與HA-凸函數(shù)有關(guān)的三個(gè)準(zhǔn)線性函數(shù)

時(shí)統(tǒng)業(yè),夏 琦,王 斌

(1.海軍指揮學(xué)院 信息系,南京 211800; 2.海軍蚌埠士官學(xué)校 航海系,安徽 蚌埠 233012)

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與HA-凸函數(shù)有關(guān)的三個(gè)準(zhǔn)線性函數(shù)

時(shí)統(tǒng)業(yè)1,夏 琦1,王 斌2

(1.海軍指揮學(xué)院 信息系,南京 211800; 2.海軍蚌埠士官學(xué)校 航海系,安徽 蚌埠 233012)

摘 要:給出了三個(gè)與HA凸函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義,前兩個(gè)來自于HA凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式,后一個(gè)來自于HA凸函數(shù)的定義.證明了它們的某種準(zhǔn)線性,從而證明了它們的單調(diào)性.

關(guān)鍵詞:HA凸函數(shù); 積分不等式; 單側(cè)導(dǎo)數(shù)

1　預(yù)備知識(shí)

設(shè)f是定義在區(qū)間I上的凸函數(shù),則對(duì)任意的a,b∈ I ,a＜b ,有著名的Hermite-Hadamard不等式:

或者等價(jià)地表述為

文[1]考查了由不等式(1)的差產(chǎn)生的函數(shù),即

并證明了: 對(duì)于任意a,b,c∈I ,a＜b＜c ,有

同時(shí)將H(f;a,b)和L(f;a,b)滿足不等式(2)、(3)的這一特性稱為準(zhǔn)線性.

文[2]研究了與幾何凹函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的準(zhǔn)線性,文[3]研究了與幾何凸函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的準(zhǔn)線性,文[4]研究了與GA-凸函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的準(zhǔn)線性,文[5,6]引入了HA-凸函數(shù)的概念.本文從HA-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式和HA-凸函數(shù)的定義出發(fā),定義與HA-凸函數(shù)有關(guān)的函數(shù),研究它們的準(zhǔn)線性和單調(diào)性.

定義1[7]設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義,f(x)在I上稱為是凸(凹)函數(shù),如果對(duì)任意x1,x2∈ I,λ∈(0,1),有

定義2[5,6]設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I(?(0,+∞))上的正值函數(shù),若對(duì)任意x1,x2∈ I和任意t∈[0,1],有

則稱f(x)為區(qū)間I上的HA-凸函數(shù).若(4)中的不等號(hào)反向,則稱f(x)為區(qū)間I上的HA-凹函數(shù).

引理[8]設(shè)f是定義在區(qū)間[a ,b](?(0,+∞))上的正值函數(shù),g(x)= xf(x),則f是[a ,b ]上的HA-凸函數(shù)的充要條件為: g是[a ,b ]上的凸函數(shù).

文[8]給出了HA-凸函數(shù)的一個(gè)Hermite-Hadamard型不等式

對(duì)任意0＜ a b＜,[a ,b ]上的正值函數(shù)f ,引入記號(hào):

若f是[a ,b ]上的上的HA-凸函數(shù)時(shí),則有

2　主要結(jié)果

定理1 設(shè)f是區(qū)間I上的HA-凸函數(shù),則對(duì)任意a,b ,c∈ I,a＜ b＜ c ,有

證明

由引理知,x f(x)是[a ,c ]上的凸函數(shù),于是

又因?yàn)閤lnx是(0,∞)上的凸函數(shù),于是

因此φ(a ,b;f)+φ(b ,c ;f)-φ(a ,c ; f)≤0,即φ(a ,b;f)+φ(b ,c ;f)≤φ(a ,c ;f).

推論1 設(shè)[a ,b]? (0,+∞),f :[ a ,b ]→(0,+∞)是HA-凸函數(shù),則φ(a ,x ; f)在[a ,b ]上單調(diào)增加,φ(x ,b ; f)在[a ,b ]上單調(diào)減少.

證明 設(shè)x1,x2∈ [ a ,b ],且x1＜ x2,則由定理1和式(5)得

即φ(a ,x ; f)在[a ,b ]上單調(diào)增加.同理可證,φ(x ,b ; f)在[a ,b ]上單調(diào)減少.

定理2 設(shè)f是區(qū)間I上的HA-凸函數(shù),則對(duì)任意a,b ,c∈ I,a＜ b c＜,有

證明

因?yàn)?/p>

故由HA-凸函數(shù)定義得

于是φ(a ,b ; f)+φ(b ,c ;f)-φ(a ,c ; f)≤0,即φ(a ,b ; f)+φ(b ,c ; f)≤φ(a ,c ; f).

推論2 設(shè)[a ,b]? (0,+∞),f :[ a ,b ]→(0,+∞)是HA-凸函數(shù),則φ(a ,x ; f)在[a ,b ]上單調(diào)增加,φ(x ,b ; f)在[a ,b ]上單調(diào)減少.

證明 類似于推論1的證明,這里從略.

定理3 設(shè)f是區(qū)間I上的HA-凸函數(shù),則對(duì)任意a,b ,c∈ I,a＜ b c＜,有

證明

其中

由HA-凸函數(shù)定義,得

兩式相加,得f(b)+ f(q)≤f(p)+ f(r),于是有θ(a ,b ; f)+θ(b ,c ; f)-θ(a ,c ; f)≤0,即

推論3 設(shè)[a ,b]?(0,+∞),f :[ a ,b ]→(0,+∞)是HA-凸函數(shù),則θ(a ,x ; f)在[a ,b ]上單調(diào)增加,θ(x ; b;f)在[a ,b ]上單調(diào)減少.

證明 類似于推論1的證明,這里從略.

注若f:[a,b]→(0,+∞)是HA-凹函數(shù),其它條件不變,則定理1～3結(jié)論中的不等號(hào)反向,而推論中函數(shù)的單調(diào)性改變.

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Quasi-linearity and the Monotonicity of Three Functions Related to HA-Convex Functions

SHI Tong-ye,XIA Qi,WANG Bin
(1.Department of Information,PLA Naval Command College,Nanjing 211800,China; 2.Department of Navigation,PLA Bengbu Naval Petty Officer Academy,Bengbu 233012,China)

Abstract:Three functions,generated by Hermite-Hadamard type inequality and the definition of HA-convex function,are given.Their quasi-linearity and monotonicity are proved.

Key words:HA-convex function,integral inequality,unilateral derivative

作者簡介:時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963?),男,河北張家口人,碩士,海軍指揮學(xué)院信息系副教授.主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)

收稿日期:2015-11-18

中圖分類號(hào):O178

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1672-5298(2016)01-0001-03