它們，這就導致實變函數(shù)思想的形成，并最終成為一門課程.這門課程的思想方法與思想痕跡其實在中學數(shù)學課程及大學數(shù)學課程中都有所體現(xiàn).

1.實變函數(shù)思想下初等數(shù)學內容的認識

為了研究函數(shù)的性質，對函數(shù)的定義域再認識，從而從另一角度研究集合，因此實變函數(shù)課程中一開始就研究集合，當然不只是停留在集合的簡單運算上.

當兩個集合之間能建立一一映射時，這兩個集合中的元素就是一樣多的.由于無理數(shù)集是不可數(shù)集，有理數(shù)集是可數(shù)集，則無理數(shù)集與有理數(shù)集不對等，這兩個集合中的元素就不是一樣多的，實際上無理數(shù)比有理數(shù)要多得多.利用一一映射，還可以得到任何一個三角形的三條邊上的點是一樣多的，但就長度而言三條邊往往不相等，這說明點不能有大?。ǘ攘浚⒉皇侨藶橐?guī)定點沒有大小.

對于兩個非空集合（點集）A與B，把A中的任何點與B中的任何點之間的距離的下確界說成是集合A與B之間的距離.這樣，一直線外一點到該直線的距離，平面上兩條平行直線之間的距離，兩條異面直線之間的距離，空間中兩平行平面之間的距離等，都采用垂線段的方式計算.按照此定義，平面上兩條相交直線之間的距離，兩個相交的平面之間的距離等則為零.

由此看出，只有真正學懂了實變函數(shù)課程，才能正確理解和解釋中小學數(shù)學課程中的一些概念、性質和結論.比如，點為什么不能有大小，有理數(shù)與無理數(shù)的本質區(qū)別是什么，無理數(shù)在實數(shù)中占有什么樣的地位，集合的表示為什么要用區(qū)間這樣的方法，為什么不是所有集合都能用列舉法表示，等等.

2.集合的測度之意義

拓廣對集合整體度量的認識，利用測度概念.在測度意義之下，點集可以是非常不規(guī)則的，其元素可以是相當凌亂的，集合的元素可以是多樣的，從而測度可以是長度，可以是體積，可以是質量，可以是概率，等等.在測度意義之下，由一個元素組成的集合，由有限個元素組成的集合，由可數(shù)個元素組成的集合，測度均為零.這樣，一個點的測度為零，這就說明點確實沒有大小.在測度意義之下，有理數(shù)集的測度是零，從而實數(shù)集R中基本上全都是無理數(shù)，或者說，一條直線上幾乎處處為無理點，實數(shù)的核心是無理數(shù)，實數(shù)集R的“質量”都集中在無理數(shù)上，無理數(shù)集是實數(shù)集R的“原子核”.

可數(shù)集的測度為零的一個現(xiàn)實反映，比如，一個篩子的孔是很多的，但也應該是有限個，不過可以理解為可數(shù)多個，當人們往篩子（懸空的）里盛放細小的東西（一部分可以穿過孔）時，如果人不搖晃篩子，則自然從孔漏出去的細小東西的體積幾乎為零.這就是為什么有了篩子，還得要人篩一篩，才能把東西分開成粗與細的兩個部分.

這表明，任何一個集合添加零測度集后，其測度不改變.這一性質的一個現(xiàn)實反映經常出現(xiàn)，比如人們外出旅行，收拾包裹行囊很滿，鼓鼓囊囊的，正要出門時突然看到一支筆或一把梳子被落下了，這時往往就把筆或梳子隨便插進包裹的縫隙里，照樣帶走.這里，相對于一大包東西，一支筆或一把梳子的體積或質量幾乎為零，添加進包裹也不會改變包裹的體積或質量，并不會影響人的出行.

由此看出，所謂集合的測度，其實并不那么抽象.

在測度意義之下，集合又區(qū)分為可測集與不可測集.零測度集是可測集，區(qū)間是可測集[2]，區(qū)間的并集是可測集，這些為函數(shù)范圍的拓寬奠定了基礎.不可測集是存在的，由于集合的測度是非負實數(shù)，那么不可測集的測度一定不為零，從而不可測集存在于正測度集之中.

3.可測函數(shù)概念教學的一個策略

對于函數(shù)，中學數(shù)學教材及數(shù)學分析里的函數(shù)，往往強調定義域的重要性，而且定義域基本上是連續(xù)的一個數(shù)集——區(qū)間，同時對函數(shù)的值域往往不太重視.這樣，導致學生習慣于從定義域到函數(shù)值認識函數(shù)，而忽視了從函數(shù)值范圍到自變量取值范圍認識函數(shù).盡管教材里有所體現(xiàn)，比如，試根據(jù)函數(shù)y=3x-15的性質或圖像，確定y>0時x取何值[3]，觀察余弦曲線，寫出滿足條件cosx>0的區(qū)間[4]，但都是以習題的形式出現(xiàn)的，在教材的正文中幾乎沒有涉及.雖然這僅僅就是解函數(shù)不等式，但認識上、方法上還是有所不同.因此，在實變函數(shù)里突然出現(xiàn)一個可測函數(shù)概念，使學生感到迷惑.所以，筆者在講授可測函數(shù)概念時，是按照如下策略引導講解的.

由上述例子看出，連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)；處處不連續(xù)的函數(shù)也可以是可測函數(shù)，所以，可測函數(shù)是比連續(xù)函數(shù)更廣泛的函數(shù)類型。

上述通過設立情境導入概念，再以不同類型的函數(shù)討論其可測性，使得學生掌握可測函數(shù)這一概念比較容易，也掌握了判斷函數(shù)可測的具體方法，教學效果很好.

4.實變函數(shù)課程所解決的困難

這里，求和（級數(shù)收斂）運算與積分運算交換順序，并沒有要求函數(shù)列一致收斂，而只要求可測即可.像這樣的例子還有很多，不再枚舉.

由此看出，在可測的意義之下，解決函數(shù)列的收斂這樣的問題時就簡化多了.

5.結語

實變函數(shù)課程是數(shù)學分析課程的進一步延伸與升華，實變函數(shù)課程里包含了高深精細的理論，實變函數(shù)論是數(shù)學的一個重要分支，實變函數(shù)論的應用很廣泛，實變函數(shù)論的思想方法和觀念是某些數(shù)學分支的基本工具，甚至，實變函數(shù)論在數(shù)學的分支中的應用成為現(xiàn)代數(shù)學的重要特征.所以，把實變函數(shù)課程講授好，對學生的學習很重要，對更多學科的認識也很重要.

參考文獻：

[1]中學數(shù)學課程教材研究中心.義務教育教科書·數(shù)學（七年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]徐新亞.實變函數(shù)論[M].上海：同濟大學出版社，2010.

[3]中學數(shù)學課程教材研究中心.義務教育教科書·數(shù)學（八年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4]中學數(shù)學課程教材研究中心.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2010.

[5]薛昌興.實變函數(shù)與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，1993

[6]程其襄，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]鄺榮雨，薛宗慈，陳平尚，等.微積分學講義[M].北京：高等教育出版社，1989.

[8]劉培德.實變函數(shù)教程（第二版）[M].北京：科學出版社，2012.

[9]許靜波，程曉亮.實變函數(shù)論[M].北京：北京大學出版社，2014.

[10]何穗，劉敏思.實變函數(shù)[M].武漢：華中師范大學出版社，2013.