總體最小二乘用于線陣衛(wèi)星遙感影像光束法平差解算

余岸竹，姜　挺，郭文月.3，秦進(jìn)春，江剛武

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 2. 西安測繪研究所，陜西 西安 710054； 3. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054

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總體最小二乘用于線陣衛(wèi)星遙感影像光束法平差解算

余岸竹1,3，姜挺1，郭文月1.3，秦進(jìn)春2,3，江剛武1

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 2. 西安測繪研究所，陜西 西安 710054； 3. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054

摘要：顧及像點觀測方程的系數(shù)矩陣中存在隨機(jī)誤差，提出了基于總體最小二乘的線陣衛(wèi)星遙感影像光束法平差模型。在假定像點觀測誤差和系數(shù)矩陣誤差均為獨(dú)立、等精度分布的基礎(chǔ)上，利用拉格朗日條件極值法推導(dǎo)了包含外方位元素虛擬觀測方程和控制點誤差方程的總體最小二乘光束法平差算法的具體公式和計算方法。該方法利用方差分量估計確定各類虛擬觀測值的方差，可求解包含多類虛擬觀測量的平差問題，并可用先驗信息或嶺跡法確定系數(shù)矩陣觀測值的權(quán)比例系數(shù)，從而克服了現(xiàn)有總體最小二乘虛擬觀測方法不能處理多類虛擬觀測值的不足，確保了光束法平差可正確有效求解。分別利用模擬算例與兩組真實影像進(jìn)行了試驗驗證。結(jié)果表明，相比于常規(guī)最小二乘虛擬觀測法以及現(xiàn)有總體最小二乘虛擬觀測方法，本文方法具有更高的求解精度與適應(yīng)性。相較于傳統(tǒng)線陣衛(wèi)星遙感影像光束法平差方法，本文方法可以獲得更高的平差計算精度。

關(guān)鍵詞：線陣遙感影像；虛擬觀測方程；總體最小二乘；光束法平差；嶺跡法

光束法區(qū)域網(wǎng)平差是線陣衛(wèi)星遙感影像有地面控制條件下幾何定位的重要方法。其基本思想是利用地面控制點坐標(biāo)及其對應(yīng)像點觀測值等測量數(shù)據(jù)，同時求解成像傳感器的外方位元素和地面點的三維坐標(biāo)[1]。當(dāng)前，常規(guī)的光束法平差方法中均利用Gauss-Markov模型描述像點觀測方程的函數(shù)模型，即假定函數(shù)模型已知、非隨機(jī)，且觀測值中僅含有隨機(jī)誤差。在此基礎(chǔ)上引入外方位元素的虛擬觀測方程以及控制點誤差等方程，利用最小二乘法化迭代求解未知數(shù)[2]。但是，在像點觀測方程中，觀測向量以及描述函數(shù)模型的系數(shù)矩陣均由觀測值組成，即兩者均包含隨機(jī)誤差。此時，Gauss-Markov模型并不嚴(yán)格成立，常規(guī)的光束法平差計算方法雖在應(yīng)用中切實可行，但是理論上不夠嚴(yán)密。

近些年來，國內(nèi)外學(xué)者針對系數(shù)矩陣含有隨機(jī)誤差的函數(shù)模型進(jìn)行了研究，引入了EIV(errors in variables)模型描述隨機(jī)誤差，并研究了基于該模型的總體最小二乘方法[3-8]，已在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[9-11]、面陣影像空間后方交會[12]以及影像去噪[13]等方面得到了成功的應(yīng)用。但是現(xiàn)有加權(quán)總體最小二乘難以直接應(yīng)用于光束法平差計算，主要原因是光束法平差模型中僅有像點觀測方程的系數(shù)矩陣包含隨機(jī)誤差，虛擬觀測方程以及控制條件方程的設(shè)計矩陣均為單位陣，二者仍然滿足Gauss-Markov條件?，F(xiàn)存解決思路是將虛擬觀測方程視為含約束條件的總體最小二乘[14]，或者將EIV模型轉(zhuǎn)化為方差含參數(shù)的Gauss-Markov模型利用自由極值法推導(dǎo)包含虛擬觀測方程的總體最小二乘解[16]，但是這兩種解決思路均假定觀測向量隨機(jī)誤差與系數(shù)矩陣隨機(jī)誤差為等精度觀測量，且后者僅能處理虛擬觀測為等精度觀測的情形。能否合理給定各類觀測值的權(quán)值，是線陣衛(wèi)星遙感影像的光束法平差計算正確與否的重要前提，因而這兩類思路難以直接應(yīng)用于光束法平差計算。

本文擬引入EIV模型描述像點觀測的函數(shù)模型，結(jié)合外方位元素虛擬觀測方程與控制點誤差方程，利用條件極值原理推導(dǎo)可處理多類虛擬觀測值的總體最小二乘方法，基于該方法實現(xiàn)線陣衛(wèi)星遙感影像的光束法區(qū)域網(wǎng)平差計算，之后分別使用模擬平差算例與兩地區(qū)真實影像對本文方法與現(xiàn)有算法進(jìn)行對比試驗驗證。

1基于總體最小二乘的光束法平差算法

1.1光束法平差的數(shù)學(xué)模型

光束法平差的誤差方程主要包括像點觀測方程、外方位元素的虛擬觀測方程以及控制點的誤差方程。其數(shù)學(xué)模型可以表示為

(1)

常規(guī)光束法計算方法是直接利用最小二乘估計法化求解式(1)，但是式中的像點觀測方程是由共線條件方程經(jīng)線性化得到，且系數(shù)矩陣本身由外方位元素、地面控制點坐標(biāo)和內(nèi)方位元素共同求得，因此矩陣C、KG和KT中均包含隨機(jī)誤差，直接利用最小二乘進(jìn)行光束法平差計算并不嚴(yán)密。此時，需要引入EIV模型對像點觀測方程進(jìn)行描述，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建基于總體最小二乘的光束法平差模型。

1.2基于總體最小二乘的光束法平差模型

式(1)中的像點觀測方程可利用Gauss-Markov模型表示為

L+e1=AX

(2)

L+e1=(A+EA)X

(3)

式(1)中的外方位元素虛擬觀測方程與控制條件方程雖然屬兩類不同方程，但是在形式上一致，可將兩式聯(lián)立并表示為關(guān)于X的方程

L2+e2=CX

(4)

1.3基于總體最小二乘的光束法平差計算方法

基于總體最小二乘的光束法平差模型中，共包括像點觀測誤差、虛擬觀測誤差和系數(shù)矩陣誤差三類，根據(jù)極值條件原理可得如下目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

(5)

根據(jù)Kronecker積的性質(zhì)可知[15]

(6)

為使式(5)取得極小值，根據(jù)極值定理得到方程組

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式(9)的等價形式為

(12)

(13)

可以解出

(14)

由式(10)可知

(15)

(16)

則未知數(shù)向量可計算為

(17)

(2) 按方差分量估計法確定各類觀測方程的方差[17]，并確定P2。其中，P2為分塊對角陣，由虛擬觀測值類型確定其具體形式。

(4) 計算

式(17)中，CTP2C是一個對角陣，對角線的非零元素是P2的權(quán)值，因而CTP2C與廣義嶺估計矩陣等價，此時F(k)是一個增益系數(shù)，可用于調(diào)整P2中各分量的大小以保證病態(tài)問題的穩(wěn)定求解。

2試驗與分析

為驗證本文方法的正確性與有效性，將利用模擬數(shù)據(jù)和真實線陣衛(wèi)星遙感影像對本文方法進(jìn)行驗證。由于式(17)中參數(shù)需要確定參數(shù)k的取值，因而在試驗中將文方法分成兩種情況討論：第1種按照先驗信息確定參數(shù)，稱為本文方法1；第2種從解算病態(tài)問題的角度出發(fā)，利用嶺跡法確定參數(shù)k的值，稱為本文方法2。

在模擬試驗中，將分別對常規(guī)最小二乘算法(least squares algorithm,LS)[18]、基于最小二乘的虛擬觀測法(least squares based virtual observation method,LSVO)[17]、文獻(xiàn)[16]中的基于總體最小二乘的虛擬觀測法(total least squares based virtual observation method,TLSVO)方法和本文方法進(jìn)行試驗，用于對比幾種方法的單次平差計算精度。

由于TLSVO方法僅能處理單類虛擬觀測值的情況，且需要嶺跡法確定參數(shù)，難以處理對權(quán)值依賴較高的光束法平差計算，因而在真實線陣衛(wèi)星遙感影像試驗中，僅將慣用光束法平差方法LSVO和本文方法1進(jìn)行比較。

2.1模擬試驗

本試驗用于驗證本文方法在單次解算中的性能，試驗算例仍然采用文獻(xiàn)[16]中的平差算例。該算例在給定系數(shù)矩陣、觀測向量和未知數(shù)真值后，分別在系數(shù)矩陣和觀測向量中加入隨機(jī)誤差，并進(jìn)行平差計算，將平差解算得到的未知數(shù)估計量與未知數(shù)真值進(jìn)行比較，以二者的偏差平方和作為計算精度的比較依據(jù)。原始系數(shù)矩陣A0、觀測向量L0和真值X0分別為

試驗中利用嶺跡法確定TLSVO算法中的準(zhǔn)則參數(shù)λ，并令虛擬觀測向量L2=0。LSVO法與本文兩類方法試驗中，均利用驗后方差分量估計方法確定實際觀測量與虛擬觀測量的方差，進(jìn)而確定兩類觀測方程的權(quán)值。為減少主觀因素對試驗的影響，試驗中TLSVO算法參數(shù)λ和本文方法2的參數(shù)k分別在各未知數(shù)變化趨于穩(wěn)定的區(qū)間內(nèi)取為

(18)

表1　不同方法平差計算結(jié)果

由本算例的計算結(jié)果可知，引入虛擬觀測方程后，LSVO算法的計算精度優(yōu)于LS算法，主要因為虛擬觀測方程的引入改善了原法方程的病態(tài)程度，從而提高了平差計算的穩(wěn)定性與精度。本文方法2與TLSVO算法的平差精度相當(dāng)，略高于本文方法1；3種方法的計算精度均優(yōu)于LSVO算法，這是因為這3種方法均顧及了系數(shù)矩陣中存在的偶然誤差，從而有更高的平差精度，這也體現(xiàn)出EIV模型在平差計算中的優(yōu)勢。本文方法1中F(k)雖由精度確定，但并非處理病態(tài)問題時的最優(yōu)增益值，因而并不能確保處理病態(tài)問題時取得最高的估計精度。

圖1　本文方法嶺跡圖Fig.1　Ridge trace of proposed algorithm

圖2　估計偏差隨參數(shù)k變化曲線Fig.2　Change curve of bias with parameter k

從表2與圖3的結(jié)果可知，在第3、第6、第7和第10組試驗中，本文方法1和本文方法2的計算結(jié)果基本相當(dāng)；本文方法1在大多數(shù)情況下精度優(yōu)于TLSVO算法，部分情況下略低于TLSVO的解算精度；TLSVO算法部分情況下也能達(dá)到本文方法2的解算精度，但是結(jié)果并不穩(wěn)定，在第7組試驗中解算精度甚至低于LSVO算法；本文方法2在所有試驗中均得到最高的參數(shù)估計精度，相比于本文方法1，該方法從處理病態(tài)問題的角度確定了最優(yōu)的k值， 在處理病態(tài)問題時有一定優(yōu)勢。

圖3　4種方法在10組試驗中的偏差差值Fig.3　The difference of biases from 4 algorithms in 10 experiments

‖ΔX‖2試驗組12345678910σ200.10.10.20.20.30.30.40.40.50.5LSVO1.40831.00370.96721.11761.10770.83220.94071.19911.05040.9555TLSVO1.22690.89820.83041.02120.88890.77571.02111.07030.95260.9412本文方法11.13040.91180.82100.98770.89210.77700.85100.95570.95500.8271本文方法21.05510.89820.81860.98130.82180.77570.85060.89480.90220.8261

然而在實際光束法平差的迭代計算中，需快速選擇待定參數(shù)，減少主觀因素對結(jié)果的影響，如采用嶺跡法確定各次迭代的待定參數(shù)，則會造成運(yùn)算效率的顯著下降。實際光束法平差中應(yīng)依據(jù)先驗知識確定參數(shù)k的取值，即使用本文方法1進(jìn)行光束法平差計算，適當(dāng)放寬精度要求，提高計算的效率與自動化水平。

2.2真實數(shù)據(jù)試驗

本試驗用于驗證本文方法在真實線陣衛(wèi)星遙感影像光束法平差中的計算精度，將分別采用河南某地(圖4(a))與中國西部某地(圖4(b))的SPOT-5 HRS影像進(jìn)行驗證。河南地區(qū)影像以平原地為主，包括部分山區(qū)，范圍內(nèi)共包含45個均勻分布的地面控制點。西部某地影像所攝地區(qū)以丘陵地形為主，由于地物特征不明顯，該影像范圍內(nèi)僅包含10個地面控制點。兩幅影像內(nèi)控制點均由外業(yè)測量并通過內(nèi)業(yè)人工量測得到，量測精度在1個像元左右。

SPOT-5衛(wèi)星配備了高精度的定軌和定姿設(shè)備，因而可利用衛(wèi)星輔助數(shù)據(jù)將成像時刻的瞬時外方位元素XSt、YSt、ZSt、φt、ωt和κt表示為[19-20]

圖4　SPOT-5 HRS影像控制點分布示意圖Fig.4　Distribution of ground control points for SPOT-5 HRS images

(19)

式中，t0為中心行成像時刻；XS、YS、ZS、φ、ω和κ表示利用輔助數(shù)據(jù)內(nèi)插與轉(zhuǎn)化計算得到的t時刻的外方位元素量測值；XO、YO和ZO為外方位線元素偏移量；a0、b0和c0分別為3個角元素的偏移量；a1、b1和c1分別為角元素的漂移改正量。對于由m張影像的構(gòu)成的區(qū)域網(wǎng)而言，式(1)中矩陣C是將每張影像的外方位元素表示為式(19)后，代入線陣影像共線條件方程，經(jīng)線性化計算得到，改正數(shù)Δ中含9m個未知數(shù)。

(20)

將兩組影像數(shù)據(jù)分別按照式(1)列出像點觀測方程、外方位元素虛擬觀測方程和控制點的誤差方程。由于缺少系數(shù)矩陣觀測量精度的先驗信息，試驗中取k=1。分別利用慣用方法(LSVO)和本文方法進(jìn)行光束法平差運(yùn)算，所得試驗結(jié)果如表3和表4所示，影像1中的3種試驗方案中控制點分布依次為：4個角點、4個角點和1個中心點以及9個標(biāo)準(zhǔn)點位；影像2中控制點數(shù)量有限，因此僅比較控制點數(shù)為4個、5個和6個3種情況下兩種方法光束法平差結(jié)果的差異。

表3　河南某地SPOT-5 HRS影像光束法平差計算結(jié)果

由真實影像試驗結(jié)果可知：

(1) 在河南地區(qū)影像試驗中，按本文方法1進(jìn)行光束法平差計算后，平面精度和高程精度均優(yōu)于常規(guī)平差LSVO算法1 m左右；在西部地區(qū)影像試驗中，本文方法1的平面精度高于LSVO算法0.5 m左右，高程精度優(yōu)于LSVO算法1 m以上。這說明了本文所提出方法有更高的平差計算精度，與模擬數(shù)據(jù)試驗的結(jié)論一致。

(2) 河南地區(qū)影像試驗中，當(dāng)4個角控制點參與平差時，兩者平差結(jié)果相差最大，隨著控制點數(shù)量的增加，兩種方法平差結(jié)果的差距逐漸減?。辉谖鞑康貐^(qū)影像試驗中，也有相同的結(jié)論。這表明控制點數(shù)量的增加對常規(guī)方法的精度提升更為顯著，當(dāng)控制點數(shù)量較少時，本文方法1的優(yōu)勢更為明顯。

(3) 在3種控制點布設(shè)方案下，河南地區(qū)影像的光束法平差計算精度提升并不顯著；當(dāng)增設(shè)中心點后，檢查點的平面精度略有下降，這表明該試驗中的部分控制點精度較低，主要因為對控制點進(jìn)行量測時，部分地面點難以辨識。盡管誤差方程中引入了控制點的誤差方程，但是試驗未采用選權(quán)迭代等方法降低質(zhì)量較差的控制點對試驗結(jié)果的影響。如要進(jìn)一步提高光束法平差計算的精度，需要引入抗差估計法對平差模型進(jìn)行改進(jìn)，并引入系統(tǒng)誤差參數(shù)進(jìn)行自檢校光束法平差，這是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

3結(jié)論

本文顧及光束法平差中像點觀測方程的誤差特性，引入EIV模型描述該方程中的觀測誤差和系數(shù)矩陣誤差，利用條件極值原理推導(dǎo)了基于總體最小二乘的線陣衛(wèi)星遙感影像光束法平差計算方法。模擬試驗結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)方法，本文方法在單次平差計算中即可獲得較高的平差計算精度。在真實影像試驗中，本文方法的光束法平差計算精度優(yōu)于常規(guī)算法，是線陣影像光束法平差計算的一條新的途徑。然而，本文方法仍有不足之處需要完善，比如實際光束法平差計算中，參數(shù)k的確定存在一定的主觀性，而該參數(shù)取值直接影響到平差結(jié)果，當(dāng)從系數(shù)矩陣觀測精度的角度或者改善法方程病態(tài)狀況的角度出發(fā)，對k值的選取進(jìn)行優(yōu)化。此外，本文方法未考慮控制點中存在粗差的情況，且未引入系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行自檢校光束法平差試驗。如要將本文方法進(jìn)行實際應(yīng)用，還需要提高算法的計算效率。這些都是今后研究的重點內(nèi)容。

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(責(zé)任編輯：叢樹平)

修回日期： 2015-10-15

First author： YU Anzhu(1989—), male, PhD candidate, majors in high precision photogrammetric point determination theory and method.

E-mail： anzhu_yu@126.com

Bundle Adjustment for Satellite Linear Array Images Based on Total Least Squares

YU Anzhu1,3,JIANG Ting1,GUO Wenyue1,3,QIN Jinchun2,3,JIANG Gangwu1

1. Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450052, China; 2. Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping, Xi’an 710054, China; 3. State Key Laboratory of Geo-information Engineering, Xi’an 710054, China

Abstract：Since the coefficient matrix of image point observation equations may contain random error, it is proposed that a bundle adjustment method for satellite linear array CCD imagery based on total least squares. Assuming that both point observation random error and the coefficient matrix random error are independent and identically distributed, a total least squares based bundle adjustment algorithm, which contains both virtual observation equations of exterior elements and error equations of ground control points, has been deduced using Lagrange conditional extremum. The variance of any type of virtual observation equation can be estimated using variance component estimation. Thus the proposed method can handle with adjustment problems with more than one type of virtual observation equation and chose the undetermined coefficient in proposed method using priori information or the ridge mark method, which overcomes the deficiency of existing virtual observation total least squares method and ensures that the adjustment problems can be solved correctly and effectively. Experiments have been taken on both simulative data and real satellite linear array images in two areas. Results indicate that the proposed method can get more accurate solutions than traditional least squares algorithm and recently proposed virtual observation total least squares method. The proposed method can also get more accurate bundle adjustment results when compared to conventional method.

Key words：linear array images;virtual observation equation;total least squares; bundle adjustment; ridge mark method.

第一作者簡介：余岸竹(1989—)，男，博士生，研究方向為航空航天高精度目標(biāo)定位理論與方法。

收稿日期：2015-07-06

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41471387;41201477;41301526;41501506);地理信息工程國家重點實驗室開放研究基金(SKLGIE2015-M-3-1;SKLGIE2015-M-3-2)

中圖分類號：P236

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)04-0442-08

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41471387; 41201477; 41301526; 41501506); The Open Research Foundation of State Key Laboratory of Geo-information Engineering (Nos. SKLGIE2015-M-3-1; SKLGIE2015-M-3-2)

引文格式：余岸竹，姜挺，郭文月,等.總體最小二乘用于線陣衛(wèi)星遙感影像光束法平差解算[J].測繪學(xué)報，2016,45(4)：442-449,457. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150354.

YU Anzhu,JIANG Ting,GUO Wenyue,et al.Bundle Adjustment for Satellite Linear Array Images Based on Total Least Squares[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(4):442-449,457. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150354.