具有年齡階段的離散SCIRS模型在我國(guó)流腦中的應(yīng)用?

馬 霞,周義倉(cāng)

(1-太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，太原 030008;2-西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710049)

1 引言

流行性腦脊髓膜炎(流腦)是世界性流行病，它是一個(gè)重要的公共衛(wèi)生問(wèn)題．據(jù)估計(jì)，全世界大約每年有120萬(wàn)人被感染，135000人死亡[1]．因其發(fā)病率及病死率高被人們所關(guān)注．全世界每年發(fā)生30萬(wàn)至35萬(wàn)流腦病例，各大洲發(fā)病率在1/10萬(wàn)至10/10萬(wàn)，總病死率在5%～10%[2]．流腦被發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)已超過(guò)100多年，盡管對(duì)此病現(xiàn)在有些有效的預(yù)防與治療措施，但它仍是一種常見(jiàn)的急性傳染病，而且病死率高，繼續(xù)威脅著人類，尤其是兒童的身體健康[3]．大約10%的人在鼻咽部攜帶腦膜炎球菌，腦膜炎球菌在青少年和年輕的成年人中比較流行，嬰幼兒很少攜帶，然而侵入性腦膜炎在嬰幼兒中比較常見(jiàn)．

由于我國(guó)在推廣腦膜炎球菌多糖疫苗(MPV)接種前，每3～5年發(fā)生一次小流行，發(fā)病率為10/10萬(wàn)～50/10萬(wàn)；每8～10年發(fā)生一次大流行，發(fā)病率可高達(dá)100/10萬(wàn)～500/10萬(wàn)[2]．現(xiàn)行的A群、C群MPV對(duì)大年齡兒童和成人的免疫持久性不長(zhǎng)，對(duì)嬰幼兒的保護(hù)效果差，且覆蓋率不高，所以常出現(xiàn)局部爆發(fā)[4]；目前按照國(guó)家擴(kuò)大免疫規(guī)劃疫苗接種程序的規(guī)定，6月齡起即可接種A群流腦疫苗，如果提高A群流腦疫苗的及時(shí)接種率，使更多的低月齡兒童及時(shí)獲得免疫，可以進(jìn)一步降低6月齡以上的低月齡兒童的流腦發(fā)病率[5]．近期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)表明，疫苗應(yīng)對(duì)攜帶者的保護(hù)期可持續(xù)3～10年，群體免疫的影響可持續(xù)更長(zhǎng)的時(shí)間[6]．因此，我們的模型中將考慮疫苗因素對(duì)流腦傳播的影響．

由于接種疫苗不能阻止攜帶者攜帶腦膜炎奈瑟菌，但是它能刺激產(chǎn)生群體免疫進(jìn)而減少疾病的爆發(fā)，而MCC疫苗被證明能顯著減少鼻咽部腦膜炎球菌的攜帶[7]，疫苗刺激產(chǎn)生的群體免疫對(duì)腦膜炎疾病的爆發(fā)率有很大的影響．隨著年齡的增加，攜帶者產(chǎn)生的免疫能減少發(fā)病的風(fēng)險(xiǎn)[8]．因此，我們的模型考慮對(duì)青少年期進(jìn)行疫苗補(bǔ)種來(lái)提高群體的免疫力．根據(jù)流腦的傳播機(jī)理和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，嬰幼兒期感染腦膜炎奈瑟菌發(fā)病和死亡的機(jī)率比較大．不同年齡階段的個(gè)體，感染腦膜炎奈瑟菌的機(jī)率是不一樣的，并且個(gè)體感染腦膜炎奈瑟菌后，感染時(shí)間的長(zhǎng)短也會(huì)導(dǎo)致個(gè)體的發(fā)病情況不同，流腦的攜帶時(shí)間也是因人而異的，僅僅一小部分?jǐn)y帶者發(fā)展成為侵襲性的染病者、不同年齡段、不同感染年齡段的個(gè)體、從攜帶潛伏期發(fā)展為染病者的情況也是不同的．因此，我們會(huì)在模型中引入年齡結(jié)構(gòu)這個(gè)因素，希望利用具有年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型來(lái)更好的探討疾病的傳播機(jī)制．

目前關(guān)于離散動(dòng)力系統(tǒng)方面的知識(shí)還不完備，使得對(duì)一般自治的離散傳染病模型的動(dòng)力學(xué)研究相對(duì)比較困難，對(duì)年齡結(jié)構(gòu)的離散模型的研究更加困難．文獻(xiàn)[9]中討論了一類具有年齡結(jié)構(gòu)和移民因素的離散SIS傳染病模型的全局穩(wěn)定性態(tài)．也有學(xué)者針對(duì)水痘和帶狀皰疹建立具有年齡結(jié)構(gòu)的離散模型，研究不同控制策略對(duì)于疾病傳播的影響．文中將研究具有年齡階段、免疫接種的離散SCIRS模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，并用模型來(lái)預(yù)測(cè)分析我國(guó)流腦的流行傳播規(guī)律．

2 模型的描述

針對(duì)流腦的流行特征，為區(qū)分不同年齡段攜帶者和染病者的不同比例，將人群劃分為三個(gè)年齡階段，第一階段(0～4歲)，第二階段(5～14歲)和第三階段(15歲以上)，用N1,N2,N3分別表示三個(gè)階段的總?cè)丝跀?shù)量，在每個(gè)階段中，將人口劃分為4個(gè)倉(cāng)室，易感者Si，攜帶者Ci，染病者Ii和免疫者Ri，其中i=1,2,3．假設(shè)攜帶者Ci和染病者Ii都具有傳染性，用ε(0<ε<1)表示Ci相對(duì)于Ii的傳染力，不考慮交叉感染，當(dāng)一個(gè)易感者被攜帶者和染病者感染后，隨之進(jìn)入到攜帶者倉(cāng)室，在攜帶期有兩種情況出現(xiàn)，若宿主自身免疫系統(tǒng)不能清除體內(nèi)病毒，以比例ai(i=1,2,3)發(fā)展為染病者．若宿主自身免疫系統(tǒng)能清除體內(nèi)病毒，攜帶者將失去攜帶以比例αi(i=1,2,3)轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒撸豢紤]母嬰垂直傳染，假設(shè)新生兒的免疫失敗率相同都為p，k1為對(duì)5～14歲易感者突擊接種的有效率，k2對(duì)5～14歲攜帶者突擊接種的有效率，染病者的恢復(fù)率為γ，隨著免疫的消退，免疫者會(huì)以一定比例φi(i=1,2,3)失去免疫回到易感者類．μi(i=1,2,3)為自然死亡率，δi(i=1,2,3)為因病死亡率．Λ表示人口的常數(shù)輸入，u1,u2分別表示從第一階段到第二階段和從第二階段到第三階段的轉(zhuǎn)移率．圖1給出了流腦傳播流行的框圖，利用以上的記號(hào)和假設(shè)，建立具有三個(gè)年齡階段的流腦傳播模型如下：

圖1:具有三個(gè)年齡階段的流腦流行傳播轉(zhuǎn)換圖

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，我們給出下面的條件

把模型(1)中的方程分別相加，可得t時(shí)刻總?cè)丝贜i(t)滿足

考慮輔助系統(tǒng)

由上述方程組可以得到

由文獻(xiàn)[10]中的比較定理可知，Ni(t)(i=1,2,3)是最終有界的，從而系統(tǒng)(1)的解在區(qū)間上全局存在．易驗(yàn)證區(qū)域

是系統(tǒng)(1)的完備的正不變集，從?中出發(fā)的解始終停留在?中．

利用文獻(xiàn)[11,12]中再生矩陣的方法，可得系統(tǒng)(1)的基本再生數(shù)f R0= ρ(F(I?T)?1)，即ρ(F(I?T)?1)表示矩陣F(I?T)?1的譜半徑，其中I是6階單位矩陣

這里

3 疾病的消亡與持續(xù)

疾病的消亡或持續(xù)是由模型(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的存在性決定的．下面的定理給出了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的存在性．

定理1 當(dāng)<1時(shí)，模型(1)僅存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)P0且是全局漸近穩(wěn)定的，疾病將會(huì)消亡．當(dāng)>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定，模型存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn)P?．

證明 模型(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處的雅克比矩陣為

我們考慮下面的方程

方程(3)的系數(shù)矩陣是

如果R01<1，通過(guò)計(jì)算可得ρ(A1)<1．由文獻(xiàn)[13]中的定理6.1.3可知，方程(3)的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，即

同理，可得

4 SCIRS模型在我國(guó)流腦傳播中的應(yīng)用

前面給出了SCIRS模型的理論結(jié)果，下面我們把模型應(yīng)用到我國(guó)流腦流行傳播中．基于我國(guó)法定報(bào)告的流腦流行的數(shù)據(jù)，分析預(yù)測(cè)流腦在我國(guó)人群中的發(fā)展趨勢(shì)．進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，所有參數(shù)的選擇以天為單位，2006～2012年我國(guó)人口的平均出生率為12/1000，平均死亡率為7.06/1000[14,15]，取常數(shù)輸入Λ=44054，0～4歲人群的平均死亡率為3.56/1000，5～14歲人群的平均死亡率為0.406/1000，15歲以上人群的平均死亡率為6.85/1000[14,15]．因此，μ1=0.00000975,μ2=0.00000111,μ3=0.00001877．假定新生兒的免疫失敗率為p=0.44，Ci相對(duì)于Ii的傳染力ε=0.7．根據(jù)法定傳染病報(bào)告的數(shù)據(jù)可得，2006～2011年腦膜炎患者平均每年因病死亡率為10.48%[16]，平均每天的因病死亡率為0.0002874，根據(jù)文獻(xiàn)[16,17]，我們分別取δ1=0.0004704,δ2=0.0001222,δ3=0.0002175．由文獻(xiàn)[18]可知，腦膜炎的平均攜帶時(shí)間為1周至1年，假設(shè)第一階段、第二階段、第三階段的攜帶時(shí)間分別為三個(gè)月、四個(gè)月、六個(gè)月，因此，α1=0.0111,α2=0.00833,α3=0.00555．由于攜帶者中只有很少一部分會(huì)發(fā)展為染病者，攜帶者失去攜帶和發(fā)展為染病者的比率一般大于100:1，通常αi>ai[19]，考慮到0～4歲人群患病率比較大，取a1=0.000111,a2=0.0000833,a3=0.0000555，染病者的恢復(fù)期為一周[18]，即γ=0.1428．假設(shè)對(duì)第二階段的易感者每年以30%的比例突擊接種，攜帶者以20%的比例突擊接種，因此k1=0.0008219,k2=0.0005479，由文獻(xiàn)[20]知，第一階段人群計(jì)劃接種疫苗的保護(hù)期為5年，第二階段人群突擊接種疫苗的保護(hù)期為10年，第三階段人群的免疫保護(hù)期為15年，所以φ1=0.0005479,φ2=0.000274,φ3=0.0001826．每天從第一階段到第二階段和從第二階段到第三階段的轉(zhuǎn)移率u1=0.0005479,u2=0.000274．采用文獻(xiàn)[21]中參數(shù)估計(jì)的方法，我們?nèi)ˇ?=0.01648,β2=0.01048,β3=0.00748．模擬時(shí)，以2006年1月1日的數(shù)據(jù)為初始值，根據(jù)統(tǒng)計(jì)年鑒[14,15]中的我國(guó)人口的數(shù)據(jù)可知，2006年我國(guó)總?cè)丝跀?shù)量為N(1)=1314945975，0～4歲人群總數(shù)量為N1(1)=66765160，5～14歲人群總數(shù)量為N2(1)=176101433，15歲以上的人群總數(shù)量為N3(1)=1072079382．由法定傳染病報(bào)告的數(shù)據(jù)[16]可知，2006年全年新發(fā)腦膜炎病例數(shù)為1816例，因此，我們可直接計(jì)算2006年1月1日染病者總?cè)藬?shù)大約為I(1)=1816÷365÷γ≈35，由文獻(xiàn)[17]中流腦病人的年齡構(gòu)成可推知I1(1)=12,I2(1)=10,I3(1)=13．第一階段攜帶者人數(shù)為C1(1)=I1(1)×γ÷a1=15428，第二階段攜帶者人數(shù)為C2(1)=I2(1)×γ÷a2=17142，第三階段攜帶者人數(shù)為C3(1)=I3(1)×γ÷a3=33428．假定第一階段流腦病人的平均年齡為1歲，第二階段流腦病人的平均年齡為8歲，第一階段恢復(fù)者人數(shù)為

當(dāng)參數(shù)和初始值選定后，我們用上述三個(gè)年齡階段的SCIRS模型來(lái)模擬我國(guó)2006～2020年流腦的發(fā)病情況．模擬結(jié)果如圖2所示，圖2(a)預(yù)測(cè)的是2006～2020年每天總?cè)巳褐械囊赘姓逽的數(shù)量，開(kāi)始有下降趨勢(shì)，最后基本趨于平衡狀態(tài)，由于考慮到對(duì)第二階段人群每年以一定比例進(jìn)行突擊接種，有部分易感者接種直接進(jìn)入恢復(fù)者倉(cāng)室，因此，易感者的數(shù)量開(kāi)始會(huì)緩慢減少，最后趨于平衡狀態(tài)．圖2(b)預(yù)測(cè)的是2006～2020年每天總?cè)巳褐械娜静≌逫的數(shù)量，有下降的趨勢(shì)，開(kāi)始下降的快，最后趨于平緩但不等于0．圖2(c)是預(yù)測(cè)的2006～2020年每天總?cè)巳褐械臄y帶者C的數(shù)量．圖2(d)中的曲線是模擬的2006～2020年每年新發(fā)病的流腦病例，折線上的星號(hào)代表2006～2013年每年我國(guó)法定傳染病報(bào)道的流腦病例數(shù)[16]．?dāng)?shù)值模擬的結(jié)果和法定報(bào)告的傳染病數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比可知，該模型可以用來(lái)預(yù)測(cè)我國(guó)流腦的流行發(fā)病情況．

5 基本再生數(shù)關(guān)于參數(shù)的敏感性分析

由于數(shù)值模擬中所采用的參數(shù)大部分是不確定的，并且這些參數(shù)直接影響到f R0的大小，因此，有必要對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行不確定性和敏感性分析，從而找出起決定作用的參數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證模型的正確性．這里我們?cè)贚HS基礎(chǔ)上給出一些參數(shù)的PRCC值，有關(guān)LHS和PRCC的詳細(xì)介紹見(jiàn)文獻(xiàn)[22]，我們抽取的樣本大小為N=3000，除去Λ,γ,ε,δi,μi,ui以外的所有參數(shù)作為輸入變量，f R0的大小為輸出變量，其中各參數(shù)的初始值和數(shù)值模擬中的參數(shù)值一致，取值范圍服從[0,1]上的均勻分布，由參數(shù)和其PRCC值的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，均為單調(diào)的，故PRCC方法適用．圖3給出了f R0關(guān)于參數(shù)的敏感性分析及一些參數(shù)的PRCC值，由圖可知參數(shù)p,φ1,φ2,φ3,k1不敏感，對(duì)f R0的影響均不大，β1,β2,β3,a1,a2,a3與基本再生數(shù)f R0正相關(guān)，α1,α2,α3,γ,k2與基本再生數(shù)呈負(fù)相關(guān)，這完全符合我們的期望．感染率對(duì)f R0的大小起決定性作用，感染率越大，會(huì)使疾病的蔓延越快，攜帶者的發(fā)病率越高，也會(huì)提高疾病的蔓延速度，攜帶者失去攜帶的比例越大，會(huì)降低發(fā)病的比率，減少疾病的蔓延，由于k1對(duì)f R0不敏感，因此，擴(kuò)大對(duì)攜帶者補(bǔ)種接種的比例比擴(kuò)大易感者補(bǔ)種接種更有效，減小基本再生數(shù)可以首先從降低和控制這些參數(shù)來(lái)入手．我們可以通過(guò)監(jiān)測(cè)提高無(wú)癥狀的攜帶者的發(fā)現(xiàn)率，擴(kuò)大免疫接種，減少染病者的高危行為，對(duì)于控制疾病有重要的意義．

6 考慮季節(jié)因素的三個(gè)年齡階段模型

由于季節(jié)性變化在很多傳染病中扮演著重要的作用，季節(jié)變化影響接觸率和出生率能最終導(dǎo)致復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為．針對(duì)我國(guó)報(bào)告的法定傳染病數(shù)據(jù)可知，流腦發(fā)病一般自每年的12月份開(kāi)始明顯上升，至次年的3月份達(dá)到高峰期，4月份發(fā)病開(kāi)始呈下降趨勢(shì)．流腦流行有明顯的季節(jié)性，無(wú)論流行年或散發(fā)年一般均在冬春季流行[3]．因此，在上述的年齡階段模型中可以考慮季節(jié)因素對(duì)流腦流行的影響，對(duì)于季節(jié)因素對(duì)流腦發(fā)病的影響，有一部分學(xué)者[23]認(rèn)為在干燥的冬春季節(jié)，傳染病通過(guò)空氣中的飛沫更容易傳播，導(dǎo)致攜帶者的數(shù)量增加進(jìn)而導(dǎo)致染病者的數(shù)量增加．也有學(xué)者[24]認(rèn)為在冬春季節(jié)，天氣干燥，塵土飛揚(yáng)可能損害鼻咽部位的粘膜屏障，使得無(wú)癥狀的攜帶者更容易轉(zhuǎn)變?yōu)槿静≌撸疄楸容^季節(jié)變化對(duì)疾病傳播速率以及疾病進(jìn)展速率的影響，我們考慮疾病的流行發(fā)病周期為一年，由于流腦發(fā)病高峰一般在2～4月份，因此，考慮的參數(shù)值在干旱的季節(jié)明顯比雨季高．用下面的周期表達(dá)式替換常數(shù)速率

圖3: 基本再生數(shù)f R0關(guān)于參數(shù)的敏感性分析

假設(shè)疾病的傳播速率β受季節(jié)因素的影響，而疾病進(jìn)展率a是常數(shù)時(shí)，取εβ=0.4，而其他參數(shù)的取值均不變，數(shù)值模擬結(jié)果如圖4所示，和圖2相比，可知S(t),I(t),C(t)的基本走向是一致，但是I(t),C(t)出現(xiàn)周期振蕩的現(xiàn)象，并且振幅隨時(shí)間逐漸減小，最后趨于平緩，說(shuō)明當(dāng)疾病的傳播速率受季節(jié)因素的影響時(shí)，對(duì)流腦的傳播和發(fā)病情況都產(chǎn)生很大的影響，這也驗(yàn)證了季節(jié)因素影響流腦發(fā)病的第一種假設(shè)．

假設(shè)疾病的傳播速率β是常數(shù)，而疾病的進(jìn)展率a受季節(jié)因素的影響，取εa=0.4，其他參數(shù)值和初始值的選取均不變，數(shù)值模擬結(jié)果如圖5所示．與圖2相比，很容易看出S(t),C(t)的變化不太明顯，I(t)出現(xiàn)周期振蕩的現(xiàn)象，開(kāi)始振蕩的劇烈，振幅隨時(shí)間逐漸減小，最后趨于平緩，說(shuō)明疾病的進(jìn)展速率受季節(jié)變化的影響時(shí)，對(duì)流腦發(fā)病有很大的影響，和季節(jié)因素影響的第二種觀點(diǎn)是一致的．與圖4對(duì)比，可知I(t)振蕩的幅度比較大，而C(t)沒(méi)有出現(xiàn)周期振蕩的現(xiàn)象．說(shuō)明疾病進(jìn)展率a受季節(jié)因素的影響時(shí)，對(duì)攜帶者C(t)的數(shù)量影響很小，而對(duì)染病者I(t)的數(shù)量影響很大．

假設(shè)疾病的傳播速率β和疾病的進(jìn)展率a同時(shí)受季節(jié)因素的影響，取εβ=0.4,εa=0.3，數(shù)值模擬結(jié)果如圖6所示，我們可以看出C(t),I(t)均出現(xiàn)周期振蕩的現(xiàn)象，而I(t)振蕩的幅度比較大，該結(jié)果和只考慮疾病的傳播速度β受季節(jié)因素的影響時(shí)模擬的結(jié)果是一致的．但是和圖4相比，I(t)振蕩的幅度較大，呈現(xiàn)出更明顯的季節(jié)現(xiàn)象．

圖4: 當(dāng)β受季節(jié)因素的影響時(shí)，2006～2020年我國(guó)流腦流行的情況

圖5: 當(dāng)a受季節(jié)因素的影響時(shí)，2006～2020年我國(guó)流腦流行的情況

為考慮εβ的靈敏度，令εa=0.3，分別取εβ=0.3,0.4,0.5，數(shù)值模擬結(jié)果如圖7所示，εβ越大，使得C(t),I(t)振蕩的幅度越大，呈現(xiàn)出更明顯的季節(jié)現(xiàn)象．取定εβ=0.4，讓?duì)臿變動(dòng)，分別取εa=0.3,0.4,0.5，數(shù)值模擬結(jié)果如圖8所示，εa越大，I(t)振蕩的幅度越大，和圖7相比，εa的變動(dòng)對(duì)染病者的數(shù)量影響較大．說(shuō)明季節(jié)因素對(duì)疾病進(jìn)展率a的影響大于疾病傳播速率β的影響，進(jìn)一步驗(yàn)證了季節(jié)因素對(duì)流腦的流行傳播影響觀點(diǎn)的第二種假設(shè)．說(shuō)明我們國(guó)家在干旱的季節(jié)，天氣干燥、塵土飛揚(yáng)可能損害鼻咽部位的粘膜屏障，使得無(wú)癥狀的攜帶者更容易轉(zhuǎn)變?yōu)槿静≌撸虼耍覀兛梢圆扇】刂拼胧p少易感者轉(zhuǎn)化為攜帶者的比率進(jìn)而控制攜帶者的數(shù)量，由于疫苗不能阻止攜帶者攜帶腦膜炎奈瑟菌，但它能刺激產(chǎn)生群體免疫進(jìn)而減少疾病的爆發(fā)，可提高免疫覆蓋率、接種率，必要時(shí)在流腦高發(fā)期可考慮開(kāi)展應(yīng)急接種．

圖7: 當(dāng)β和a同時(shí)受季節(jié)因素影響時(shí)，εβ的靈敏度

圖8: 當(dāng)β和a同時(shí)受季節(jié)因素影響時(shí)，εa的靈敏度

7 結(jié)論

文中考慮疫苗因素對(duì)流腦傳播的影響，分析了一類帶有年齡結(jié)構(gòu)的離散SCIRS模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)以及在我國(guó)流腦中的應(yīng)用．得到了模型的基本再生數(shù)，證明了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性．對(duì)于地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，由于模型自身的復(fù)雜性，這里沒(méi)有給出證明．其次，我們把模型應(yīng)用到我國(guó)流腦的傳播中，由于模型中很多參數(shù)是不確定的，對(duì)基本再生數(shù)作了關(guān)于參數(shù)的敏感性分析，得出有些參數(shù)對(duì)f R0的影響比較大，因此，我們可以控制這些參數(shù)的值來(lái)達(dá)到控制疾病的目的．最后，考慮了流腦發(fā)病的季節(jié)因素對(duì)模型加以改造，預(yù)測(cè)分析了我國(guó)流腦的發(fā)病情況，數(shù)值模擬的結(jié)果顯示季節(jié)因素對(duì)疾病進(jìn)展率影響的程度大于對(duì)疾病傳染率的影響，這也為控制流腦在我國(guó)的流行傳播提供了建議．

參考文獻(xiàn)：

[1]World Health Organisation.Epidemics of meningococcal disease of African meningitis[J].Weekly Epidemiological Record,2001,37(2):281-288

[2]耿貫一.流行病學(xué)(第2版)[M].北京：人民衛(wèi)生出版社，1996:618-639 Geng G Y.Epidemiology(2nd Edition)[M].Beijing:People’s Medical Publishing House,1996:618-639

[3]Hu X J.Epidemiological surveillance and prophylaxis of epidemic cerebrospinal meningitis[J].Chinese Academy of Preventive Medicine,2001,7(5):300-303

[4]胡緒敬.流行性腦脊髓膜炎流行的監(jiān)測(cè)與預(yù)防[J].中國(guó)公共衛(wèi)生，2004,20(5):638-640 Hu X J.Epidemiological surveillance and prophylaxis of meningococcal meningitis[J].Chinese Journal of Public Health,2004,20(5):638-640

[5]Li Y X,Luo H M,Li J H.The epidemiological characteristics of meningococcal meningitis of China in 2006-2007[J].Chinese Journal of Vaccines and Immunization,2008,14(3):234-237

[6]Thomas H L,Andrews N,Trotter C,et al.Meningococcal C booster not recommended by evidence[J].British Medical Journal,2008,337:a1139

[7]Maiden M C,Stuart J M.Carriage of serogroup C meningococci 1 year after meningococcal C conjugate polysaccharide vaccine[J].The Lancet,2002,359(9320):1829-1831

[8]Guzzetta G,Manfredi P,Gasparini R,et al.On the relationship between meningococcal transmission dynamics and disease:remarks on humoral immunity[J].Vaccine,2009,27(25):3429-3434

[9]Zhou Y,Ma Z.Global stability of a class of discrete age-structured SIS models with immigration[J].Mathematical Biosciences and Engineering,2009,6(2):409-425

[10]Elaydy S.An Introduction to Diff erence Equations[M].New York:Springer-Verlag,2004:204-255

[11]Diekmann O,Heesterbeek J A P,Metz J A J.On the defi nition and the computation of the basic reproduction ratio R0in models for infectious diseases in heterogeneous populations[J].Journal of Mathematical Biology,1990,28(4):365-382

[12]Allen L J S,van den Driessche P.The basic reproduction number in some discrete-time epidemic models[J].Journal of Diff erence Equations and Applications,2008,14(11):1127-1147

[13]Gil M I.Diff erence Equations in Normed Spaces:Stability and Oscillations[M].Amsterdam:Elsevier Science,2007

[14]National Bureau of Statistics of China.2006-2012 China Statistical Yearbook[M].Beijing:China Statistics Press,2012

[15]National Bureau of Statistics of China.China Population Census Data in 2010[M].Beijing:China Statistics Press,2010

[16]Chinese Center for Disease Control and Prevention.Yearly report on infectious disease in China[OL].http://www.chinacdc.cn/tjsj/fdcrbbg/index.html,2015-12-22

[17]Wang M,Li Y X,Li J H.The epidemiological characteristics of meningococcal meningitis of China in 2009-2010[J].Disease Surveillance,2012,27(6):435-438

[18]Irving T J,Blyuss K B,Colijn C,et al.Modelling meningococcal meningitis in the African meningitis belt[J].Epidemiology and Infection,2012,140(5):897-905

[19]Greenwood B.The changing face of meningococcal disease in West Africa[J].Epidemiology and Infection,2007,135(5):703-705

[20]Trotter C L,Edmunds W J.Reassessing the cost-eff ectiveness of meningococcal serogroup C conjugate(MCC)vaccines using a transmission dynamic model[J].Medical Decision Making,2006,26(1):38-47

[21]Zhou Y C,Khan K,Feng Z L,et al.Projection of tuberculosis incidence with increasing immigration trends[J].Journal of Theoretical Biology,2008,254(3):215-228

[22]Marino S,Hogue I B,Ray J C,et al.A methodology for performing global uncertainty and sensitivity analysis in systems biology[J].Journal of Theoretical Biology,2008,254(1):178-196

[23]Trotter C L,Greenwood B M.Meningococcal carriage in the African meningitis belt[J].Lancet Infectious Diseases,2007,7(12):797-803

[24]Moore P S.Meningococcal meningitis in sub-Saharan Africa:a model for the epidemic process[J].Clinical Infectious Diseases,1992,14(2):515-525

Received:18 Sep 2015. A ccep ted:29 July 2016.

Found ation item:The National Natural Science Foundation of China(11171267);the Technology Department Fund of Taiyuan Institute of Technology(2015LQ19);the International Development Research Center,Ottawa,Canada(104519-010).

Abstract:The dynamic characteristic of meningococcal meningitis SCIRS model with three age structures is studied.First,the basic reproduction numberis defi ned by using the regeneration matrix.It is proved that the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable when<1.The disease-free equilibrium is unstable,there exists an endemic equilibrium and the system is uniformly persistent when>1.Second,using the data from the report of notifi able infectious diseases in China,the model is applied to describe the spread of meningococcal meningitis in China.For the uncertainty of many parameters in the model,we make sensitivity analysis about the parameters of the basic reproductive number.Finally,we consider the infl uence of seasonal factors to the incidence of meningococcal meningitis to modify the model,and predict the meningococcal meningitis in population development trend of China.The numerical simulation results show that the impact of seasonal factors on the rate of disease progression of meningococcal meningitis is greater than the eff ect on infection rate,this also provides advice to control the spread of meningococcal meningitis in our country.

K eyword s:discrete model;age structure;meningococcal meningitis;basic reproduction number;sensitivity analysis