神經(jīng)元模型中混合模式振蕩動力學研究進展*

陸博 劉深泉劉宣亮

（華南理工大學數(shù)學學院，廣州 510640）

神經(jīng)元模型中混合模式振蕩動力學研究進展*

陸博 劉深泉?劉宣亮

（華南理工大學數(shù)學學院，廣州 510640）

混合模式振蕩（mixed-mode oscillations以下簡稱MMOs）是產(chǎn)生于動力系統(tǒng)中的一種復雜的振蕩模式，它在自然界中是普遍存在的.混合模式振蕩由一系列的小振幅的振蕩和大振幅的振蕩共同組成，兩種模式的振蕩交替出現(xiàn).文章介紹了在神經(jīng)元系統(tǒng)中混合模式振蕩的研究情況和研究方法，主要分析幾何奇異攝動理論在動力系統(tǒng)中混合模式振蕩的產(chǎn)生機理的作用，并且介紹前包欽格復合體、內(nèi)嗅皮層的星狀細胞和垂體細胞神經(jīng)元及腺體細胞的混合模式振蕩的動力學研究，簡單說明其他神經(jīng)元模型的混合模式振蕩的研究情況.為以后的其他領(lǐng)域的混合模式振蕩的研究提供了方法.

神經(jīng)元模型， 混合震蕩模式， 幾何奇異攝動理論， 鴨解， 張弛震蕩

引言

混合模式振蕩（mixed-mode oscillations，MMOs）是產(chǎn)生于動力系統(tǒng)中的一種復雜的振蕩模式，它在自然界中是普遍存在的.混合模式振蕩由一系列的小振幅的振蕩和大振幅的振蕩共同組成，兩種模式的振蕩交替出現(xiàn).混合模式振蕩100年前在化學反應中被第一次觀察到［1］，直到在20世紀70年代，Belouzov-Zhabotinsky化學反應中的混合模式振蕩才被仔細的研究［2-7］.除此之外，科學家在許多領(lǐng)域也發(fā)現(xiàn)了混合模式振蕩，例如表面化學反應［8，9］、電化學系統(tǒng)［10-12］、神經(jīng)元系統(tǒng)［13-16］、鈣系統(tǒng)［17-18］、心電動力系統(tǒng)［19］、激光系統(tǒng)［20］和電子電路系統(tǒng)［21］等.

一些神經(jīng)元模型也被用來研究混合模式振蕩現(xiàn)象，例如Hodgkin-Huxley模型［22-24］、垂體細胞模型［25-27］、多巴胺神經(jīng)元模型［28-29］、中間神經(jīng)元模型［30-31］和一些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如前包欽格復合體［32］等.這些模型主要聚焦于研究離子通道在混合振蕩中的作用以及混合模式振蕩產(chǎn)生的動力學機理.

混合模式振蕩的功能一直是一個很重要的問題.閾下（膜電位）振蕩的功能被認為是一個定時裝置［33］，在空間認知中起著重要的作用［34］.基于動作電位是神經(jīng)元的基本信號的機理混合模式振蕩中插入閾下振蕩也許能對創(chuàng)造一個更有利于神經(jīng)元之間信息交流的時間尺度有幫助.

通常如果混合模式振蕩由s個小振幅振蕩和L個大振幅振蕩組成，用符號Ls來描述這種振蕩模式［35-36］.混合模式振蕩模式可以是規(guī)則的，也可以是不規(guī)則的.規(guī)則的混合模式振蕩是周期的，所以符號Ls可以表示整個振蕩的狀態(tài).如果混合模式振蕩是不規(guī)則的，則可以用序列L1s1-L2s2…-LNsN（N是某一整數(shù)）來表示.而且不規(guī)則的混合模式振蕩也可能是隨機的或者混沌的.

如果出現(xiàn)了L0（L＞1）形式的振蕩模式，即在兩個或者更多的峰之間并沒有小振幅的閾下振蕩，習慣上稱這種情況為簇發(fā)放形式［37-40］.間內(nèi)和尖峰的頻率可能是在相同的頻率范圍內(nèi)，或不取決于神經(jīng)元的類型及其他參數(shù)值.

動力系統(tǒng)理論用于研究微分方程解的定性性質(zhì).動力系統(tǒng)理論通過研究了平衡點和周期軌道的分岔，描述這些限制取決于系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置.但是混合模式振蕩的問題，超越那些標準/經(jīng)典的一般動力系統(tǒng)理論.具體來說，人們試圖剖析小振幅振蕩和大振幅振蕩的時間范圍，識別這些幾何對象在系統(tǒng)的狀態(tài)空間，并確定狀態(tài)之間如何轉(zhuǎn)換.

早期的關(guān)于模型混合模式振蕩的研究主要局限在在對混合模式振蕩的進行分類，并且通過參數(shù)的變化觀察振蕩模式的變化情況.Hudson等［41］通過實驗觀察Belousov-Zhabotinsky振蕩反應（簡稱BZ反應）中的混合模式振蕩.Bake?等［42］發(fā)現(xiàn)在pH化學反應中，隨著流率的改變，系統(tǒng)從周期區(qū)域進入混沌區(qū)域時會產(chǎn)生混合模式振蕩.Baba和Krisher［43］對原生具有全局耦合的電化學模型進行研究，通過數(shù)值計算得到了由其導出的齊次系統(tǒng)產(chǎn)生的混合模式振蕩.Higuera等［44］研究發(fā)生在橢圓容器流體表面的法拉第波的單模式擴張模型，這個模型是一個奇異攝動問題，他們利用數(shù)值計算得到了表面波中的周期和非周期的混合模式振蕩.

Barkley［45］最早跳出這個局限，他評估多時間尺度模型對混合模式振蕩產(chǎn)生的能力.Barkley［46］又對從化學實驗中產(chǎn)生的混合模式振蕩與刻畫該化學反應的七維數(shù)學模型中產(chǎn)生的混合模式振蕩做了比較，該模型中有3維的多時間尺度模型. Barkley研究的混合模式振蕩某些方面類似于一個鞍焦平衡點的同宿軌道.特別的，小振幅振蕩的產(chǎn)生是由于軌線沿著不穩(wěn)定流形遠離平衡點.這種類型的同宿軌曾被L.Shilnikov［47］研究.但Barkley指出，混合模式振蕩的出現(xiàn)并繼續(xù)存在在開放區(qū)域的系統(tǒng)參數(shù)，而不是沿著參數(shù)空間余一維子流形.但是他不能給出一個具有這些特征的三維模型. Rubin等［48］研究了修正的三維經(jīng)典Hodgkin-Huxley神經(jīng)元模型的混合模式振蕩，并研究了大小振幅的數(shù)目的變化，接著利用幾何奇異攝動理論研究了混合振蕩的產(chǎn)生的機理，并指出模型生成混合模式振蕩的關(guān)鍵的系統(tǒng)參數(shù).

Krupa等［49］分析哺乳動物腦干中多巴胺神經(jīng)元雙艙室模型的混合模式振蕩產(chǎn)生的機理并指出混合模式振蕩與鴨結(jié)構(gòu)的關(guān)系.Desroches等［50］發(fā)展了計算方法來研究自耦合的FitzHugh-Nagumo（FHN）模型混合模式振蕩產(chǎn)生的機理，該方法能精確地找出一些系統(tǒng)中的鴨解和混合模式振蕩.

1 幾何奇異攝動理論

1.1 Fenichel定理

混合模式振蕩多產(chǎn)生于有著不同時間尺度的動力系統(tǒng).此類系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量的變化速率有著較大的不同，在動力學中將此類動力系統(tǒng)視為奇異攝動問題.它本身是一個快-慢動力系統(tǒng).幾何奇異攝動理論（Geometric Singular Perturbation Theory簡記為GSPT）采用幾何的觀點，從不變流形、奇異點的規(guī)范型等角度對此類系統(tǒng)進行分析研究［51-55］，其奠基工作稱為Fenichel理論［52］.此外，一些學者還利用例如匹配展開的漸進方法進行分析［56-57］，還有法國斯特拉斯堡的一些數(shù)學家采用非標準分析對快-慢動力系統(tǒng)有著一些重要的發(fā)現(xiàn)［58-59］.本文主要介紹幾何奇異攝動的相關(guān)概念和觀點.考慮系統(tǒng)：

其中，x∈Rm，y∈Rn是狀態(tài)空間變量，ε是一個遠遠小于1的正小參數(shù)，表示不同時間尺度的比例.函數(shù)f：Rm×Rn×R→Rm與g：Rm×Rn×R→Rn是無窮次可微的兩個函數(shù).習慣上，變量x稱為快變量，變量y稱為慢變量.如果做變換τ＝εt，則系統(tǒng)（1）可變?yōu)椋?/p>

在（2）中令ε→0得

此系統(tǒng)稱為快子系統(tǒng)，也稱為層問題（layer problem），表示快變量的變化過程.顯然在（3）中慢變量是一個常數(shù)，因此快子系統(tǒng)的解在相空間（x，y）中的軌線是一條直線，稱為快纖維（fast liber）.同樣的，在系統(tǒng)（1）中令ε→0得到慢子系統(tǒng)，也稱為約化問題（reduce problem）：

系統(tǒng)（4）是一個微分代數(shù)方程組.它反應了慢變量的變化過程.幾何奇異攝動理論的一個目標就是用（3）和（4）的解來刻畫整個帶有攝動的奇異問題的解的性質(zhì).而且可以看出（4）中的代數(shù)方程對應的（超）曲面為：

稱為臨界流形（或退化流形）.顯然S中的點是系統(tǒng)（3）中第一個方程的平衡點.

定義1.1 如果在M上Jacobi矩陣Dxf（x，y，0）的特征值的實部不等于0，稱流形M?S是法向雙曲的.進一步，如果矩陣Dxf（x，y，0）在M上所有特征值實部小于0，就稱M為吸引的；如果矩陣Dxf（x，y，0）在M上所有特征值實部大于0，就稱M為排斥的；如果法向雙曲流形M既不是吸引的，也不是排斥的，就稱M是鞍型的.

對于法向雙曲的流形M，有如下的定理：

定理1.1 （Fenichel定理）［52，60］設(shè)M?S是一個緊的法向雙曲的子流形（可能有界），f，g∈Cr，r＜∞.則對充分小的ε＞0下列結(jié)論成立：

（1）存在一個局部不變流形Mε微分同胚于M.局部不變的意思是Mε具有軌線進入或離開所穿過的邊界.

（2）Mε距M有一個O（ε）的Hausdorff距離.

（3）當ε→0時，上的流收斂于慢流.

（4）Mε是Cr光滑的，0＜r＜∞.

（5）Mε是法向雙曲的，并且對快變量x與M有相同穩(wěn)定性質(zhì)（吸引、排斥或者鞍型）.

Mε也稱為Fenichel流形，它是一類慢流形. Fenichel定理保證了對充分小的參數(shù)ε＞0，如果約化問題的臨界流形是法向雙曲的，那么帶有擾動的攝動問題（1.1）與相應的約化問題有相同性質(zhì)的臨界流形，而且對快變量有相同地穩(wěn)定性.進一步，Mε可以表示成一個函數(shù)圖像，當法向雙曲的條件被滿足時，雅克比矩陣Dxf（x，y，0）在M上的任意點處皆是可逆的，由隱函數(shù)定理可知M可以表示成關(guān)于y的一個顯函數(shù)，利用漸近展開法這個函數(shù)可以近似求出，這樣問題（1.1）就可以限制在Fenichel流形上化為正則的攝動問題.

1.2 折點

混合模式振蕩對應的多時間尺度的問題雖然是奇異攝動問題，但是有一些點不滿足上述的法向雙曲的條件，稱之為折點（fold point）.正是這些點的存在，才有了張弛震蕩、鴨現(xiàn)象和混合模式振蕩等復雜的現(xiàn)象產(chǎn)生.下面我們對這樣的折點進行分類.為了簡單起見我們?nèi)＝1，n＝2，系統(tǒng)可以寫為：

相應的臨界流形為：

此時臨界流形是三維空間中的一張曲面.相應的S上的折點組成的集合是S對應的曲面上的一條（或幾條）曲線，有如下的定義：

定義1.2 臨界流形S稱為是（局部）有折的，如果存在一個集合F有如下的形式：

其中F中的點稱為系統(tǒng)（5）的折點.更高維的情況可以參看文獻［61］.

正如在1.2節(jié)中的分析，通過幾何奇異攝動理論的思想，系統(tǒng)（6）也可以通過相應的快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)來進行研究.注意到快子系統(tǒng)的解在相空間中是一條直線，那么注意力就集中在慢子系統(tǒng)上來進行研究.（6）相應的慢子系統(tǒng)為：

在（8）的第一個方程兩端進行微分，并將（8）的后兩個方程代入移項可得：

系統(tǒng)（10）與系統(tǒng)（9）在相平面上有相同的軌線，只是方向相反.滿足條件

的點p*（x，y1，y2）成為折奇異點.并且有如下的定義：

定義1.3 設(shè)λ1，λ2是限制在臨界流形S上的雅克比矩陣在點p*的特征值，

（1）若λ1，λ2是實數(shù)，且λ1λ2＜0，則稱p*是折鞍點（fold saddle）；

（2）若λ1，λ2是實數(shù)，且λ1λ2＞0，則稱p*是折結(jié)點（fold note）；

（3）若λ1，λ2是虛數(shù)，且λ1λ2＞0，Im（λ1，2）≠0，則稱p*是折焦點（fold focus）.

注：如果有兩個特征值相等且同為實數(shù)，則稱為退化的折結(jié)點，如果兩個特征值為實數(shù)且只有一個等于零，則會產(chǎn)生折鞍結(jié)點分岔現(xiàn)象.系統(tǒng)在這些折點處會產(chǎn)生奇異鴨解，混合模式振蕩等現(xiàn)象.

1.3 張弛震蕩與鴨解

張弛震蕩是發(fā)生在多時間尺度的動力系統(tǒng)中的一種周期軌線，它的特征是這個周期軌線由快慢兩部分相互重復連接組成.比較典型的張弛震蕩是在Van der Pol方程中［62］.產(chǎn)生張弛震蕩的動力系統(tǒng)因為有多個時間尺度，因此可以用幾何奇異攝動理論對其進行研究.下面用二維FitzHugh-Nagumo型神經(jīng)元模型［36］來說明張弛震蕩的產(chǎn)生過程.考慮如下的方程組：

其中，v表示類電壓變量（類似于HH方程中的膜電位），w表示恢復變量（類似于HH方程中門控變量），I是外界刺激，ε，γ和λ是常數(shù)且0＜ε?1.圖1展示了FitzHugh-Nagumo模型中的張弛震蕩，從圖1可以清楚的看出，隨著參數(shù)ε→0，模型的周期軌線逐步向臨界流形和快纖維組成的閉合軌線逼近，期極限狀態(tài)下的周期軌線即為張弛震蕩.

按照在1.1節(jié)的分析，首先將FitzHugh-Nagumo模型分成層問題和約化問題.約化問題的解位于臨界流形上，即圖1中的AB段和CD段.層問題的解（快纖維）對應于周期軌中時間快尺度的問題，即為圖1中BC段和DA段.B和D為折點，也稱為跳躍點.整個張弛震蕩的產(chǎn)生過程是這樣的，首先系統(tǒng)沿著臨界流形的吸引部分從A到B，在B點產(chǎn)生跳躍沿快纖維到達C點，然后再次沿著吸引部分從C點走到D點，由于D也是一個跳躍點，因此在D點出再次沿快纖維到達A點，形成張弛震蕩.因此張弛震蕩的產(chǎn)生可用快慢兩個子系統(tǒng)進行分析，在折點處的分析可以借助于近年來發(fā)展的blow-up技術(shù).由于折點處法向雙曲的性質(zhì)已經(jīng)被破壞，前面的理論很難對折流形處的奇異點進行分析.Blow-up技術(shù)的思想是通過一組巧妙的坐標變換，將折上的奇異點變換成一個球面，通過引入合適的坐標卡，使blow-up后的向量場有更容易研究的性質(zhì)，具體的做法可以參看文獻［63-65］.

圖1 ε＝0.001，γ＝4，λ＝0.02時，F(xiàn)itzHugh-Nagumo模型的解在（v，w）平面的相圖和時間歷程Fig.1 Phase diagram and time history of the solutions for FitzHugh-Nagumomodel in v-w plan when ε＝0.001，γ＝4，λ＝0.02

圖2 系統(tǒng)（11）的鴨解在參數(shù)I（外界刺激）的改變下的變化圖（a）I＝-0.221752，（b）I＝-0.22176，（c）I＝-0.22175192，（d）I＝0.21Fig.2 Relationship of canard-parameter I（external stimuli）（a）I＝-0.221752，（b）I＝-0.22176，（c）I＝-0.22175192，（d）I＝0.21

鴨解（canard）指的是同時包含吸引部分和排斥部分的奇異攝動系統(tǒng)的解.一維的孤立鴨解也稱為鴨環(huán).在奇異攝動系統(tǒng)中，鴨解沿著慢流形的吸引部分穿過折點（或折點附近），然后繼續(xù)沿著慢流形的排斥部分形成周期解.由于在二維系統(tǒng)中這些周期解對應的軌線在相空間中形狀類似于“鴨”，因此稱這類解為鴨解.根據(jù)相空間周期軌線的形狀可進一步分為有頭鴨和無頭鴨兩種情況.

鴨解的一個普遍特征是周期解的振幅隨著控制參數(shù)的微小改變而產(chǎn)生巨大變化.超臨界Hopf分支出的小周期軌隨著控制參數(shù)的改變迅速的變成大的松弛環(huán)，這種Hopf分岔附近的周期軌振幅快速增大的現(xiàn)象稱為鴨爆破（canard explore）.鴨解就位于小的Hopf環(huán)與大的松弛環(huán)之間.由于鴨爆破現(xiàn)象的存在，因此鴨解很難被觀察到，因此很多學者致力于從理論上證明奇異攝動系統(tǒng)中鴨解的存在性.幾何奇異攝動理論的觀點認為鴨解的存在性決定于攝動系統(tǒng)的慢流形的吸引部分（記為Sa，ε）與排斥部分（記為Sr，ε）是否在折點附近相交.

按照Wechselberger［61］等的觀點，在慢流形上，有限時間內(nèi)從吸引部分Sa穿過折點到排斥部分Sr形成的鴨解稱為奇異鴨解；帶攝動的系統(tǒng)在慢流形附近從吸引部分Sa，ε穿過折點到排斥部分Sr，ε形成的鴨解稱為最大鴨解.

結(jié)合1.2折點的分類，可以進一步分析奇異鴨解的類型.折焦點處不會產(chǎn)生奇異鴨解.折焦點處的流的方向只有沿著折的時候才會發(fā)生改變，所有開始于折焦點附近的解會在有限的正向或反向時間內(nèi)到達折點組成的集合，并在此處發(fā)生爆破.對于折鞍點的情形，折鞍點處存在中心穩(wěn)定流形Wcs和中心不穩(wěn)定流形Wcu，他們產(chǎn)生出唯一的快纖維分別記為Ws和Wu，快纖維Ws和Wu分別在折點處與對應的穩(wěn)定與不穩(wěn)定特征向量相切.而對于慢子系統(tǒng)的約化流可以通過改變?nèi)テ娈惢酉到y(tǒng)在慢流形排斥部分的方向得到.快纖維和慢子系統(tǒng)的約化流就可以拼湊成系統(tǒng)的鴨軌線.開始于穩(wěn)定快纖維Ws的約化流的軌線在有限時間到達折奇異點處并穿過折點與不穩(wěn)定分支Wcu相交.這種類型的奇異鴨解稱為折鞍點型（fold saddle type）.開始于Sa的其他的約化流的軌線或者在有限時間內(nèi)到達折點發(fā)生爆破，或者根本到達不了折點.而開始于不穩(wěn)定快纖維Wu的軌線會相反的穿過折點從Sr到達Sa，這樣的鴨解也稱為偽鴨解.對于折結(jié)點的情形，如果兩個特征值都是負的，此時系統(tǒng)只有穩(wěn)定的中心流形Wcs，定義Wss為唯一快纖維的子集相應于強穩(wěn)定特征向量沿著折張成的空間，而慢子流形的約化流仍通過去奇異系統(tǒng)來得到.集合Wss與折點組成的集合F在Sa上圍成的區(qū)域稱為奇異漏斗（singular funnel），奇異漏斗中的每一條軌線都是一個奇異鴨解.開始于Wss上的軌線在有限時間內(nèi)到達奇異點集但是相交正切于相應折結(jié)奇異點的強穩(wěn)定特征向量.開始于Sa上的其他軌線到達折點集在有限的時間內(nèi)并在有限時間內(nèi)爆破.對于奇異攝動的最大鴨解的存在性也有如下的定理：

定理1.2［61］對于奇異攝動系統(tǒng)（1.1）當ε充分小時，定義，下列結(jié)論成立.

（1）折焦點處沒有最大鴨解產(chǎn)生；

（2）在折鞍點處，奇異鴨解的（n-1）維集合Wcs擾動到最大鴨解的（n-1）維集合；

（3）在折結(jié)點處，當0＜μ＜1時，（n-1）維奇異鴨解（也稱為強鴨解）的集合Wss擾動到（n-1）維的最大強鴨解（也稱為首要強鴨解）；

（4）在折結(jié)點處，若μ-1?N，則奇異弱鴨解的（n-1）維集合擾動到（n-1）維的最大弱鴨解（也稱為首要弱鴨解）；

（5）在折結(jié)點處，設(shè)k是一個正整數(shù)，且滿足2k +1＜μ-1＜2k+3并且μ-1≠2k+2則除了首要鴨解外，還存在其他的k個最大鴨解，稱為次要鴨解.

2 快慢動力系統(tǒng)中混合模式振蕩的產(chǎn)生機理

混合模式振蕩的生成需要各種機制的協(xié)調(diào)作用：（i）閾下振蕩的生成機制，（ii）峰發(fā)放機制，包括峰的發(fā)生和峰發(fā)放形成的動力學描述，以及（iii）從峰發(fā)放狀態(tài)到亞閾值狀態(tài)的恢復機制.

能產(chǎn)生固有振蕩的最小模型是一些二維的神經(jīng)元模型，包含了兩個動力學變量：電壓v和恢復變量w［66］.這些模型可能產(chǎn)生亞閾值振蕩或者峰發(fā)放，但是不能產(chǎn)生混合模式振蕩.混合模式振蕩需要額外的描述這兩個狀態(tài)之間動力學的變化的機理.這個機理可能由外部輸入產(chǎn)生（對于非自治系統(tǒng)），例如在某種情況下慢流形穿過Hopf分岔和產(chǎn)生于強迫振蕩性的模式［67］，或者來自于一個額外的自變量的變化（自治系統(tǒng)）產(chǎn)生的三維“鴨現(xiàn)象”［68］.

能夠產(chǎn)生混合模式振蕩的最小的模型是一個包含了多重時間尺度的三維的非線性方程組［36］.研究它可以得到很多基本的動力學性質(zhì).混合模式振蕩的產(chǎn)生原理關(guān)鍵依賴于從亞閾值振蕩到峰發(fā)放的變化機理.一些機理已經(jīng)在被研究發(fā)現(xiàn)，此外關(guān)于“鴨解”現(xiàn)象與混合模式振蕩的關(guān)系也被很多學者所研究［65，68-71］.這些結(jié)果在文獻［60］中被總結(jié)出來.

利用幾何奇異攝動理論的相關(guān)結(jié)果，在三維快慢動力系統(tǒng)中產(chǎn)生混合模式振蕩的原因主要有折結(jié)點附近的最大鴨解的旋轉(zhuǎn)和奇異Hopf分岔的產(chǎn)生，下面逐一進行討論.

2.1 折結(jié)點導致的混合模式振蕩

在1.3節(jié)中指明對于折結(jié)點附近會形成奇異漏斗，而在此處首要強鴨解會圍繞首要弱鴨解產(chǎn)生旋轉(zhuǎn).此現(xiàn)象從幾何的角度可以解釋，強鴨解可以視為Sa，ε與Sr，ε相對位置改變的軌跡.開始于Sa，ε的軌線在走向同側(cè)強鴨解時候受到了Sr，ε的限制，從而再次回到了Sa，ε，這樣就形成了一次旋轉(zhuǎn).而弱鴨解可以看做是旋轉(zhuǎn)中心.而開始于Sa，ε的軌線到達強鴨解另一端的時候，被Sr，ε阻止并沿著快纖維的方向再次回到Sa，ε.進入奇異漏斗的軌線被困入其中一段時間，然后跳出這個折附近沿著快纖維，然后全局回歸機理保證了軌線會再一次回到Sa，ε的漏斗中.不斷重復這個過程，混合模式振蕩便產(chǎn)生了.軌線進入漏斗以后，在折結(jié)奇異點附近產(chǎn)生小振幅振蕩，然后軌線跳躍到快纖維離開漏斗，再根據(jù)全局回歸機理［72］軌線，再次返回漏斗形成周期的大振幅振蕩，于是1s模式的混合模式振蕩便形成了.

2.2 奇異Hopf分岔導致的混合模式振蕩

混合模式振蕩除了可以有折結(jié)點產(chǎn)生，許多研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)混合模式振蕩與奇異Hopf分岔也有關(guān)系.奇異Hopf分岔是攝動系統(tǒng)的Hopf分岔在ε趨于0時得到的.在快慢系統(tǒng)中，系統(tǒng)的平衡點可能在臨界流形上的折的附近.如果在參數(shù)與相空間系統(tǒng)在距離折O（ε）處經(jīng)歷了的Hopf分岔，就習慣上稱為奇異Hopf分岔［70，73-75］.這種Hopf分岔的特征值的虛部有著的量級，這個量級介于快時間尺度與慢時間尺度之間.在Hopf分岔附近，鴨周期軌的振幅會快速的增大，這種現(xiàn)象即為上文提到的鴨爆炸.奇異Hopf分岔存在與鴨爆破有緊密的聯(lián)系.奇異Hopf分岔使得在平衡點附近產(chǎn)生小振幅的振蕩，然后隨著周期解振幅的突然增大使軌線沿著快纖維方向繼續(xù)，然后由于全局回歸機理形成大振幅振蕩，所以也形成了1s的混合模式振蕩.Guckenheime對具有兩個慢變量的攝動系統(tǒng)中的奇異Hopf分岔進行研究，并研究了它與混合模式振蕩的聯(lián)系［70，76］.圖3給出了一個典型的三維系統(tǒng)：

圖3 由奇異Hopf點導致的混合振蕩現(xiàn)象的示意圖Fig.3 Sketch ofmixed mode oscillations caused by singular Hopf point

在式（12）中參數(shù)值取ε＝0.01，ν＝0.007，a＝-0.4，b＝-0.4和c＝1.15時由奇異Hopf分岔導致的混合模式振蕩.在折點附近的奇異Hopf分岔使軌線沿小的極限環(huán)運動形成小振幅振蕩，然后振幅迅速增大形成大振幅振蕩，于是混合模式的振蕩便形成了.

更高維的模型會產(chǎn)生更復雜的混合模式振蕩現(xiàn)象.在基于電導的神經(jīng)元模型中，由于離子通道對亞閾值振蕩和峰發(fā)放狀態(tài)有很大的影響，所以高維的模型很難分析混合模式振蕩的產(chǎn)生機理，但這些模型的基本原理也可以化簡成低維的模型來研究.

3 神經(jīng)元模型中的混合模式振蕩

3.1 內(nèi)嗅皮層的星狀細胞

內(nèi)嗅皮層（entorhinal cortex，EC）是海馬結(jié)構(gòu)的輸入與輸出結(jié)構(gòu)，在大腦新皮質(zhì)與海馬之間起雙向的信息傳遞作用，按空間結(jié)構(gòu)可分為外側(cè)內(nèi)嗅皮層（LEC）和內(nèi)側(cè)內(nèi)嗅皮層（MEC）［77］.內(nèi)側(cè)內(nèi)嗅皮層共分為6層，其中第Ⅰ和第Ⅳ層為非細胞層，Ⅴ層和Ⅵ為其深層，Ⅱ?qū)雍廷髮訛槠錅\層.EC的淺層神經(jīng)元主要是接受大腦皮層（包括聯(lián)合皮質(zhì)、嗅周皮質(zhì)以及海馬旁回皮質(zhì)）的傳入，將這些認知和高度處理的感覺信息傳遞至海馬結(jié)構(gòu).深層主要接受海馬CAI和下托的輸入，將其傳回至新皮層，從而形成海馬-EC-新皮層的情景記憶環(huán)路［78］.在內(nèi)嗅皮層淺層中，錐體神經(jīng)元（Pyramidal Neuron）和星型神經(jīng)元（Stellate Neuron）是兩類主要的投射神經(jīng)元.因此，研究這兩類細胞的基本電生理特性有助于揭示海馬依賴性學習和記憶的機制.其節(jié)律振蕩在θ（4～12赫茲）和γ（30～100赫茲）頻段形成.內(nèi)在的閾下（膜電位）振蕩，θ和γ頻率的混合模式振蕩已在各種類型的神經(jīng)元被觀察到［79-82］.內(nèi)嗅皮層第Ⅱ?qū)有菭罴毎幕旌夏Ｊ秸袷幈粡V泛的研究［83-85］.

生理實驗和數(shù)學模型的計算都表明，內(nèi)嗅皮層第Ⅱ?qū)拥男切图毎茉?55mV附近產(chǎn)生閾下振蕩.當收到外界超極化的直流刺激時，在閾下振蕩以后也會有張弛震蕩，也就是大振幅振蕩產(chǎn)生.閾下振蕩和張弛震蕩交替出現(xiàn)，即產(chǎn)生混合模式振蕩.混合模式振蕩的產(chǎn)生與“鴨解”現(xiàn)象有關(guān)，對哺乳動物的記憶和空間感知有重要的作用.

3.2 前包欽格復合體

呼吸節(jié)律的產(chǎn)生部位和機制一直是神經(jīng)生物學研究領(lǐng)域中的重要課題.近年來的研究表明，延髓頭端一個被稱為前包欽格復合體（pre-B?tzinger complex，PBC）的區(qū)域是哺乳類動物呼吸節(jié)律起源的關(guān)鍵部位.該區(qū)域位于疑核頭端腹外側(cè)，外側(cè)網(wǎng)狀核背內(nèi)側(cè)；在頭尾方向上位于包欽格復合體與吻端腹側(cè)呼吸組（Rostral ventral respiratory group）之間.進一步研究發(fā)現(xiàn)，在厚度僅為350μm、包含PBC的腦片上即可記錄到舌下神經(jīng)根（XII）的節(jié)律性放電；在PBC內(nèi)微量注射高K+溶液后XX放電節(jié)律加快；注射興奮性氨基酸受體拮抗劑CNQX則引起其放電節(jié)律減慢甚至消失.這些結(jié)果提示，PBC即是新生哺乳類動物呼吸節(jié)律起源的關(guān)鍵部位.此后的許多研究表明，PBC也存在于成年整體大鼠、貓及狗的延髓.大量研究表明，PBC是延髓呼吸中樞內(nèi)在結(jié)構(gòu)和功能方面具有相對特異性的部位，它在呼吸節(jié)律產(chǎn)生中起著關(guān)鍵作用；PBC參與呼吸節(jié)律形成的機制尚待進一步探討.但利用Poincaré映射可以判定在PBC中的確能產(chǎn)生混合模式振蕩［32］.

3.3 垂體細胞

混合模式振蕩不但在神經(jīng)元中被發(fā)現(xiàn)，在內(nèi)分泌細胞如垂體細胞，胰腺β細胞中也被發(fā)現(xiàn).垂體是位于丘腦下部的腹側(cè)的卵圓形小體，也是身體內(nèi)極為復雜的內(nèi)分泌腺，所產(chǎn)生的激素不但與身體的生長有關(guān)，且可影響內(nèi)分泌腺的活動.用近代的免疫熒光、組織化學等方法，結(jié)合電鏡觀察證明腺垂體由六種腺細胞組成.通過對垂體中分泌生長素、催乳素和促性腺激素的細胞進行膜片鉗實驗，并記錄它們對應動作電位的時間歷程，在其中也可以發(fā)現(xiàn)混合模式振蕩的產(chǎn)生.

除此之外越來越多的混合模式振蕩發(fā)現(xiàn)于神經(jīng)元模型之中，例如Hodgkin-Huxley模型、FHN模型，多巴胺模型、LP神經(jīng)元模型與中間神經(jīng)元模型等.這些模型中混合模式振蕩產(chǎn)生的機理也被廣泛的研究.

4 總結(jié)

混合模式振蕩作為一種復雜的動力學現(xiàn)象越來越多的引起了人們的關(guān)注.在神經(jīng)元模型中由于混合模式振蕩的生理意義一步步被揭開，也是其成為神經(jīng)科學研究的一個熱點.但是神經(jīng)元自身的復雜性決定了刻畫神經(jīng)元的數(shù)學模型往往是高度非線性的高維動力系統(tǒng).前文也提到高維的動力系統(tǒng)很難直接研究混合模式振蕩產(chǎn)生的機理，所以高維模型就面臨著降維的問題.常見的高維非線性系統(tǒng)的降維方法，有基于中心流形理論的降維方法、Lyapunov-Schmidt（L-S）方法、非線性Galerkin方法和POD方法快慢動力系統(tǒng)的降維等［86］.這些經(jīng)典的局部降維理論即使對較低維系統(tǒng)，中心流形的求解和其它約化方法的計算也是十分困難.對于高維系統(tǒng)更是難以應用.文本介紹的奇異攝動理論主要應用于快慢動力系統(tǒng).由于快慢動力系統(tǒng)動力學行為會發(fā)生在不同的時間尺度上，慢時間尺度上的變化描述系統(tǒng)的主要特征，而快時間尺度上的變化描述瞬態(tài)過程或者周期振蕩.對于這類動力系統(tǒng)，可以通過消去快時間尺度上的維數(shù)來達到降維的目的，進一步研究混合模式振蕩的產(chǎn)生機理，從而揭示神經(jīng)元的生理活動.

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RESEARCH DEVELOPMENT ON DYNAM ICSOF M IXED-MODE OSCILLATIONS IN NEURONAL MODELS*

Lu Bo Liu Shenquan?Liu Xuanliang
（School of Mathematics，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China）

Mixed-mode oscillations（MMOs）are a type of complex oscillation mode produced in dynamical systems.They arewidespread in nature.Mixed-mode oscillations aremade up of a series of small amplitude oscillations and large amplitude of the oscillations，and these two types of oscillations appear alternately.Mixed-mode oscillations in the neuronal system are introduced in this research.The effect of geometric singular perturbation theory on the generatingmechanism ofmixed mode oscillations in dynamic systems ismainly analyzed，and the research on dynamics ofmixed-mode oscillations in the Pre-B?tC neural network，stellate cells of entorhinal cortex neurons，pituitary cells and gland cells is also introduced.Additionally，the investigation on mixed-mode oscillations of other neuronalmodels are briefly presented.All the works will provide a good foundation on further research on mixed mode oscillations of neuronalmodels in the future.

neuronalmodel， mixed mode oscillations， geometric singular perturbation theory， canard solution， relaxation oscillation

10.6052/1672-6553-2016-019

2015-12-11收到第1稿，2016-02-25收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11172103）

?通訊作者E-mail：mashqliu＠scut.edu.cn

Received 11 December 2015，revised 25 February 2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11172103）

?Corresponding author E-mail：mashqliu＠scut.edu.cn