巖石單裂紋擴展及損傷演化規(guī)律的數(shù)值模擬研究

趙 程，劉豐銘，楊 磊，田加深

(1. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2. 同濟大學 巖土與地下工程教育部重點實驗室，上海 200092；3. 山東大學 土建與水利學院，山東 濟南 250061)

巖石單裂紋擴展及損傷演化規(guī)律的數(shù)值模擬研究

趙 程1,2，劉豐銘1,2，楊 磊3，田加深1

(1. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2. 同濟大學 巖土與地下工程教育部重點實驗室，上海 200092；3. 山東大學 土建與水利學院，山東 濟南 250061)

采用擴展離散元(EDEM)計算方法，模擬了單軸壓縮下含不同預置傾角的單裂紋巖石試樣的裂紋起裂、擴展和貫通過程，探討了裂紋不同擴展階段的應力變化，分析了不同預置傾角下單裂紋的擴展機制。研究表明：隨著預置裂紋傾角α的增大，新裂紋的起裂應力和試樣的抗壓強度總體上呈增大趨勢，但當α=30°時出現(xiàn)突變；α=30°時試樣裂紋擴展最為迅速，α=15°，45°，60°，75°時的試樣擴展速度依次減弱；當α=15°，30°時，新裂紋從預置裂紋尖端的兩翼開始擴展，當α從45°增大到75°時，新裂紋的擴展逐漸向著預置裂紋兩側縱深發(fā)展，α=45°時為兩種不同裂紋擴展模式的過渡傾角。

隧道工程；巖土工程；擴展離散元(EDEM)；數(shù)值模擬；巖石材料；單裂紋

0 引 言

一方面，巖石內(nèi)部存在著大量隨機分布的微裂紋，其裂紋的起裂、擴展和貫通的損傷演化過程，是巖石宏觀破壞的主要原因之一。另一方面，作為一種常用的土木工程材料，巖石是隧道、礦山和地下空間等大型工程開發(fā)利用的主要原材料和研究對象。因此，研究巖石內(nèi)部裂紋的起裂、擴展和貫通機制，對于揭示巖石的破壞機理和指導工程實踐都具有重要的實際應用價值。

對巖石等脆性材料裂紋的擴展及損傷演化規(guī)律的研究，主要有實驗、理論和數(shù)值模擬等方法。就數(shù)值模擬研究方面，目前主要有有限元法、無網(wǎng)格法和離散元法等。有限元法在解決復雜力學問題上具有較大地靈活性，如巖石材料的非均勻性、非線性變形和復雜應力條件等問題。T. BELYTSCHKO等[1]，N. SUKUMAR等[2]，H. PATHAK等[3]，P. BROUMAND等[4]和Y. L. ZHANG等[5]均利用有限元對巖石的裂紋擴展做了相應的研究，并取得了豐碩的成果。但有限元法是建立在連續(xù)介質假設的基礎上的，對于解決非連續(xù)介質的問題存在著一定的局限性。無網(wǎng)格法由T. BELYTSCHKO等[6]提出，該方法只需節(jié)點信息而無需單元，這就突破了有限元中的網(wǎng)格限制。P. KRYSl等[7]，B. N. RAO等[8]人均運用無網(wǎng)格法對巖石裂紋的動態(tài)斷裂過程進行了模擬，效果較為理想。但無網(wǎng)格法在確定形函數(shù)系數(shù)中存在繁重不堪的求逆矩陣，造成計算量很大的問題，邊界處理也存在較大困難。離散單元法是目前應用于巖石結構分析中最廣泛且有效的非連續(xù)介質力學數(shù)值方法，最早是由P. A. CUNDALL[9]提出應用于不連續(xù)巖體的數(shù)值求解方法。離散單元法可以計算巖石塊體內(nèi)部的應力和變形，同時又可以分析巖石不同塊體接觸面的分離、滑移與傾覆旋轉，使其能夠更真實地模擬節(jié)理巖體的幾何變形特征。該法實用于解決大變形及開裂的特點，使得其可以更好地模擬節(jié)理巖體在荷載作用下的變形情況。離散單元法將節(jié)理、裂隙、斷層等構造面與不同材料分區(qū)的界面作為塊體的邊界，不同塊體用法向與切向彈簧連接，應用牛頓運動定律根據(jù)動態(tài)松弛法求解系統(tǒng)的運動。相比較而言，離散元還不需要較為復雜的本構關系，且可以從微觀到宏觀對破壞過程進行分析。所以，國內(nèi)外許多學者采用離散單元法來模擬巖石裂紋的擴展過程，分析巖石的破裂機理。由塊體離散元理論引申出的擴展離散元(EDEM)[10-11]和顆粒體離散元方法(PFC)[12-13]被廣泛使用，并通過與室內(nèi)試驗資料相對比驗證了該方法模擬巖石的可行性。

基于對巖石裂紋的擴展和貫通機制的一系列相關研究基礎[14-16]，通過合理設置巖石的預置單裂紋的位置、方向(傾角)和尺寸，筆者采用基于擴展離散元(EDEM)的數(shù)值模擬研究手段，對在單軸壓縮作用下的含單裂紋的巖石試樣的裂紋起裂、擴展和貫通的演化規(guī)律進行研究，分析不同應力狀態(tài)下試樣的應力應變特征，以期研究結果能作為理論研究和試驗研究的有益補充。

1 擴展離散元方法(EDEM)

離散單元法(distinct element method，DEM)是由P. A. CUNDALL[9]首次采用變形接觸和顯式、時間域的初始運動方程提出的特殊離散單元法程序，至今已有數(shù)十年的發(fā)展歷史。通用離散元程序(universal distinct element code，UDEC)是一個處理不連續(xù)介質的二維離散元程序。UDEC用于模擬非連續(xù)介質承受靜載或動載作用下的響應，如含節(jié)理、裂隙的巖體等。筆者采用的擴展離散元計算方法(expanded distinct element method，EDEM)，是由長崎大學蔣宇靜教授與中川教授基于UDEC計算程序框架進行二次開發(fā)，并由山東大學楊磊博士等人進一步完善，主要用以研究大規(guī)模巖石結構在拉-剪破壞時的裂紋擴展機制。關于基于UDEC計算程序的二次開發(fā)的具體介紹，以及筆者所采用的數(shù)值模擬方法在UDEC中的具體實現(xiàn)，可參考文獻[10-11]和文獻[17-18]相應介紹。

在EDEM計算程序中，巖體被認為是大量離散塊體與塊體間裂隙的集合體，其能較為真實地模擬巖體由于裂紋起裂、擴展、貫通而發(fā)生破壞過程中發(fā)生的一系列力學行為(包括壓縮、滑移、分離等)和幾何參數(shù)變化(包括方向、間距等)。數(shù)值模型中裂紋的發(fā)育過程主要通過4步來完成：①模型中潛在裂紋的定義；②塊體接觸面的應力計算；③接觸面破裂與否的判斷準則；④將潛在裂紋轉化為真實裂紋。

從理論上來講，裂紋在受外界壓力作用時可能在模型中的任何位置、向任意方向擴展，所以潛在裂紋的合理性分布(位置及方向)是影響巖石破壞模擬結果準確性的關鍵因素。在EDEM模型中，嵌入六邊形節(jié)理，其將無損巖體離散成大量六邊形塊體的集合體，如圖1。

圖1 EDEM模型的基本單元結構示意Fig.1 Schematic of basic unit structure diagram of EDEM model

塊體間接觸面表示潛在裂紋，具有較高的黏結強度，保證能在巖石破壞前表現(xiàn)出與真實巖體相似的力學性能。因此，當六邊形塊體的尺寸足夠小時，新生裂紋就可以在任何區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生，并可沿任意方向擴展。六邊形單元塊體之間通過位于潛在裂紋處的“點接觸”進行彼此聯(lián)結，并向彼此施加作用力。為得到塊體內(nèi)部的應力、應變狀態(tài)，將模型中每個單元塊體劃分并生成大量的三角形網(wǎng)格區(qū)。與此同時，潛在裂紋也被劃分成若干段，它們均通過點接觸相互聯(lián)結。接觸點主應力大小是通過選取形心至接觸點距離最近的4個周邊三角形網(wǎng)格區(qū)的平均應力進行估算得到，如圖1。塊體A中三角形網(wǎng)格區(qū)ZA1，ZA2和塊體B中三角形網(wǎng)格區(qū)ZB1，ZB2這4個網(wǎng)格區(qū)域被用來計算位于潛在裂紋中心點處接觸點的應力張量。

為評估EDEM模型中接觸點是否達到臨界破裂狀態(tài)，文中模型計算分析過程中采用格里菲斯失效準則。在模型運算的每一步都將計算位于潛在裂紋上所有接觸點的主應力，并將其替換到失效準則公式中去。當應力水平較低而巖石材料不發(fā)生破裂時，模型計算將自動進行下一步加載。隨著應力逐漸增加，當某個接觸點的應力狀態(tài)滿足失效準則時，與該接觸點聯(lián)結的潛在裂紋將轉化成具有適當力學參數(shù)的真實裂紋，以此代表新生裂紋的起裂與擴展過程。通過以上程序，可以模擬不同邊界條件下巖石材料的破壞過程。

2 數(shù)值模型

本次數(shù)值模擬所采用的模型長、高尺寸為W×HS=40 mm×100 mm，預置單裂紋長度為18 mm，如圖2。模型底部豎向位移固定，軸向應力均勻施加在具有較高強度和剛度的加載板的上界面?？紤]到數(shù)值計算中的計算量問題，在滿足計算精度的要求下，最終確定模型中六邊形單元塊體的邊長設置為1 mm，這樣既能保證對裂紋擴展的合理模擬，又不會造成計算量過大的問題。單元塊體間接觸界面被預先定義為潛在裂紋，其代表了真實裂紋潛在的發(fā)育路徑。巖體和裂紋的彈塑性變形行為分別采用摩爾-庫倫準則和庫倫滑移模型控制。

圖2 數(shù)值模型示意Fig.2 Sketch of numerical model

參數(shù)設置方面，為了與筆者一系列的相關試驗研究[14-16]具有對比性，數(shù)值模擬中的試件物理力學參數(shù)與試驗保持一致：彈性模量E=28 700 MPa，泊松比ν=0.23，單軸抗壓強度σc=47.4 MPa，抗拉強度σt=2.5 MPa。同時，經(jīng)過大量的預備模擬試驗，對所采用的數(shù)值模型參數(shù)體系不斷進行調(diào)整、優(yōu)化，使之與試驗中表現(xiàn)出的力學現(xiàn)象相符合，最終確定各類裂紋的力學參數(shù)如表1?；谏鲜鰧?shù)值模型的定義，充分論證裂紋分布的合理性，本次數(shù)值模擬方案共分5種情況，即考慮預置單裂紋的傾角α分別為15°，30°，45°，60°，75°的情況進行分析。

表1 模型參數(shù)

3 裂紋發(fā)展各階段的定義和分析

預置單裂紋試樣在軸向荷載作用下的損傷演化過程大體相似，均經(jīng)歷了前期應力集中、新生裂紋起裂、裂紋擴展及貫通破壞等階段。本節(jié)以α=45°時的試樣數(shù)值模擬全過程為例，從試樣在加載不同階段的應力分布變化、裂紋擴展過程及試樣破壞模式等研究角度將裂紋的發(fā)展分為6個典型階段。圖3中，從左往右依次為裂紋起裂階段、裂紋擴展Ⅰ～Ⅳ階段和裂紋貫通階段，對應的應力分為4.68，8.78，12.62，21.94，28.52，30.17 MPa)進行具體分析，以方便后文對含不同傾角預置裂紋試樣在破壞過程中的差異性進行對比和進行相關規(guī)律性分析。

圖3為α=45°時試樣裂紋擴展不同階段的拉、壓應力分布。圖3裂紋尖端深色區(qū)域以拉應力為主，其它區(qū)域以壓應力為主，應力分布密度越大，說明該區(qū)域的應力集中程度越高。

圖3 裂紋擴展不同應力階段的拉、壓應力分布(MPa)Fig.3 Stress distribution diagram of different stages of crack development

從圖3中可知：①當應力達到4.68 MPa(約為峰值應力的15.5%)時，在預置裂紋的兩尖端處開始產(chǎn)生新生裂紋，說明此時試樣的單元塊體接觸面上所形成的應力值將要或已經(jīng)達到破壞臨界值，將此刻所受應力值記為試樣的起裂應力。②隨著荷載的增加，新生裂紋逐漸從預置裂紋尖端處起裂、擴展開來。從此刻裂紋擴展過程的方向變化可以看出，在裂紋擴展之初，其擴展方向基本與預置裂紋方向垂直，而隨后逐漸變化成豎直方向，即與加載方向平行。③隨著豎向荷載的進一步增加，新生裂紋最終沿著加載方向逐漸向試樣的上下邊界擴展。當應力達到30.17 MPa時，新生裂紋與試樣上下邊界貫通，試樣發(fā)生整體損傷破壞，定義此時的應力為峰值應力。④在裂紋起裂階段，拉應力主要集中于預置裂紋尖端區(qū)域，具體又可以分為兩大區(qū)域，即與預置裂紋方向平行區(qū)域和與預置裂紋垂直區(qū)域。從圖中可以看出，兩大拉應力集中區(qū)均呈扇狀分布，且在兩者相重疊區(qū)域的拉應力集中程度最高，該位置正好緊緊圍繞在預置裂紋的尖端處，意味著當應力集中程度達到試樣單元塊體接觸面的破壞臨界值時，新生裂紋將首先在預置裂紋尖端產(chǎn)生。之后，隨著新生裂紋的不斷擴展，拉應力分布范圍和應力集中區(qū)域逐漸隨著新生裂紋的尖端位置的變化而變化。在裂紋擴展后期，拉應力在裂紋尖端區(qū)域的集中程度減弱，說明裂紋正處于后期不穩(wěn)定擴展階段，該階段的新生裂紋的擴展不再需要顯著的應力集中來驅使。⑤注意到在試樣加載全程，預置裂紋尖端區(qū)域始終存在一定范圍的拉應力分布區(qū)，說明預置裂紋(或者說原始缺陷)對巖石內(nèi)部的應力分布及破壞形態(tài)始終存在一定程度的影響。

4 數(shù)值模擬結果對比分析

含不同傾角的預置裂紋試樣在加載全程的裂紋擴展及損傷演化機制等方面存在一定共性，但與此同時也存在著諸多方面的差異性?？傮w而言，新生裂紋的起裂位置均位于預置裂紋的尖端部位，并在擴展前期階段裂紋擴展方向基本與預置裂紋方向垂直，此后裂紋擴展方向基本與加載方向平行。值得注意的是，預置裂紋傾角為60°和75°試樣時，在加載中后期，沿預置裂紋周邊出現(xiàn)若干新生裂紋，可能是試樣出現(xiàn)劈裂破壞，但其對試樣最終破壞形態(tài)影響不大。在數(shù)值模擬中，提取了裂紋發(fā)展6個典型階段的應力值作對比分析。圖4給出了預置裂紋傾角α分別 15°，30°，45°，60°，75°時的試樣在不同加載階段所對應的應力值。

圖4 裂紋發(fā)展各階段應力值比較Fig.4 Stress comparison chart of different stages of crack development

從圖4中可知：①隨著施加的應力值的增大，試樣經(jīng)歷了新裂紋的起裂、擴展和貫通等階段。②隨著預置裂紋傾角α的增加，各不同階段均在總體上表現(xiàn)出應力值不斷增大的趨勢，但也會出現(xiàn)個別奇異點。下文將具體針對不同試樣間的“起裂應力”、“裂紋擴展速率”、“試樣破壞模式”及“試樣的抗壓強度”等方面進行的相應結果進行具體的對比和分析。

4.1 不同試樣的“起裂應力”對比分析

圖5為數(shù)值模擬結果在試樣起裂應力方面的對比統(tǒng)計，即圖4中不同α下的裂紋起裂應力對比。從圖5中可以看出：①隨著預置裂紋傾角α的增加，起裂應力總體呈上升趨勢。當預置裂紋傾角α=15°，30°時，新裂紋的起裂應力較小。當α=60°，75°時，起裂應力有相對較大的提高。結合相關試驗分析可知[15]，前者新裂紋的擴展主要受張拉應力控制，后者主要受剪切應力控制，受剪切應力控制的裂紋更不易擴展。②當傾角α=45°時，裂紋的起裂應力產(chǎn)生突降，推測此時裂紋起裂模式可能發(fā)生轉變，α=45°是新裂紋擴展模式轉變的臨界角，至于具體轉變模式詳見后文分析。

圖5 起裂應力對比Fig.5 Crack initiation stress comparison diagram

4.2 不同試樣間“裂紋擴展速度”對比分析

為了解新生裂紋在加載全程的不同階段的發(fā)育、擴展速率，圖6給出了不同試樣對應不同加載階段的裂紋擴展長度量化曲線(圖中a為初始裂紋長度)。即測量出試樣加載不同階段的新生裂紋擴展長度，然后將此長度與預置裂紋初始長度的比值作為裂紋擴展的量化長度，繪出此量化長度隨試樣加載應力的變化曲線，以此分析新裂紋的擴展速度。

圖6 不同加載階段的裂紋擴展長度量化曲線Fig.6 Length quantization curve of crack growth under different loading levels

從圖6可知：①在裂紋起裂擴展的前期，預置裂紋傾角α=30°，45°時試樣的裂紋擴展速率相對其他試樣較大，說明此傾角下的新生裂紋起裂后能夠在較小的應力增量作用下完成裂紋的持續(xù)擴展；而α=15°，60°，75°時試樣在裂紋起裂后則需要施加相對較大的應力才足以促使裂紋繼續(xù)發(fā)育，即α=30°，45°時有利于新裂紋的初期擴展。②在裂紋擴展中期；除α=45°的試樣外，其他試樣裂紋擴展速率均有所提升；α=45°時試樣裂紋擴展速率反而降低成勻速擴展狀態(tài)，與其他試樣相比其裂紋擴展速率變?yōu)樽畹汀＂墼诹鸭y擴展后期，各試樣的裂紋發(fā)育速率基本都有所減緩，直至最后貫通。④從裂紋平均擴展速率來看，預置裂紋傾角α=30°時的試樣裂紋擴展最為迅速；α=15°，45°，60°，75°時的試樣擴展速率依次減弱。從整體曲線發(fā)展趨勢來看，除α=75°時的試樣在應力為25～30 MPa間出現(xiàn)平緩發(fā)展階段，其他試樣的裂紋擴展長度量化曲線無顯著轉折階段，較難類比區(qū)分出穩(wěn)定擴展階段與非穩(wěn)定擴展階段。

4.3 不同試樣“破壞模式”對比分析

圖7為數(shù)值模擬得出的試樣斷裂破壞形態(tài)，圖中線條表示新裂紋的擴展、貫通路徑。

圖7 試樣破壞模式示意Fig.7 Failure patterns of specimens

由圖7可知：①試樣新生裂紋均從預置裂紋的尖端開始發(fā)育，并逐漸沿加載方向擴展至試樣的上下邊界，且在擴展路徑上具有很高的相似性。其差異主要體現(xiàn)在裂紋起裂模式不同，當α=15°，30°時，新裂紋從預置裂紋尖端的兩翼開始擴展；當α=60°，75°時，新裂紋的擴展逐漸向著預置裂紋兩側縱深發(fā)展；當α=45°時，新裂紋的起裂處于上述兩種模式的過渡階段。②預置裂紋傾角α分別與45°，60°，75°試樣裂紋擴展模式上有所不同。由于數(shù)值模擬中將格里菲斯拉裂準則定義為模型破壞準則，故數(shù)值模擬結果中主要是張拉破壞，基本沒有次生裂紋產(chǎn)生。預置裂紋傾角α為60°，75°時，試樣預置裂紋周邊的短小的新生裂紋基本屬于劈裂張拉裂紋。結合相關試驗研究可知[15]，數(shù)值模擬中對模型破壞準則的定義具有局限性，格里菲斯拉裂準則預先假定了裂紋的起裂是由張拉應力控制的，無法反映實際情況中試樣存在剪切破壞的情況。

4.4 不同試樣“抗壓強度”對比分析

圖8為數(shù)值模擬中不同試樣的抗壓強度對比曲線，即圖4中不同α下裂紋貫通時的應力對比。

圖8 試樣抗壓強度對比Fig.8 Peak strength comparison diagram

從圖8中可知：①隨著預置裂紋傾角α的增加，試樣的抗壓強度總體呈上升趨勢，表現(xiàn)出和不同試樣的起裂應力一致的規(guī)律，說明試樣的單軸抗壓強度和裂紋的起裂應力是一致的。②和圖5相似的是，當α=30°時出現(xiàn)奇異點，所不同的是α=30°的試樣的起裂應力比α=15°，45°時的偏大，而抗壓應力卻偏小，說明當α=30°時，新生裂紋較難起裂但卻較易貫通。分析其原因，從圖5中可知，α=30°時試樣的起裂應力較大，說明此時試樣新裂紋的起裂需要積蓄較高的能量，但從圖6中可知，α=30°時試樣裂紋的平均擴展速率最大，遠快于α=15°，45°時的情況，說明新裂紋起裂后能量釋放得較多，因此，在裂紋最后貫通時所剩余的能量反而較小，從而降低了試樣的單軸抗壓強度。

5 結 論

通過數(shù)值模擬方法研究了含不同傾角的預置單裂紋的巖石試件在單軸壓縮下的裂紋起裂、擴展和破壞的演化規(guī)律。得出結論如下：

1)隨著預置裂紋傾角α的增大，新裂紋的起裂應力和試樣的抗壓強度總體上呈增大趨勢，但當α=30°時會出現(xiàn)突變，與α=15°，45°時的情況相比，α=30°時試樣的新生裂紋較難起裂，但起裂后試樣裂紋擴展最為迅速，試樣的抗壓強度也最低。

2)α=30°，45°時有利于新裂紋的初期擴展；在裂紋擴展中期，α=45°時試樣裂紋擴展速率開始降低為勻速狀態(tài)，且與其他試樣相比其裂紋擴展速率變?yōu)樽畹?；在裂紋擴展后期，各試樣的裂紋擴展速度開始變緩，直至最后貫通。從裂紋擴展平均速率來看，α=30°時的試樣裂紋擴展速率最大，α=15°，45°，60°，75°時的試樣擴展速度依次減弱。

3)當α=15°，30°時，新裂紋從預置裂紋尖端的兩翼開始擴展；當α從45°增大到75°時，新裂紋的擴展逐漸向著預置裂紋兩側縱深發(fā)展，α=45°時為兩種不同裂紋擴展模式的過渡傾角。

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Numerical Simulation of Single Crack Propagation and Damage Evolution Mechanism of Rock Specimens

ZHAO Cheng1,2, LIU Fengming1,2, YANG Lei3, TIAN Jiashen1

(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092,P.R.China; 2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, P.R.China; 3. School of Civil and Hydraulic Engineering, Shandong University, Ji’nan 250061, Shandong, P.R.China)

The whole process of crack initiating, propagation and through of rock specimen with single crack at various preset inclination angles under single axial compression was simulated by use of extended distinct element method (EDEM) and the stress variation in crack spreading stages was investigated and explored and the mechanism of single crack spreading with various preset inclination angles was analyzed. The results show that with the increase of inclined angle α of preset crack, the crack—starting stress of new cracks and compressive strength of the specimen are in overall tendency of increasing and sharp change occurred when α=30°. The crack developed most rapidly when α=30° . When α=15°, 45°, 60°, 75°, the crack expanding speed reduced progressively in order. When α=15° and α=30° , the new crack started expanding from the two wings of tip end of the pre-existing crack. When α increased from 45° to 75° , the new crack expanded gradually toward vertical depth along bilateral sides of the pre-existing crack. α=45° is the inclined angle at the transition of the two different crack expanding patterns.

tunnel engineering; geotechnical engineering；extend distinct element method (EDEM); numerical simulation; rock material; single crack

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.05.06

2015-07-01；

2016-01-12

國家自然科學基金項目(41202193;41572262)

趙 程(1982—)，男，內(nèi)蒙古呼和浩特人，副教授，博士，主要從事巖土工程方面的研究。E-mail:zhaocheng@#edu.cn。

U452.1+2;TU458

A

1674-0696(2016)05-022-06