基于二維傅立葉變換的圓桿彈性波模式識別及分離

錢 驥，陳 鑫，朱漢容

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué)，重慶 400074)

基于二維傅立葉變換的圓桿彈性波模式識別及分離

錢 驥1，陳 鑫1，朱漢容2

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué)，重慶 400074)

采用有限元模擬了聲發(fā)射彈性波在高強鋼絲內(nèi)的傳播過程，通過提取不同空間位置節(jié)點振動時程曲線組成二維幅值序列，由二維傅立葉變換獲得了頻率-波數(shù)域等值線圖，并與理論頻率-波數(shù)圖進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明：采用有限元方法能夠精確地模擬彈性波在高強鋼絲內(nèi)的傳播過程，不同時刻應(yīng)力云圖清晰反映了波在鋼絲內(nèi)的反射和疊加效應(yīng)；基于二維傅立葉變換的頻率-波數(shù)圖與理論值吻合良好，可以有效地進(jìn)行耦合波形模式識別和分離，從而實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。

橋梁工程;聲發(fā)射；圓桿；彈性波；模式分離；二維傅立葉變換

0 引 言

聲發(fā)射是材料或結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，產(chǎn)生變形或斷裂，以彈性波形式釋放出應(yīng)變能的現(xiàn)象[1]。任何損傷的出現(xiàn)，都是應(yīng)變能的累積與釋放，以彈性波形式釋放的應(yīng)變能，最終通過介質(zhì)傳播到監(jiān)測傳感器，通過實測波形的精確分析即可進(jìn)行損傷源識別。聲發(fā)射技術(shù)是一種被動的無損檢測和監(jiān)測方法，已廣泛應(yīng)用于航空航天、石油化工、機械制造等諸多領(lǐng)域，并已頒布了多部承壓設(shè)備如金屬儲罐、高壓氣瓶等聲發(fā)射無損檢測標(biāo)準(zhǔn)。

相比較于飛機機翼、壓力油罐等薄板結(jié)構(gòu)，彈性波在拉索內(nèi)的傳播更為復(fù)雜，多根鋼絲絞合在一起難以求得解析解。S.RAMADAN等[2]采用聲發(fā)射監(jiān)測預(yù)應(yīng)力鋼筋的腐蝕失效過程，通過聲發(fā)射事件累積數(shù)隨時間的變化規(guī)律，明確的將腐蝕過程分成裂紋萌生，裂紋擴展和鋼筋失效3個階段。G.DRUMMOND等[3]在拉索的疲勞試驗中采用聲發(fā)射監(jiān)測，認(rèn)為疲勞試驗中聲發(fā)射能量和幅值是最有效的參數(shù)，并且指出，聲發(fā)射信號的衰減并不是很嚴(yán)重，超過30 m范圍信號也可以被探測到。T.M.ROBERTS等[4]參照裂紋擴展率的理論公式，建立了過閾值聲發(fā)射累計能量與應(yīng)力強度因子之間的關(guān)系式。錢驥等[5-6]開展了單根鋼絲及拉索內(nèi)部鋼絲破斷的聲發(fā)射全波形特征，并與摩擦、撞擊等損傷源進(jìn)行了對比分析。眾多研究成果表明，聲發(fā)射波形充分?jǐn)y帶了損傷源特征，但是，在經(jīng)過了一段距離的傳播衰減和模式變換之后，是否還能充分表現(xiàn)損傷源的特征卻存在疑問，目前針對該問題的研究相對較少[7-9]。滿足實橋應(yīng)用的拉索聲發(fā)射監(jiān)測系統(tǒng)不僅需要知道不同損傷源的特征信息，還應(yīng)該考慮到彈性波從損傷源傳播到傳感器的變化規(guī)律，以保證實測波形攜帶源特征的真實性和有效性。

以拉索內(nèi)單根高強鋼絲為研究對象，探討彈性波在傳播過程中的模式識別和分離方法。首先通過數(shù)值求解細(xì)長圓柱體頻率方程，得到5 mm直徑高強鋼絲內(nèi)縱波、扭轉(zhuǎn)波及彎曲波理論頻率-波數(shù)圖；再由有限元模擬彈性波在高強鋼絲內(nèi)的傳播過程，獲得不同時刻鋼絲應(yīng)力云圖及各節(jié)點振動時程曲線，并采用二維傅立葉變換將各節(jié)點時域信號從時間-空間域轉(zhuǎn)換到頻率-波數(shù)域，從而實現(xiàn)耦合波形的模式識別與分離。

1 柱波導(dǎo)理論及數(shù)值求解

波在各向同性彈性固體中的傳播是一個典型的動力學(xué)問題，根據(jù)牛頓第二定律和廣義胡克定律，建立不考慮體力的微元運動方程[10]：

(1)

(2)

(3)

通過引入目標(biāo)結(jié)構(gòu)的邊界條件和激勵源可對式(1)～式(3)進(jìn)行求解，從而獲得結(jié)構(gòu)各點的位移時程。通常情況下，結(jié)構(gòu)形式越復(fù)雜，幾何形狀越不規(guī)則，波動方程邊界條件越難以確定。目前獲得的解析解主要是平板、圓柱、空心圓管等規(guī)則構(gòu)件。

橋梁拉索內(nèi)部高強鋼絲可考慮為細(xì)長圓柱體，通過將笛卡爾坐標(biāo)系下運動方程(1)～運動方程(3)轉(zhuǎn)換到柱坐標(biāo)系，可得：

(4)

(5)

(6)

式中：φ是柱坐標(biāo)下的體積不變量；ωr,ωθ,ωz代表旋轉(zhuǎn)矢量的3個分量。

式(4)～式(6)的求解需要給定邊界條件和激勵輸入，對于高強鋼絲這類細(xì)長圓柱體而言，其傳播模式包含縱波、扭轉(zhuǎn)波和彎曲波，假設(shè)鋼絲表面應(yīng)力分量為σrr,σrz,σrθ，以應(yīng)力表示的邊界條件為

縱波：σrr=σrz=0 (r=a)

(7)

扭轉(zhuǎn)波：σrr=σrz=σrθ=0 (r=a)

(8)

彎曲波：σrr=σrz=σrθ=0 (r=a)

(9)

根據(jù)邊界條件式(7)～(9)可求得3種不同模式波的特征方程如式(10)～(12)，而位移場的求解則還需要附加特定的激勵源。

(10)

(βa)J0(βa)-2J1(βa)=0

(11)

(12)

3個頻率方程均為超越方程，采用牛頓下山法由MATLAB編程求解可得到f-k曲線，如圖1。

圖1 不同模式波理論頻率-波數(shù)曲線Fig.1 Theoretical frequency-wave number curve of different wave patterns

2 有限元模擬

如上文所言，波動方程的求解需要確定的激勵源，并且包含有多個模式。實測信號通常均是多模式的耦合結(jié)果，為能夠更清晰地分析波傳播過程特征，實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化，可進(jìn)行多模式耦合時程波形的模式分離。

采用有限元模擬三角形脈沖激勵源，通過提取鋼絲長度方向多點時程波形進(jìn)行二維傅立葉變換，得到頻率-波數(shù)域關(guān)系曲線，并與理論值進(jìn)行對比，最終由被分離的單一模式進(jìn)行二維傅里葉逆變換，從而實現(xiàn)復(fù)雜波形的信號解耦。

有限元模型中鋼絲長度L=300 mm、直徑D=5 mm，一端固定，一端自由，不考慮阻尼的影響，物理參數(shù)見表1。

表1 高強鋼絲材料參數(shù)Table 1 Parameters of high strength steel wire

彈性波在高強鋼絲中傳播包含3種模式，各模式及其不同階模態(tài)所包含的能量比例取決于激勵荷載的位置、方向及頻率。文中采用自由端截面中心激勵三角形脈沖模擬聲發(fā)射源，荷載表達(dá)式為F(t)=Fx(t)i+Fy(t)j+Fz(t)k，其中Fx(t)=Fy(t)=Fz(t)。脈沖荷載持續(xù)時間為2 μs，荷載結(jié)束后持續(xù)198 μs以模擬彈性波在鋼絲中的傳播過程，如圖3。

圖2 高強鋼絲有限元計算模型Fig.2 Finite element calculation model of high strength steel wire

圖3 激勵荷載Fig.3 Excitation load

根據(jù)有限元計算結(jié)果，提取不同時刻鋼絲應(yīng)力云圖如圖4。

圖4 高強鋼絲應(yīng)力云圖Fig.4 Stress contour of high strength steel wire

從圖中可以看到，彈性波從自由端傳播到固定端經(jīng)歷60 μs，之后開始出現(xiàn)反射波，并與之前的波形發(fā)生重疊，最終在鋼絲內(nèi)部形成多次反射的疊加，形成穩(wěn)定的導(dǎo)波。高強鋼絲的Mises應(yīng)力云圖疏密相間，體現(xiàn)的是縱波模態(tài)，而產(chǎn)生不均勻的疏密相間，是由于彎曲波的耦合影響。

3 基于二維傅立葉變換的模式分離

通過單根鋼絲彈性波傳播有限元計算應(yīng)力云圖，可以清晰看到波的傳播過程，但各節(jié)點時程波形均是多模式耦合的復(fù)雜波形，無法知道其中包含有哪些模式波。

因此，考慮采用二維傅立葉變換，將由沿鋼絲縱向一系列節(jié)點振動波形組成的時域-空間域二維矩陣轉(zhuǎn)換到頻率-波數(shù)域，從而獲得與理論頻率方程相對應(yīng)的頻率-波數(shù)圖。

二維傅立葉變換可按式(13)進(jìn)行：

H(k,f)=?u(x,t)e-i(ωt+kz)dxdt

(13)

式中：u(x,t)為鋼絲表面各點加速度時程信號，

離散二維傅立葉變換的定義與Newland[12]給出的一維離散傅立葉變換相似，其變換的結(jié)果是各個離散的頻率點和波數(shù)點的二維幅值序列。二維傅立葉變換的實現(xiàn)過程是對每一個監(jiān)測位置時程信號進(jìn)行傅立葉變換，得到每一位置的頻率譜。在這個階段，每一位置的譜信息用列矩陣表示，將這些列矩陣組成一個陣列，則給定頻率處的元素形成的行向量的空間傅立葉變換給出了頻率-波數(shù)-幅值信息。將幅值投影在頻率-波數(shù)平面上，就可以得到頻率-波數(shù)圖。

通過ABAQUS/Explicit的有限元計算結(jié)果，可以得到高強鋼絲任意節(jié)點各個方向的位移、速度和加速度等時程信號。首先提取高強鋼絲外表面節(jié)點的加速度時程a(z,t)，然后選用中間500個節(jié)點(距離聲發(fā)射源25～275mm，相鄰節(jié)點間隔0.5mm)的時程信號，通過2D-FFT，得到高強鋼絲有限元分析頻率-波數(shù)圖，如圖5。圖5(a)、圖5(b)和圖5(c)分別為 x，y 和z方向加速度的2D-FFT變換結(jié)果。

圖5 加速度的2D-FFTFig.5 The 2D-FFT of acceleration

前文已通過數(shù)值方法求解頻率方程，獲得了不同模式波的理論頻率-波數(shù)圖。圖1為頻率0～1 MHz和波數(shù)0～200 m-1范圍的各階模態(tài)的理論頻率-波數(shù)曲線，由于激勵源沒有激發(fā)圓周方向的扭轉(zhuǎn)波，此處只給出縱波(L)和彎曲波(F)前3階的理論頻率-波數(shù)曲線。比較5 mm直徑高強鋼絲的理論頻率-波數(shù)曲線與二維傅立葉變換結(jié)果如圖6，其中，圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)分別為x，y和z3個方向。

圖6 有限元解與理論曲線比較Fig.6 Comparison between finite element solution and theoretical curve

從圖6可看到，由節(jié)點3個方向的加速度時程所計算的頻率-波數(shù)圖，均與理論頻率-波數(shù)圖存在對應(yīng)曲線，且二者吻合良好。這說明采用有限元模擬彈性波傳播過程是可行的，同時也說明采用二維傅立葉變換可以實現(xiàn)耦合波形的模式識別和分離。

彈性波在3個方向均只被激起低階模式，均包含有1階和2階彎曲波，差異在于x方向激起了3階彎曲波，而y,z方向激起了1階縱波，這取決于激勵荷載的方向、頻率等參數(shù)。

圖6可以在頻率-波數(shù)域進(jìn)行不同模式波的識別和分離，而時域-空間域波形的分離則需要進(jìn)一步借助二維濾波方法，通過提取圖6中某一模式波的二維頻率-波數(shù)矩陣，簡單進(jìn)行二維傅立葉逆變換即可得到單一模式的時域波形。

4 結(jié) 論

采用有限元模擬了彈性波在高強鋼絲中的傳播過程。通過提取鋼絲長度方向一系列空間節(jié)點時程波形，由二維傅立葉變換實現(xiàn)了耦合波形的模式分離，從而實現(xiàn)了復(fù)雜問題簡單化，有如下結(jié)論：

1)采用有限元能夠準(zhǔn)確地模擬彈性波在高強鋼絲中的傳播過程。不同時刻應(yīng)力云圖清晰反映了波在鋼絲內(nèi)的反射及疊加效應(yīng)。基于有限元計算結(jié)果的頻率-波數(shù)圖與理論值完全吻合。

2)通過提取不同空間位置節(jié)點的振動時程曲線，進(jìn)行時間-空間域二維傅立葉變換，可以獲得清晰的頻率-波數(shù)圖，且均在理論頻率-波數(shù)圖中存在對應(yīng)曲線。說明采用二維傅立葉變換可以有效的進(jìn)行圓桿彈性波模式識別及分離。

3)彈性波在節(jié)點3個方向所表現(xiàn)的模式存在差異，取決于激勵荷載的方向、頻率等參數(shù)，通常情況下，只能激起有限的幾次低階波。

[1] 袁振明, 馬羽寬. 聲發(fā)射技術(shù)及其應(yīng)用[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社,1984. YUAN Zhenming, MAO Yukuan.AcousticEmissionTechnologyandApplication[M]. Beijing: China Machine Press,1984.

[2] RAMADAN S, GAILLET L, TESSIER C,et al. Detection of stress corrosion cracking of high-strength steel used in prestressed concrete structures by acoustic emission technique[J].AppliedSurfaceScience,2008,254(8):2255-2261.

[3] DRUMMOND G, WATSON J F, ACARNLEY P P. Acoustic emission from wire ropes during proof load and fatigue testing[J].Ndt&EInternational, 2007,40(1):94-101.

[4] ROBERTS T M, TALEBZADEH M. Acoustic emission monitoring of fatigue crack propagation[J].JournalofConstructionalSteelResearch,2003, 59(6):695-712.

[5] 錢驥, 孫利民, 蔣永. 拉索應(yīng)力波傳播速度與能量衰減特性試驗研究[J]. 同濟大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,41(11):1618-1622. QIAN Ji, SUN Limin, JIANG Yong. Experimental study on wave velocity and energy attenuation in cables[J].JournalofTongjiUniversity(NaturalScience), 2013, 41(11):1618-1622.

[6] 錢驥, 孫利民, 蔣永. 高強鋼絲斷裂聲發(fā)射試驗研究[J]. 振動與沖擊,2014,33(4):54-59. QIAN Ji, SUN Limin, JIANG Yong. Acoustic emission tests for high-strength wire breakage[J].JournalofVibrationandShock, 2014,33(4):54-59.

[7] BALTAZAR A, HERNANDEZ-SALAZAR C D, MANZANARES-MARTINEZ B. Study of wave propagation in a multiwire cable to determine structural damage[J].Ndt&EInternational, 2010, 43(8): 726-732.

[8] BARTOLI I, SALAMONE S, PHILLIPS R, et al. Use of interwire ultrasonic leakage to quantify loss of prestress in multiwiretendons[J].JournalofEngineeringMechanics, 2011, 137(5): 324-333.

[9] SALAMONE S, BARTOLI I, PHILLIPS R, et al. Health monitoring of prestressing tendons in posttensioned concrete bridges[J].TransportationResearchRecord:JournaloftheTransportationResearchBoard, 2011, 2220(1): 21-27.

[10] J. L.羅斯. 固體中的超聲波[M]. 何存富,譯.北京: 科學(xué)出版社, 2004. ROSE J L.UltrasonicWavesinSolidMedia[M].HE Cunfu,transl. Bejing: Science Press,2004.

[11] DATTA D, KISHORE N N. Features of ultrasonic wave propagation to identify defects in composite materials modelled by finite element method[J].Ndt&EInternational,1996, 29(4): 213-223.

[12] NEWLAND D E. An introduction to random vibrations and spectral analysis[J].Longman, 1975,108(2):140-147.

Pattern Recognition and Separation of Elastic Wave Propagating in Circular Rod Based on Two-dimension Fourier Transform

QIAN Ji1，CHEN Xin1，ZHU Hanrong2

(1.School of Civil Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，P.R.China；2. Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，P.R.China)

The process of sound-transmitted elastic wave propagating in high strength steel wire was simulated by finite element method. By picking the vibration time history curves of different position nodes to form a two-dimensional amplitude sequence, the contour map of frequency-wave number was obtained by the two-dimension Fourier transform, and compared with the theoretical value finally. The results show that the finite element method can accurately simulate the propagation of elastic wave in high strength steel wire, and the stress cloud images at different propagation time clearly reflect the reflection and superposition effect. Frequency-wave number map based on the two-dimensional Fourier transform is in good agreement with the theoretical value, which can be used to effectively recognize and separate the coupled waveform pattern, and thus simplify the complex problems.

bridge engineering;acoustic emission(AE)；round bar；elastic wave；pattern separation；two-dimension Fourier transform

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.04.01

2016-01-25；

2016-03-21

國家自然科學(xué)基金項目(51408090, 51478347)；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計劃項目(cstc2014jcyjA0947)

錢 驥(1983—)，男，湖北浠水人，講師，博士，主要從事橋梁健康監(jiān)測與振動控制方面的研究。E-mail：jiqian228@126.com。

U446.1

A

1674-0696(2016)04-001-05