共形陣列MUSIC算法分辨力性能分析

劉　帥, 王　軍, 金　銘, 喬曉林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 信息與電氣工程學(xué)院, 264209 山東 威海)

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共形陣列MUSIC算法分辨力性能分析

劉帥, 王軍, 金銘, 喬曉林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 信息與電氣工程學(xué)院, 264209 山東 威海)

摘要:針對共形陣列分辨力性能分析問題,本文首先對錐面、柱面、球面等3種常見共形陣列進(jìn)行信號建模,并基于MUSIC算法實(shí)現(xiàn)共形陣列下極化-DOA參數(shù)的聯(lián)合估計(jì),然后通過MUSIC零譜的定義以及噪聲子空間投影矩陣的期望,給出MUSIC期望譜的具體表現(xiàn)形式,在此基礎(chǔ)上詳細(xì)分析推導(dǎo)了MUSIC算法在共形陣列中的分辨力門限;最后通過計(jì)算機(jī)仿真研究共形陣列分辨力門限理論值與仿真值的關(guān)系,以及共形陣列與均勻圓陣在分辨力性能上的差異,仿真結(jié)果顯示共形陣列的分辨力門限隨著信噪比的增加逐步降低，驗(yàn)證了理論分析的正確性．

關(guān)鍵詞:共形陣列;MUSIC零譜;分辨力

共形陣列是由共形載體上的共形輻射單元構(gòu)成的陣列,具有節(jié)省空間、滿足空氣動力學(xué)要求、充分利用孔徑等優(yōu)點(diǎn),因此在星載、機(jī)載、彈載及通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景．

目前對共形陣列的研究方向包括共形輻射單元設(shè)計(jì)及輻射特性研究[1-2],共形天線的分析和綜合優(yōu)化[3],共形陣列建模[4],參數(shù)估計(jì)性能分析[5],共形陣列參數(shù)估計(jì)算法[6-12],以及共形陣列波束形成算法[13]等．在共形陣列參數(shù)估計(jì)算法方面取得的研究成果有,文獻(xiàn)[4]利用歐拉旋轉(zhuǎn)變換完成了陣元極化方向圖在全局坐標(biāo)系下的表示,給出共形陣列信號模型;文獻(xiàn)[5]研究了共形陣列條件下,DOA(direction of arrival)參數(shù)估計(jì)的CRB(cramer-rao bound)以及MUSIC算法的理論精度;文獻(xiàn)[6]針對由偶極子構(gòu)成的錐面共形陣列,基于旋轉(zhuǎn)不變子空間思想,給出了相干源條件下的極化-DOA聯(lián)合估計(jì)方法;文獻(xiàn)[7]通過將柱面共形陣列劃分為多個(gè)子陣?yán)肕UISC算法實(shí)現(xiàn)了對二維DOA參數(shù)的估計(jì);文獻(xiàn)[8]利用四階累積量和ESPRIT(estimation of signal parameters via rotational invariant techniques, 旋轉(zhuǎn)不變子空間)算法實(shí)現(xiàn)了共形陣列條件下的盲極化DOA估計(jì);文獻(xiàn)[9]利用單曲率共形載體結(jié)構(gòu),通過合理布陣和坐標(biāo)系設(shè)置,提出一種適用于柱面和錐面共形陣列的極化-DOA聯(lián)合估計(jì)算法;文獻(xiàn)[10]利用多階次的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換將多分量線性調(diào)頻信號在變換域進(jìn)行分離,并結(jié)合傳播算子算法實(shí)現(xiàn)極化和DOA參數(shù)的估計(jì);文獻(xiàn)[11]利用虛擬陣列實(shí)現(xiàn)共形陣列幅相誤差校正,并利用虛擬陣列的特殊結(jié)構(gòu)快速實(shí)現(xiàn)對信源的DOA估計(jì); 文獻(xiàn)[12]將任意基線算法擴(kuò)展到三維陣列中,結(jié)合虛擬基線方法,利用子陣分割技術(shù)和矩陣求逆方法得到二維DOA估計(jì);文獻(xiàn)[13]基于共形陣列天線,通過主瓣波束保形約束,求解最優(yōu)響應(yīng)矢量,方法保持了期望的主瓣響應(yīng),并對陣列構(gòu)型具有穩(wěn)健性．

綜上可看出,在共形陣列參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域的研究內(nèi)容主要包括:信號建模[4],參數(shù)估計(jì)精度分析[5],不同條件下的參數(shù)估計(jì)算法[6-12]及波束形成算法[13]．在共形陣列性能分析方面,已有的研究成果[5]主要討論的是共形陣列對DOA參數(shù)的估計(jì)精度以及DOA參數(shù)估計(jì)的CRB．分辨力描述的是陣列對參數(shù)接近信號的分辨能力,是超分辨算法和共形陣列的一個(gè)重要性能,在已有文獻(xiàn)中并未發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的研究內(nèi)容．本文首先通過歐拉旋轉(zhuǎn)變化對共形陣列進(jìn)行建模;在此基礎(chǔ)上,通過MUSIC零譜的定義,推導(dǎo)了MUSIC算法在共形陣列中的理論分辨力門限;最后,通過仿真研究分析了分辨力門限理論值與仿真值之間的關(guān)系,以及共形陣列與平面陣列在分辨力性能上的差異．

1共形陣列信號模型

1.1共形陣列結(jié)構(gòu)

共形陣列的常見形式包括:錐面共形陣列,柱面共形陣列和球面共形陣列,其具體形式見圖1．由圖1可看出,與傳統(tǒng)平面布陣形式不同,共形陣列的立體布陣形式在充分利用載體縱向孔徑的同時(shí)符合空氣動力學(xué)要求,結(jié)合相應(yīng)的信號處理算法可以實(shí)現(xiàn)高精度參數(shù)估計(jì)以及優(yōu)越的分辨力性能．

(a)錐面共形陣列　　　　　　　　　　　　　(b)柱面共形陣列　　　　　　　　　　　(c)球面共形陣列

1.2共形陣列信號模型

考慮有M個(gè)信源入射到由N個(gè)單極化共形天線單元構(gòu)成的共形陣列上,則其接收信號模型為

(1)

(2)

(3)

(4)

共形陣列信號模型的關(guān)鍵是陣列導(dǎo)向矢量的建模,陣列導(dǎo)向矢量的具體形式為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(5)～(13)中: as(θi,φi)為導(dǎo)向矢量中的空域部分;ap(θi,φi,γi,ηi)為導(dǎo)向矢量中的極化部分;⊙為矩陣的Hadamard乘積;ki為入射信號方向矢量;ln為陣元空間位置;pki為全局極坐標(biāo)下,第i個(gè)入射信號極化矢量在第k個(gè)陣元上的投影;gk為第k個(gè)陣元極化方向圖的全局表示(方向圖旋轉(zhuǎn)變換的詳細(xì)過程見文獻(xiàn)[4]);ui為第i個(gè)入射信號的極化矢量．

與經(jīng)典陣列不同,共形陣列建模需要將共形天線單元的極化方向圖在全局坐標(biāo)系下表示,然后將入射信號的極化矢量在全局坐標(biāo)系下表示的陣元極化方向圖上投影,得到某個(gè)共形單元對入射信號的極化響應(yīng)．這也是共形陣列信號建模的關(guān)鍵．

(15)

(16)

(17)

2基于MUSIC的極化-DOA聯(lián)合估計(jì)

定義單極化陣元共形陣列的協(xié)方差矩陣為

(18)

對Rxx進(jìn)行特征值分解,有

(19)

(20)

共形陣列的極化-DOA聯(lián)合譜為

(21)

雙極化陣元共形陣列的MUSIC算法與單極化情況類似. 由式(21)可看出,極化-DOA參數(shù)的多參量估計(jì)是以(θ,φ,γ,η)四維聯(lián)合譜的形式給出的,正是通過對聯(lián)合譜零譜的定義推導(dǎo)出共形陣列條件下的理論分辨力門限．

3共形陣列MUSIC算法分辨力分析

3.1聯(lián)合譜分辨力定義

分辨力性能反映的是算法對兩個(gè)參數(shù)相近的信號源能否成功分辨的能力,是極化-DOA聯(lián)合譜估計(jì)算法的一項(xiàng)重要性能指標(biāo)．文獻(xiàn)[14]中的方法,以零譜的形式給出聯(lián)合譜分辨力的定義．

假設(shè)有兩個(gè)等功率,不相關(guān)且參數(shù)接近的信號源入射到共形陣列,入射參數(shù)分別為(θ1,φ1,γ1,η1)和(θ2,φ2,γ2,η2)．

(22)

定義聯(lián)合譜的零譜

(23)

對于聯(lián)合譜的零譜若有

(24)

成立,則稱聯(lián)合譜是可分辨的,對應(yīng)的分辨力為Δ=(|θ1-θ2|,|φ1-φ2|,|γ1-γ2|,|η1-η2|).

(25)

由式(24)可看出,聯(lián)合譜可以分辨的定義為兩個(gè)信號源參數(shù)中心位置處的譜值要低于兩個(gè)信號源處的譜值．式(22)～(25)給出的是理想情況下的分辨力描述．

3.2聯(lián)合譜分辨力分析

在實(shí)際應(yīng)用中,需要根據(jù)觀測到有限的快拍數(shù)據(jù)估計(jì)陣列的自相關(guān)矩陣,得到對噪聲子空間的估計(jì)．此時(shí)定義聯(lián)合譜零譜的估計(jì)值為

(26)

定義零譜的期望為

(27)

(28)

則稱聯(lián)合譜是可分辨的．

定義理想情況下噪聲子空間的投影矩陣為

(29)

定義噪聲子空間投影矩陣的估計(jì)值為

(30)

定義噪聲投影矩陣的誤差為

(31)

噪聲投影矩陣誤差的期望為

(32)

由文獻(xiàn)[15]可知

(33)

式中:K為快拍數(shù);N為陣元個(gè)數(shù),對單極化陣元共形陣列N為陣元數(shù),對雙極化陣元共形陣列N為2倍陣元數(shù);M為信號源個(gè)數(shù),在進(jìn)行分辨力討論時(shí)取M=2．式中其它符號定義為

(34)

式中:λ1,λ2與u1,u2為對理想陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解得到特征值及與其對應(yīng)的特征向量,理想?yún)f(xié)方差矩陣的定義為

(35)

(36)

其中

(37)

考察式(27)描述零譜期望值,并由式(32)可得

(38)

將式(36)代入式(38),并整理可得

φ,γ,η)+e1(θ,φ,γ,η)+e2(θ,φ,γ,η) .

(39)

其中

(40)

(41)

式(39)可知,在快拍數(shù)有限的情況下估計(jì)得到的聯(lián)合譜零譜的期望由3項(xiàng)構(gòu)成:聯(lián)合譜零譜,擾動項(xiàng)e1(θ,φ,γ,η)和e2(θ,φ,γ,η)．

考慮到Zmusic(θ1,φ1,γ1,η1)=0,在參數(shù)(θ1,φ1,γ1,η1)處聯(lián)合譜零譜的期望為

e2(θ1,φ1,γ1,η1) .

(42)

同理,在參數(shù)(θ2,φ2,γ2,η2)處聯(lián)合譜零譜的期望為

e2(θ2,φ2,γ2,η2) .

(43)

在(θm,φm,γm,ηm)處,聯(lián)合譜零譜的期望為

k2)]Zmusic(θm,φm,γm,ηm)+e1(θm,φm,γm,

ηm)+e2(θm,φm,γm,ηm) .

(44)

ηm)+e1(θm,φm,γm,ηm)+e2(θm,φm,γm,ηm).

(45)

根據(jù)式(28),信號可分辨的條件可寫為

Zmusic(θm,φm,γm,ηm)+e1(θm,φm,γm,ηm)+

e2(θm,φm,γm,ηm)>e1(θi,φi,γi,ηi)+

e2(θi,φi,γi,ηi),i=1,2 .

(46)

整理為

Zmusic(θm,φm,γm,ηm)>[e1(θi,φi,γi,ηi)-

e1(θm,φm,γm,ηm)]+[e2(θi,φi,γi,ηi)-

e2(θm,φm,γm,ηm)],i=1,2.

(47)

由文獻(xiàn)[15]可知,當(dāng)兩個(gè)信號源參數(shù)接近時(shí),e1(θi,φi,γi,ηi)-e1(θm,φm,γm,ηm)的影響可以忽略,因此式(47)可進(jìn)一步簡化為

Zmusic(θm,φm,γm,ηm)>[e2(θi,φi,γi,ηi)-

e2(θm,φm,γm,ηm)],i=1,2.

(48)

式中ZMusic(θm,φm,γm,ηm)為理想情況下,聯(lián)合譜的零譜在(θm,φm,γm,ηm)處的值．

由以上討論可知,在陣列形式一定的情況下,系統(tǒng)的分辨力性能主要取決于信噪比和快拍數(shù)．對入射參數(shù)接近的兩個(gè)信號源,若其聯(lián)合譜的零譜在(θm,φm,γm,ηm)處滿足式(48),則認(rèn)為這兩個(gè)信號源是可分辨的．在信噪比一定的情況下,可以由式(48)計(jì)算出成功分辨兩個(gè)信號所需的快拍數(shù),同樣在快拍數(shù)一定的情況下,也可由式(48)計(jì)算得到成功分辨兩個(gè)信號所需的信噪比．

4仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)1:考察基于共形陣列的極化-DOA聯(lián)合譜估計(jì)．

仿真中取圖2所示的柱面共形陣列,具體參數(shù)為:圓環(huán)陣個(gè)數(shù)3,每個(gè)圓環(huán)上由8個(gè)均勻分布的陣元構(gòu)成．每層圓環(huán)的半徑為3λ,圓環(huán)陣之間的高度為2λ．天線單元采用微帶貼片單元,方向圖為[4]

當(dāng)0≤θ≤π/2時(shí):

gθ(θ,φ)={J2[πdsin(θ)/λ]-

J0[πdsin(θ)/λ]}×(cosφ-jsinθ),

(49)

gφ(θ,φ)={J2[πdsin(θ)/λ]-

J0[πdsin(θ)/λ]}×cosθ(sinφ-jcosφ).

(50)

當(dāng)θ>π/2時(shí):

(51)

式中:J0為零階第一類貝塞爾函數(shù),J2為二階第一類貝塞爾函數(shù)．

圖2　單極化柱面共形陣列示意

仿真條件: 入射參數(shù)(θ1,φ1,γ1,η1)=(15°,50°,45°,90°),信噪比10 dB,快拍數(shù)500．由式(21)可得柱面共形陣列的極化-DOA聯(lián)合譜估計(jì)仿真結(jié)果見圖3．

(a) 角度切片上俯仰-方位聯(lián)合譜

(b)極化切片上極化角-極化相位聯(lián)合譜

為便于顯示,將仿真結(jié)果分別投影到角度切片和極化切片上顯示．角度切片是指固定搜索的極化參數(shù)與入射信號極化參數(shù)相同,在角度域(θ,φ)進(jìn)行二維搜索;極化切片是指固定搜索的角度參數(shù)與入射信號參數(shù)相同,在極化域(γ,η)進(jìn)行二維搜索．

對單極化柱面共形陣列,采用MUSIC算法得到對入射信號的聯(lián)合譜估計(jì)結(jié)果見圖3．由圖3(a)可看出,聯(lián)合譜算法在角度切片上得到了對入射信號DOA參數(shù)的估計(jì)結(jié)果為θ=15°,φ=50°,對應(yīng)的譜峰高度為25.8dB(圖3(a)所示的角度切片估計(jì)結(jié)果中X,Y,Z分別對應(yīng)θ,φ估計(jì)值和譜峰高度)．

由圖3(b)可看出,聯(lián)合譜算法在極化切片上得到對信號極化參數(shù)估計(jì)值為γ=45°,η=90°,對應(yīng)的譜峰高度為25.8dB(圖3(b)所示的極化切片估計(jì)結(jié)果中X,Y,Z,分別對應(yīng)γ,η估計(jì)值和譜峰高度)．

仿真實(shí)驗(yàn)2:考察由單極化陣元構(gòu)成的柱面共形陣列的分辨力．

仿真中取圖2的柱面共形陣列,其他仿真條件為:兩個(gè)窄帶獨(dú)立信號入射,參數(shù)分別為(θ1,φ1,γ1,η1)=(5°,50°,45°,90°),(θ2,φ2,γ2,η2)=(7°,52°,47°,92°),信噪比從10dB變換到35dB,由式(48)可計(jì)算出不同信噪比下分辨力門限的理論值;在不同信噪比條件下,獨(dú)立實(shí)驗(yàn)200次,定義成功分辨概率>90%時(shí)對應(yīng)的快拍數(shù)為分辨力門限,可得分辨力門限的仿真值,最終得到仿真結(jié)果見圖4．

圖4　柱面共形陣列分辨力門限

由圖4可看出,分辨力門限的理論值表現(xiàn)為隨著信噪比的增加,快拍數(shù)門限大致成指數(shù)規(guī)律下降;分辨力門限的仿真值與理論值的下降趨勢基本一致,且仿真值低于理論值．產(chǎn)生該結(jié)果的原因有以下兩點(diǎn): 1)在分辨力門限推導(dǎo)過程中采取了兩次近似(式(44)、(45),以及式(47)、(48)的近似處理); 2)仿真中給出的分辨力門限是指分辨成功率達(dá)到90%時(shí)所對應(yīng)的快拍數(shù),低于理論上成功分辨率為100%所需的快拍數(shù)．綜上,圖4所示的仿真結(jié)果證明了本文方法的正確性．

仿真實(shí)驗(yàn)3:考察球面共形陣列與均勻圓陣在分辨力性能上的差異．

仿真中取雙極化球面共形陣列見圖5,具體參數(shù)為:圓環(huán)陣個(gè)數(shù)3,由上至下每個(gè)圓環(huán)分布的陣元數(shù)為4、8、12,陣元之間均勻分布．球面的半徑為3λ,圓環(huán)陣之間的高度為λ．仿真中取雙極化均勻圓陣參數(shù)為:圓陣半徑3λ,雙極化陣元個(gè)數(shù)為24個(gè),均勻分布在圓周上．

仿真條件:兩個(gè)窄帶獨(dú)立信號入射,參數(shù)分別為(θ1,φ1,γ1,η1)=(60°,100°,80°,100°),(θ2,φ2,γ2,η2)=(64°,100°,80°,100°),快拍數(shù)為200,信噪比從0dB變化到30dB,獨(dú)立實(shí)驗(yàn)200次,統(tǒng)計(jì)分辨成功概率,可得仿真結(jié)果見圖6．

圖5　雙極化球面共形陣列示意

圖6　雙極化球面共形陣列與均勻圓陣分辨成功率

由圖6所示仿真結(jié)果可看出,對于球面共形陣列而言,在信噪比達(dá)到6dB時(shí)成功分辨率即達(dá)到100%;而均勻圓陣達(dá)到100%的成功分辨率需要的信噪比為24dB．產(chǎn)生以上結(jié)果的原因是,共形陣列可以充分利用載體的立體孔徑,在入射角θ較大時(shí),其有效孔徑基本不變;而平面布陣的均勻圓陣在入射角θ較大時(shí),其有效孔徑變得較小;兩種陣列在有效孔徑的變化使其分辨力性能表現(xiàn)出較大差異．

5結(jié)論

本文首先建立了單極化和雙極化共形陣列信號模型;在此基礎(chǔ)上通過MUSIC零譜、期望譜以及噪聲投影矩陣期望的定義,推導(dǎo)了共形陣列的理論分辨力門限;最后通過計(jì)算機(jī)仿真研究了分辨力門限理論值與實(shí)際值的關(guān)系,結(jié)果表明,由仿真和理論分析得到共形陣列快拍數(shù)門限,均隨著信噪比的增加逐漸下降,證明了理論分析的正確性;同時(shí),共形陣列與平面陣列的分辨力仿真結(jié)果表明,共形陣列可以充分利用載體的縱向孔徑,提高系統(tǒng)的分辨力性能．本文方法僅針對理想情況進(jìn)行討論,當(dāng)陣列存在幅相誤差時(shí)如何得到分辨力門限的理論值,還需進(jìn)一步的研究．

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(編輯王小唯苗秀芝)

Resolution performance analysis of MUSIC for conformal array

LIU Shuai, WANG Jun, JIN Ming, QIAO Xiaolin

(School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology (Weihai), 264209 Weihai, Shandong, China)

Abstract:For the purpose of conformal array resolution performance, the signal model of conformal arrays(conical conformal array, cylindrical conformal array, spherical conformal array) are built in this paper, and polarization-DOA estimation is realized based on MUSIC, through the definition of MUSIC null spectrum and expectation of noise subspace projection matrix.The expectation of MUSIC spectrum and the resolution threshold of MUSIC for conformal array are derived in detail. The resolution threshold relationship between theory and simulation, conformal array and uniform circle array are studied by computer simulation. Simulation results show that resolution threshold of conformal array is reduced gradually with the increment of SNR, and the correctness of theoretical analysis is certificated by the simulation.

Keywords:conformal array; MUSIC null spectrum; Resolution

中圖分類號:TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)05-0051-06

通信作者:王軍，hitwangjun@126.com.

作者簡介:劉帥(1980—),男,博士，副教授；喬曉林(1948—),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師．

基金項(xiàng)目:航天支撐基金(2012).

收稿日期:2014-12-23.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.05.007

金銘(1968—),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師;