基于數(shù)值-解析法測(cè)量靜壓條件下阻尼材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)

陶　猛, 江　坤

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴陽(yáng)　550025)

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基于數(shù)值-解析法測(cè)量靜壓條件下阻尼材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)

陶猛, 江坤

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴陽(yáng)550025)

摘要：建立了一種測(cè)量靜壓條件下阻尼材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的數(shù)值-解析法。分別制作兩種空腔半徑不同的圓柱空腔覆蓋層樣品，測(cè)量?jī)煞N樣品在靜壓力下的復(fù)反射系數(shù);采用有限元法仿真靜壓力下的空腔結(jié)構(gòu)變形，在此基礎(chǔ)上同樣采用有限元法計(jì)算復(fù)反射系數(shù)。以實(shí)測(cè)復(fù)反射系數(shù)和計(jì)算復(fù)反射系數(shù)建立二元非線性方程組，利用牛頓迭代法求解方程組獲得復(fù)彈性模量和復(fù)泊松比等黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù);對(duì)聚氨酯材料制作的樣品進(jìn)行復(fù)反射系數(shù)測(cè)量，分析了靜壓力對(duì)聚氨酯材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的影響規(guī)律。測(cè)量了某不同結(jié)構(gòu)吸聲覆蓋層靜壓下的反射系數(shù)，并與采用實(shí)測(cè)材料參數(shù)計(jì)算的反射系數(shù)進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該方法的正確性。

關(guān)鍵詞：數(shù)值-解析法；靜水壓力；阻尼材料；動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)

黏彈性材料具有減振降噪的作用，在水聲工程[1]、高速列車[2]、航空航天[3]等方面得到了廣泛應(yīng)用。在水下航行器表面敷設(shè)以黏彈性材料為基體制作的聲學(xué)覆蓋層，能夠同時(shí)起到較好的吸聲及隔聲作用。要設(shè)計(jì)和預(yù)測(cè)聲學(xué)覆蓋層性能，就需知道準(zhǔn)確的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)。特別是聲學(xué)覆蓋層通常處于水下工作狀態(tài)，靜水壓力對(duì)聲學(xué)覆蓋層性能的影響顯得尤為突出[4]，而靜壓下的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)則是設(shè)計(jì)和預(yù)測(cè)聲學(xué)覆蓋層性能的關(guān)鍵參數(shù)。

常壓條件下測(cè)量黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)已有成熟的方法且還在不斷發(fā)展新的方法，但總的可以分為力學(xué)法和聲學(xué)法。力學(xué)法的基本原理是利用測(cè)量材料振動(dòng)特性計(jì)算其力學(xué)參數(shù)，例如振動(dòng)梁法[5-6]、激光測(cè)振法[7-8]等，這些方法通過(guò)加工不同的樣品以得到不同的變形模式，從而獲得復(fù)楊氏模量、復(fù)剪切模量等力學(xué)參數(shù)。雖然力學(xué)法相對(duì)簡(jiǎn)單，但還是存在測(cè)試頻段低、樣品制作要求高等局限性。聲學(xué)法通過(guò)測(cè)量聲學(xué)性能參數(shù)如反射系數(shù)和透射系數(shù)反演得到材料黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)的參數(shù)[9-10]，聲學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)測(cè)量頻率范圍可與機(jī)理研究同步。

靜壓條件下測(cè)量黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的方法已有開展。Guillot等基于波傳播理論和共振原理，利用激光測(cè)振手段測(cè)量了不同溫度、靜壓力條件下的橡膠復(fù)楊氏模量[11]，并在此基礎(chǔ)上建立了復(fù)體積模量的測(cè)試系統(tǒng)和方法[12]，盡管該方法可以獲得靜壓力下的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)，但需要2套系統(tǒng)才能分別獲得復(fù)楊氏模量和復(fù)體積模量，整個(gè)測(cè)試過(guò)程較復(fù)雜。黃修長(zhǎng)等[13]基于水聲聲管測(cè)量了不同靜壓力下橡膠材料的反射系數(shù)，并以此反演了黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)，但這個(gè)過(guò)程基于以下兩個(gè)近似：① 可采用等效復(fù)波數(shù)的近似解描述圓柱空腔覆蓋層中的黏彈性波傳播；② 根據(jù)樣品的硬度換算得到空腔結(jié)構(gòu)變形仿真計(jì)算的輸入?yún)?shù)，而這兩個(gè)近似均降低了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖1　靜壓下測(cè)量黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)流程圖Fig.1 Calculation flow chart of viscoelastic dynamic parameters under hydrostatic pressure

通過(guò)測(cè)空腔覆蓋層的反射系數(shù)，建立一種反演量靜壓條件下阻尼材料黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的數(shù)值-解析法，整個(gè)反演過(guò)程見圖1，其特點(diǎn)在于：① 空腔覆蓋層的反射系數(shù)通過(guò)有限元法計(jì)算獲得，對(duì)于空腔形狀并沒有嚴(yán)格限制；② 將新的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)與舊的比較，如果滿足收斂條件則獲得最終的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)，若不滿足則將其作為輸入?yún)?shù)重新計(jì)算空腔覆蓋層的結(jié)構(gòu)變形，進(jìn)而重復(fù)有限元計(jì)算過(guò)程并計(jì)算新的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)直至結(jié)果收斂。

1基于ANSYS的反射系數(shù)計(jì)算

黏彈性吸聲覆蓋層的結(jié)構(gòu)大多包含空腔結(jié)構(gòu)(圓柱型、球型等形狀)。圖2為一種典型的空腔吸聲覆蓋層，其特點(diǎn)是按正六邊形周期性地排列了兩段組合式圓柱空腔。由于空腔結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，可以只取其中的一個(gè)單元分析，即圖2中以雙點(diǎn)劃線所表示的正六面棱柱體。但是在有限元計(jì)算過(guò)程中，采用軸對(duì)稱單元相對(duì)于三維實(shí)體單元能大大縮減計(jì)算量，因此采用圓柱體模型代替正六面棱柱體模型以提高計(jì)算效率。

圖2　典型圓柱空腔覆蓋層及其單元結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of unit cell of a typical acousticcoating

采用ANSYS計(jì)算黏彈性空腔覆蓋層的反射系數(shù)時(shí)，需對(duì)黏彈性材料的損耗因子、無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界條件、覆蓋層與水介質(zhì)的流固耦合界面進(jìn)行合理設(shè)置。ANSYS沒有直接提供黏彈性材料損耗因子的輸入選項(xiàng)，由于計(jì)算反射系數(shù)時(shí)必須計(jì)及黏彈性材料的阻尼損耗，但在考慮到ANSYS中定義了Rayleigh阻尼，因此首先需建立ANSYS中阻尼輸入量與黏彈性材料損耗因子的關(guān)系。

(1)

式中：E0為彈性儲(chǔ)能模量，ηE為對(duì)應(yīng)的損耗因子。

采用ANSYS計(jì)算空腔覆蓋層的反射系數(shù)，需建立描述覆蓋層在平面波激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)微分方程。當(dāng)系統(tǒng)以頻率ω作穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)(包含時(shí)間因子e-jωt)，運(yùn)動(dòng)微分方程可寫成：

(K-jωD-ω2M)qT=fT

(2)

式中：Μ,D,K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，qT為節(jié)點(diǎn)的位移向量，fT為結(jié)構(gòu)所受激勵(lì)的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量。

與復(fù)彈性模量的表達(dá)類似，黏彈性材料的復(fù)剛度矩陣可用復(fù)數(shù)形式表示：

(3)

式中：η為對(duì)應(yīng)的損耗因子。

(K-jηK-ω2M)qT=fT

(4)

與式(2)比較，得到以剛度矩陣及其損耗因子表示的阻尼矩陣：

D=(η/ω)K

(5)

考慮到ANSYS定義了Rayleigh阻尼：

D=αM+βΚ

(6)

式中：α為質(zhì)量阻尼系數(shù);β為剛度阻尼系數(shù)。有了這兩個(gè)系數(shù)，系統(tǒng)的阻尼矩陣就可以根據(jù)式(6)獲得，進(jìn)而黏彈性材料的損耗因子就可以通過(guò)剛度阻尼系數(shù)表示：

β=η/ω

(7)

在ANSYS中，定義材料的剛度阻尼系數(shù)β可通過(guò)相應(yīng)的命令實(shí)現(xiàn)。

此外，由于平面波是從水介質(zhì)一側(cè)入射到吸聲覆蓋層，因此需要選擇吸聲覆蓋層-水介質(zhì)的接觸面并將其設(shè)置為耦合面以解決流固耦合問(wèn)題，以及通過(guò)設(shè)置水介質(zhì)區(qū)域的外邊界為聲學(xué)吸收邊界可以解決無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)反射的問(wèn)題。

當(dāng)計(jì)算完成后，提取吸聲覆蓋層的前端面(平面波入射一側(cè))上所有節(jié)點(diǎn)的聲壓p和法向振速vn，并根據(jù)式(8) 計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的輸入阻抗：

zf=p/vn

(8)

以及計(jì)算根據(jù)式(9) 計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的反射系數(shù)：

(9)

式中：z0為水介質(zhì)的特性阻抗。

最后，按照節(jié)點(diǎn)所占的表面積比例加權(quán)得到整個(gè)前端面的平均反射系數(shù)。

應(yīng)該指出的是，基于ANSYS的反射系數(shù)計(jì)算模型并不局限于圓柱空腔，同樣也適用于其他任何形狀的空腔結(jié)構(gòu)覆蓋層。

2黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)計(jì)算

(10)

(11)

(12)

其迭代公式為:

(13)

式中：

(14)

需要強(qiáng)調(diào)的是，文獻(xiàn)[15]給出了根據(jù)在脈沖管中測(cè)得的復(fù)反射系數(shù)計(jì)算被測(cè)材料的縱波聲速和衰減系數(shù)的迭代法計(jì)算公式，但是該迭代具有多值性問(wèn)題。同樣地，本節(jié)采用牛頓迭代法求解的二元非線性方程組也有多值性問(wèn)題，即對(duì)于不同的初始值會(huì)迭代出不同的結(jié)果。但是，計(jì)算結(jié)果表明若選取迭代初值為常壓下的復(fù)彈性模量和復(fù)泊松比，通常只需數(shù)次迭代就能滿足收斂條件，在此基礎(chǔ)上加以經(jīng)驗(yàn)判斷可獲得最終的計(jì)算結(jié)果。

此外，由于實(shí)際黏彈性材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)與頻率呈現(xiàn)明顯的相關(guān)性，因此上述過(guò)程需要在每一個(gè)離散的頻率點(diǎn)處都進(jìn)行以得到全面的測(cè)量結(jié)果。

3測(cè)量結(jié)果和分析

3.1靜壓作用于腔體的結(jié)構(gòu)變形仿真

進(jìn)行靜壓條件下的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)測(cè)量，首先要考慮空腔結(jié)構(gòu)在靜壓作用下的變形，然后將變形后的空腔幾何尺寸代入反射系數(shù)的有限元計(jì)算模型。計(jì)算空腔結(jié)構(gòu)變形需要輸入所有的材料參數(shù)，但是彈性模量和泊松比是通過(guò)測(cè)量計(jì)算獲得的，因此需要假設(shè)這兩個(gè)參數(shù)以完成靜壓下的變形計(jì)算。初始計(jì)算靜壓力下的空腔結(jié)構(gòu)變形時(shí)，假設(shè)聚氨酯材料的彈性模量60 MPa，泊松比0.48，密度通過(guò)測(cè)量為1 250 kg/m3，圓柱空腔半徑2 mm，覆蓋層厚度35 mm。

當(dāng)圓柱空腔覆蓋層受到3 MPa的靜壓力時(shí)，變形前后的覆蓋層單元結(jié)構(gòu)示意圖(見圖3)，變形主要為覆蓋層厚度減小和空腔半徑減小兩個(gè)方面。與未受壓狀態(tài)相比，封口薄層的變形程度較大，空腔結(jié)構(gòu)形狀不再是圓柱空腔，因此以受壓后的變形結(jié)果計(jì)算靜壓反射系數(shù)。第一次參數(shù)計(jì)算結(jié)束后，(見圖1)，將新的彈性模量和泊松比重新代入靜變形分析模型，計(jì)算該參數(shù)下的靜壓反射系數(shù)并與實(shí)驗(yàn)測(cè)試進(jìn)行比較，直至二者差值滿足設(shè)定的收斂條件。

3.2方法驗(yàn)證

本文中并未直接測(cè)量材料的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)，因此無(wú)法進(jìn)行直接的比對(duì)驗(yàn)證。但是為了驗(yàn)證該方法的正確性，利用上節(jié)獲得的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)材料參數(shù)，對(duì)以相同材料制作的、空腔半徑為3 mm的覆蓋層反射系數(shù)進(jìn)行了有限元計(jì)算，并與實(shí)際測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了比較。測(cè)試方法采用成熟的基于雙傳聲器(見圖4)的傳遞函數(shù)法[16]，測(cè)量過(guò)程中選擇的靜壓力分別為1 MPa、2 MPa和3 MPa。

比較結(jié)果見圖5，可以看出兩者符合良好，只是在個(gè)別頻點(diǎn)處稍有差異，原因可能是聲管經(jīng)過(guò)多次加壓釋壓操作之后，兩個(gè)水聽器的幅值一致性和相位一致性產(chǎn)生偏差，但這并不妨礙說(shuō)明該方法的可靠性。應(yīng)該指出的是，圖5中的計(jì)算結(jié)果和測(cè)量數(shù)據(jù)之間的差別應(yīng)是測(cè)試系統(tǒng)引起的誤差，從式(11)可以看出，如果反射系數(shù)測(cè)量不夠準(zhǔn)確，必然使參數(shù)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差，若能提高復(fù)反射系數(shù)測(cè)量的準(zhǔn)確性，黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)測(cè)量的準(zhǔn)確性肯定會(huì)進(jìn)一步提高。

圖3 靜壓力下單元結(jié)構(gòu)的變形圖Fig.3Deformationofcellunderhydrostaticpressure圖4 雙水聽器法測(cè)量示意圖Fig.4Schematicdiagramoftwo-hydrophonemeasuringsystem

圖5　靜壓下某聚氨酯覆蓋層吸聲系數(shù)的計(jì)算結(jié)果和測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.5 Simulated and measured reflection coefficients of polyurethane coating under hydrostatic pressure

3.3靜壓下黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)測(cè)量結(jié)果

圖6　靜壓下聚氨酯材料的彈性儲(chǔ)能模量Fig.6 Measured elastic storage modulus of polyurethane under hydrostatic pressure

圖6和圖7分別為靜壓下聚氨酯材料的彈性儲(chǔ)能模量及其損耗因子的測(cè)量結(jié)果，圖8和圖9分別為靜壓下復(fù)泊松比的實(shí)部及其損耗因子，復(fù)泊松比由ν=ν0(1-jην)表達(dá)，其中ν0和ην分別是復(fù)泊松比的實(shí)部和損耗因子。從圖6～圖9可以總結(jié)出如下幾點(diǎn)：

圖7　靜壓下聚氨酯材料的彈性模量損耗因子Fig.7 Measured loss factor of complex elastic modulus of polyurethane under hydrostatic pressure

圖8　靜壓下聚氨酯材料的復(fù)泊松比實(shí)部Fig.8 Measured real part of complex Poisson’s ratio of polyurethane under hydrostatic pressure

圖9　靜壓下聚氨酯材料的復(fù)泊松比損耗因子Fig.9 Measured loss factor of complex Poisson’s ratio of polyurethane under hydrostatic pressure

(1) 不同靜壓條件下，彈性儲(chǔ)能模量的數(shù)值變化不大，約在100～150 MPa的范圍內(nèi)，文獻(xiàn)[17]列出的聚氨酯材料的相關(guān)數(shù)值為200 MPa，說(shuō)明通過(guò)本方法獲得的彈性儲(chǔ)能模量數(shù)值量級(jí)上在聚氨酯材料的合理范圍內(nèi)。

(2) 靜壓值升高導(dǎo)致材料的致密性增加，因此彈性儲(chǔ)能模量及其損耗因子隨靜壓值升高分別呈現(xiàn)出增加和減小的特點(diǎn)。但是與橡膠類材料有較大不同，彈性儲(chǔ)能模量及其損耗因子在不同靜壓值條件下的差別不大，由于聚氨酯材料較硬，因而靜壓引起的材料致密性增加程度有限。

(3) 泊松比數(shù)值在不同靜壓值下的差別不大≈0.49，這與高分子材料的泊松比接近于0.5是符合的。泊松比損耗因子量級(jí)在10-3左右，這與Pritz的研究結(jié)果[18]類似，相對(duì)于復(fù)泊松比的實(shí)部來(lái)說(shuō)，其損耗因子可以忽略不計(jì)。

(4) 與初始假設(shè)的彈性模量和泊松比相比，最終測(cè)量計(jì)算得到的這兩個(gè)參數(shù)有較大差別，說(shuō)明反復(fù)迭代直至收斂獲得計(jì)算結(jié)果是必要的。

4結(jié)論

建立了一種測(cè)量靜壓條件下阻尼材料黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的數(shù)值-解析混合方法，該方法邏輯清晰、測(cè)量精度高，原則上對(duì)空腔形狀并無(wú)嚴(yán)格限制，并且測(cè)試頻率和壓力與聲學(xué)性能及機(jī)理研究的范圍同步。對(duì)聚氨酯覆蓋層進(jìn)行測(cè)量和分析發(fā)現(xiàn)，由于本次實(shí)驗(yàn)選擇的聚氨酯材料較硬，靜水壓力對(duì)聚氨酯材料的復(fù)彈性模量和復(fù)泊松比的影響都不大。通過(guò)黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的驗(yàn)證計(jì)算，指出提高參數(shù)測(cè)量精度的關(guān)鍵是保證靜壓下樣品復(fù)反射系數(shù)測(cè)量的準(zhǔn)確性。

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Dynamic parameters measurement of damping materials under hydrostatic pressure based on a hybrid numerical-analytical method

TAOMeng,JIANGKun(School of Mechanical Engineering, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

Abstract:For viscoelastic dynamic parameters measurement of damping materials under hydrostatic pressure, a hybrid numerical-analytical method was developed. Firstly, two different samples of sound absorption coatings containing cylindrical holes with two different radii were tested in order to obtain the two different measured complex reflection coefficients under hydrostatic pressure. Secondly, the complex reflection coefficients were calculated with FEM based on the structural deformation simulated with the FE method. Then, using the measured and the simulated complex reflection coefficients simultaneously, two nonlinear equations were established. Using Newton iteration method, the nonlinear equations were solved, the viscoelastic dynamic parameters including complex elastic modulus and complex Poisson’s ratio were obtained. Then, two samples made with polyurethane were tested in a water-filled acoustic-pipe, and the effects of hydrostatic pressure on the viscoelastic dynamic parameters were analyzed and summarized. Finally, the reflection coefficient of another different sound absorption coating tested under hydrostatic pressure was measured and compared with the simulated reflection coefficient calculated with the measured viscoelastic dynamic parameters, the correctness of the proposed method was verified.

Key words:numerical-analytical method; hydrostatic pressure; damping material; dynamic parameters

中圖分類號(hào):TB56

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.015

收稿日期：2014-09-23修改稿收到日期：2015-03-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51365007；11304050);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20135201120007);上海交通大學(xué)艦船設(shè)備噪聲與振動(dòng)控制技術(shù)重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室開放課題(VSN201301);貴州省教育廳優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才計(jì)劃(黔教合KY字[2014]246)

第一作者 陶猛 男，教授，1980年生