《勾股定理》教學(xué)案例與評(píng)析

?執(zhí)教者：哈爾濱市第四十九中學(xué)　　張宏偉?評(píng)析者：哈爾濱市香坊區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校李杰于妍秋

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《勾股定理》教學(xué)案例與評(píng)析

?執(zhí)教者：哈爾濱市第四十九中學(xué)張宏偉
?評(píng)析者：哈爾濱市香坊區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校李杰于妍秋

（此課為全國2015生命化教育“大問題”教學(xué)研討會(huì)觀摩課。）

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

《勾股定理》選自人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（五·四學(xué)制）《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊第24章第1節(jié)第1課時(shí).下面我將從內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標(biāo)和目標(biāo)解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四個(gè)方面，闡述我這節(jié)課的設(shè)計(jì)思路．

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

勾股定理的探索及簡單應(yīng)用.

2.內(nèi)容解析

勾股定理是初等幾何中最重要的定理之一.它揭示了直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的一條重要性質(zhì).它可以用來解決許多直角三角形中的計(jì)算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一.勾股定理把形和數(shù)密切聯(lián)系在一起，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論中占有重要的地位，不僅是平面幾何中的重要定理，而且是三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)等的理論基礎(chǔ)，在生產(chǎn)生活和其他自然科學(xué)中也有廣泛應(yīng)用.

對勾股定理的探究從特殊的等腰直角三角形入手，再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探究過程和研究方法.證明勾股定理的關(guān)鍵是通過面積的割補(bǔ)，利用等面積法來建立等量關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)直角三角形三條邊的關(guān)系.

我國對勾股定理的研究早于其他國家，通過我國古代和國外勾股定理的研究成就介紹，培養(yǎng)學(xué)生的自信心，激發(fā)學(xué)生探究的欲望.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：用拼圖的方法探索勾股定理.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）能夠運(yùn)用面積法探索直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系；

（2）經(jīng)歷探索勾股定理的過程，感悟面積割補(bǔ)法的運(yùn)用，體驗(yàn)從特殊到一般的探究過程和研究方法、轉(zhuǎn)化的思想及數(shù)形結(jié)合的思想方法；

（3）簡單應(yīng)用勾股定理，已知直角三角形的兩邊，求第三邊.

2.目標(biāo)解析

前兩個(gè)目標(biāo)的達(dá)成是交融在一起的.由特殊的腰長為1的等腰直角三角形三邊關(guān)系的探究到兩條直角邊不相等的直角三角形三邊關(guān)系的探究，是特殊到一般的探究過程，能運(yùn)用已知數(shù)據(jù)和斜邊c分別表示同一圖形的面積，在探索的過程中，體會(huì)特殊到一般、具體到抽象的研究過程，在利用面積法拼圖的過程中感悟面積割補(bǔ)法的運(yùn)用及數(shù)形結(jié)合的思想.

目標(biāo)（3）須在得出勾股定理后，在對定理的進(jìn)一步理解中達(dá)成.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生運(yùn)用面積割補(bǔ)法解決“等腰直角三角形已知直角邊求斜邊的長”較為順利，但在解決“直角邊分別為1 和2，求斜邊的長”時(shí)，一定會(huì)出現(xiàn)困難，有必要利用合作學(xué)習(xí)來解決問題，引導(dǎo)學(xué)生尋找建立三邊關(guān)系的有效途徑，充分體會(huì)等面積法的應(yīng)用，從而為探究三邊分別為a、b、c的直角三角形的三邊關(guān)系奠定知識(shí)和方法基礎(chǔ).

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：探索直角邊分別為1和2的直角三角形的三條邊之間的關(guān)系.

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境

教學(xué)內(nèi)容：回顧曾經(jīng)研究的直角三角形具有哪些性質(zhì)，還想了解它的哪些方面.今天我們將專門研究直角三角形的三條邊具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，這在古代是個(gè)很難的問題，幾千年以前我國人民就對三邊關(guān)系有了一定的研究，三國時(shí)期趙爽發(fā)現(xiàn)了三邊的數(shù)量關(guān)系，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯也有所發(fā)現(xiàn)，并將其稱為畢達(dá)哥拉斯定理，而我國學(xué)者將三邊的數(shù)量關(guān)系稱為勾股定理.從古至今，勾股定理吸引廣大數(shù)學(xué)愛好者的不斷探索，大科學(xué)家愛因斯坦、美國總統(tǒng)加菲爾德也加入了研究的行列，大家想不想研究斜邊與這兩個(gè)直角邊究竟有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師提出問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使之產(chǎn)生進(jìn)一步探究新知的欲望.

環(huán)節(jié)二：探求新知

教學(xué)內(nèi)容：

問題1已知一個(gè)直角邊分別為1的三角形，你能利用所學(xué)知識(shí)求出斜邊c的長嗎？

課堂活動(dòng)：學(xué)生利用等面積法拼出相應(yīng)的圖形，并列出相應(yīng)的方程.

學(xué)生匯報(bào)展示成果如下：

情況1：

對于情況1，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生說明等腰直角三角形常作高線，并利用不同的面積表示法列方程.

情況2：

對于情況2，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生說明新組成的圖形為什么是等腰直角三角形，怎么利用面積相等關(guān)系列出方程.

情況3：

對于情況3，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生簡要說明組合圖形為什么是正方形.

情況4：

對于情況4，不會(huì)有太多學(xué)生想到，教師要及時(shí)給予表揚(yáng)，同時(shí)指出等腰直角三角形與正方形兩個(gè)圖形之間的密切聯(lián)系，列方程還是依托等面積法.

回顧問題的解決過程，思考這樣兩個(gè)問題：1.你的方案是怎么想到的？2.你是如何列出這些等量關(guān)系的？

設(shè)計(jì)意圖：從特殊圖形開始研究問題，初步體會(huì)等面積法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)通過一個(gè)圖形的兩種不同的面積表示法列方程，從而解決問題的過程，為探究二奠定方法基礎(chǔ).

問題2已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別是1、2，你能找出直角邊1、2和斜邊c的關(guān)系嗎？

課堂活動(dòng)：大部分學(xué)生模仿問題1的解決過程拼出如下方案，但找不到解決問題的辦法.

教師追問：1.說說你是怎么想的，這樣能求出斜邊c的長嗎？2.問題出在哪呢？

學(xué)生經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)，不能用含有斜邊c的式子表示拼成的圖形面積.

老師再次追問：讓我們回顧問題1的解決過程，為什么這些拼成的圖形面積能夠用含有c的式子表示，這種方法能給解決問題2帶來啟示嗎？再給大家一些時(shí)間，看看有沒有解決辦法.

經(jīng)過師生交流，學(xué)生匯報(bào)成果如下：

情況1

情況2

教師及時(shí)展示兩位學(xué)生的做法，分析每一種做法從問題1中受到了哪些啟發(fā)？為什么是正方形？你是怎么想到這種做法的？靈感來自哪里？等式兩邊都表示了哪個(gè)圖形的面積？

對于情況1，學(xué)生受到問題1的方案4啟發(fā)，拼成正方形，大正方形面積可用已知數(shù)1和2表示，同時(shí)小正方形的面積可用含有c的式子表示.

對于情況2，大正方形的面積可用c2表示，小正方形的面積可用（2- 1）2來表示，從而列出等量關(guān)系，求出c值.

回顧問題2的解決過程，請大家思考：在拼成的各種方案中，列出的這些等量關(guān)系的依據(jù)有什么共同特點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：1.體會(huì)面積割補(bǔ)的思想和方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程；2.將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題來處理，從數(shù)和形兩個(gè)角度觀察、思考、對比，從而認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì).

問題3最后提出一個(gè)最具有挑戰(zhàn)性的問題，如果將直角邊1和2改成a和b，你還能找到a、b和c的關(guān)系嗎？

課堂活動(dòng)：學(xué)生拼圖，教師巡視，并提醒學(xué)生方案是否可行，列出的關(guān)系式是否正確，最后請兩位同學(xué)到黑板前整理，講解解決方案，進(jìn)而得出結(jié)論a2+b2=c2.

情況1：

情況2：

師生用自己的語言概括直角三角形三邊的等量關(guān)系，得到勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

設(shè)計(jì)意圖：教師通過不斷追問，引發(fā)學(xué)生對拼成的新的特殊圖形與原直角三角形相互轉(zhuǎn)化及圖形實(shí)質(zhì)的理解，意在讓所有學(xué)生都能夠從中受到啟發(fā)，分享智慧，提高思維能力.

環(huán)節(jié)三：簡單應(yīng)用

如果已知b的長為8，c的長為10，求a的值.

這說明a、b、c中，知道其中兩個(gè)量才能求出第三個(gè)量.

環(huán)節(jié)四：反思總結(jié)

教學(xué)內(nèi)容：勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，同時(shí)也成為了用代數(shù)方法解決幾何問題的研究典范，在歷史的長河中，各國對勾股定理的研究從未停止，方法達(dá)幾百種，課下大家可以繼續(xù)研究其他證明方法.一堂課的時(shí)間那么短暫，但相信本節(jié)課的學(xué)習(xí)一定會(huì)給你留下許多美好回憶，誰能總結(jié)本堂課你的收獲與體會(huì)？

課堂活動(dòng)：師生共同回顧研究過程，體會(huì)從特殊到一般的研究方式，面積的割補(bǔ)法，數(shù)形結(jié)合的思想.

設(shè)計(jì)意圖：將所學(xué)知識(shí)納入到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，形成新的知識(shí)體系.

環(huán)節(jié)五：布置作業(yè)

1.梳理勾股定理的多種證明方法；

2.閱讀教材，闡述教材中勾股定理的得出與課堂上的探究有何不同？

【評(píng)析】

從凌亂到靈動(dòng)——實(shí)現(xiàn)真正意義的學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理在歷史上曾經(jīng)是世界難題，而今天我們要用一節(jié)課的時(shí)間研究它，所以我們不能完全按照科學(xué)家的研究思路進(jìn)行研究.數(shù)學(xué)界前輩張奠宙老先生曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)有三種形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài).原始形態(tài)是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造時(shí)的形態(tài)，彎彎曲曲的；學(xué)術(shù)形態(tài)是科學(xué)家表達(dá)自己成果的形態(tài)，板起面孔的；而教育形態(tài)則是用學(xué)生容易接受的方式整理的，又有利于學(xué)生發(fā)展的形態(tài).張老師這節(jié)課就是采用教育形態(tài)來展開教學(xué)的，突出表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

一、問題讓學(xué)習(xí)發(fā)生

本節(jié)課張老師在課前先帶領(lǐng)學(xué)生做了熱身活動(dòng)，待學(xué)生的士氣被激發(fā)起來后，課堂上的系列問題探究正式開始.

張老師設(shè)置的一系列問題是以從特殊到一般的方式來研究直角三角形的三邊關(guān)系.這些問題具備這樣幾個(gè)特點(diǎn)：第一個(gè)問題是本節(jié)課的課眼，是本節(jié)課教學(xué)的主線，直接觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并貫穿本節(jié)課的始終；第二個(gè)問題具有挑戰(zhàn)性，有一定的開放度和自由度，給學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)留下了充分的探索空間；第三個(gè)問題能激發(fā)學(xué)生的興奮度，學(xué)生被這個(gè)非常有意思的“偉大事物”深深吸引，全身心投入到問題的研究中來.

二、合作讓學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)

本節(jié)課展開了三次小組合作學(xué)習(xí).我們采取抽樣調(diào)查的方式來觀察課堂中合作學(xué)習(xí)的情況，最后再將每個(gè)人的觀察結(jié)果匯總，通過分析看出：

第一，合作學(xué)習(xí)的內(nèi)容恰當(dāng).由于教師提出的問題具有一定挑戰(zhàn)性、探究性、發(fā)散性、矛盾性，所以學(xué)生獨(dú)立解決起來十分困難，其中既有本節(jié)課的難點(diǎn)，又有學(xué)生在質(zhì)疑中提出的問題.并且拼圖法及面積的割補(bǔ)思想也不是學(xué)生常規(guī)解決數(shù)學(xué)問題的思路，需要學(xué)生之間的合作.所以，本節(jié)課教師召集學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)的時(shí)機(jī)非常恰當(dāng).

第二，合作學(xué)習(xí)的要求明確.每次合作學(xué)習(xí)前教師都明確提出合作學(xué)習(xí)的內(nèi)容和目標(biāo)，讓學(xué)生知道任務(wù)之后，組織組員有序地開展討論、交流，動(dòng)手操作、探究.這樣做避免了學(xué)生亂說話和小組合作學(xué)習(xí)的盲目性，充分體現(xiàn)了小組合作學(xué)習(xí)的實(shí)效性，也使那些膽怯、被動(dòng)的學(xué)困生積極參與到學(xué)習(xí)中來，充分體現(xiàn)了自身的價(jià)值.

第三，靈活多樣的合作方式取得了非常好的合作效果.每次合作之前，張老師都是先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再組織學(xué)生合作交流.學(xué)生思考后產(chǎn)生合作的欲望，使得每位學(xué)生都能說出自己的想法，都能對問題的解決貢獻(xiàn)自己的一份力量，避免了把合作變成優(yōu)生講、差生聽的假合作.另外，當(dāng)學(xué)生合作解決仍有困難時(shí)，張老師采取了合作—交流—再合作的形式，有效提高了合作的效率.

第四，教師深入小組參與合作.在小組合作學(xué)習(xí)活動(dòng)期間，教師通過巡視，對活動(dòng)中出現(xiàn)的問題及時(shí)指導(dǎo)，使合作的效果更好.

第五，學(xué)生深度參與.合作學(xué)習(xí)是否落到實(shí)處，關(guān)鍵要看組員的參與狀況、互助、互學(xué)情況、交互的質(zhì)量，這些都決定著合作學(xué)習(xí)的效果.

本節(jié)課的三次合作學(xué)習(xí)，學(xué)生的參與深度是有差異的.第一次合作學(xué)習(xí)的效果略差，而第三次合作學(xué)習(xí)雖然沒有給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，但是效果卻是最好的.看來合作學(xué)習(xí)建立在每個(gè)個(gè)體有一定的想法的前提下，效果才會(huì)更好.

三、放手讓學(xué)習(xí)深入

實(shí)現(xiàn)真正意義上的學(xué)生學(xué)習(xí)，教師應(yīng)做到真正的放手，把學(xué)習(xí)權(quán)還給學(xué)生.這一點(diǎn)是教師最難做到的.究其原因，教師有“三怕”：一怕學(xué)生答不上，冷場；二怕時(shí)間不夠，壓堂；三怕出現(xiàn)教師預(yù)想不到的生成.張老師的這節(jié)課真正做到了放手，做到了：

等待——給學(xué)生獨(dú)立思考留出時(shí)間；

關(guān)注——給學(xué)生合作交流營造空間；

傾聽——給學(xué)生闡述理由創(chuàng)造機(jī)會(huì)；

追問——給學(xué)生質(zhì)疑爭辯、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題搭設(shè)平臺(tái)；

評(píng)價(jià)——給不同層次的學(xué)生鼓足勇氣.

正如日本教育學(xué)者佐藤學(xué)所做的比喻，好的教學(xué)就如接住學(xué)生“投過來的球”，即“接住”每個(gè)學(xué)生的發(fā)言，并能與那些傾心“投球”的學(xué)生的想法產(chǎn)生共振，不論學(xué)生向你拋出一個(gè)精美的彩球、棘手的刺球、偏離軌道的歪球，或是一閃即逝的擦邊球，教師都應(yīng)恰當(dāng)?shù)亟幼?這節(jié)課張老師在一些問題的解決中，設(shè)置了一些追問，但筆者認(rèn)為，在問題2這一難點(diǎn)問題的突破上，教師的迂回還不夠，若教師再多一些層層深入的追問，引發(fā)學(xué)生之間的質(zhì)疑、爭辯，從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維層面的深度對話，讓更多的學(xué)生體會(huì)到解決問題的關(guān)鍵所在，效果會(huì)更好.

總之，我們期待的課堂應(yīng)該讓學(xué)生真興奮，走向真研究，在課堂由凌亂到靈動(dòng)的過程中，讓學(xué)生獨(dú)處、傾聽、合作、互動(dòng)、質(zhì)疑、碰撞，體會(huì)再創(chuàng)造的樂趣——?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)真正的學(xué)習(xí)共同體空間，這樣，真正意義的學(xué)生學(xué)習(xí)就實(shí)現(xiàn)了！

編輯/王一鳴

E- mail:51213148@qq.com

【英語篇】