極限理論在高等數學教學中的作用

古力加馬力·依斯馬義

在高等數學教學的過程中，想要將微積分理論弄清楚，就必須要將極限理論進行透徹的分析.因此，在某種意義上，對極限理論的理解能夠為高等數學的學習打下堅實的基礎.極限理論是一種研究事物動態(tài)數量關系的方法，它是高等數學理論基礎的重要組成部分，是區(qū)別初等數學和高等數學的重要標志.極限理論在高等數學中扮演著極為重要的角色，對函數連續(xù)的概念、導數和微積分等定義的確定有著十分重要的作用.

一、極限理論的發(fā)展歷程

高等數學是現代科學技術中應用最為廣泛的一門學科，是現代數學的基礎.高等數學要對靜態(tài)數量關系和動態(tài)數量關系進行研究和分析，在這一背景下，極限作為一種研究事物的方法應運而生.在我國，無限分割是最早出現的極限思想，我國數學家劉徽提出了以割圓術的方法來求圓的面積，后來，數學家祖沖之也通過割圓術計算圓的面積，并將圓周率精確到小數點后7位.隨著歷史的推進，數學家波爾查諾最早提出用極限理論方法在區(qū)間上進行連續(xù)的方法，而經過數學家維爾斯特拉斯和柯西的努力，極限理論擺脫了幾何直觀和想象，變得更加成熟，逐漸形成了現在一系列的極限理論.

二、極限理論在高等數學教學中的作用

1.高等數學的重點內容中均包含著極限思想

在高等數學的領域中，微積分無疑是其最核心的內容，而微分和積分的實質就是極限思想.同時，在高等數學其他重要的概念里，函數連續(xù)概念和導數的定義都是極限思想給出.可以說，高等數學的重點內容中均包含著極限思想.

（1）函數連續(xù)概念. 函數連續(xù)的概念是由極限思想定義的.如果簡單地從圖形上來看，連續(xù)函數就像是坐落在坐標系上的連綿山脈.但是這種直觀的感受并不精確，直到數學家柯西和維爾斯特拉斯建立了基本的極限理論，函數連續(xù)的概念才得到了精確的定義.可以說，函數連續(xù)概念也是極限理論的一種表現形式.

（2）導數. 導數的定義以極限為基礎，也是極限理論的一種表現形式.在最初，一位法國數學家在研究極值問題時提出了導數的概念，而在之后的研究過程中，先后有德國數學家和英國數學家在求已知曲線的切線和研究物體運動速度時建立了相同的模型來解決問題.盡管這兩個研究課題在形式上并不相同，甚至不是同一個領域的問題，但是他們都可以在極限理論的基礎上，利用導數的定義來解決問題.

（3）微積分. 積分有定積分、不定積分、多重積分和曲面積分等多種形式，不定積分是利用導數的反運算性質來推導的定義，而導數又是以極限理論為基礎的.因此，不定積分也是極限理論的表現形式.另外，其他形式的一些積分形式都是由極限直接定義的.例如定積分的研究，數學家在研究曲邊梯形的面積和變力作功時，引入了定積分的定義，它是一種經過“分割，近似求和，取極限”的求解方式，是一種較為特殊的極限.

2.極限使高等數學的各部分得到統(tǒng)一

在高等數學的學習中，極限方法是一種研究數學變量問題的基本方法，它使人們從有限認識到無限認識.在某種意義上，極限理論體現了常量和變量的對立統(tǒng)一，是一種將客觀世界的量變問題轉換成質變過程的理論，它可以將函數連續(xù)概念、導數和微積分等高等數學的各部分進行統(tǒng)一處理.例如，在正項級數和極限的關系中，正項級數的序列成單增態(tài)勢，因此根據單調有界函數必有極限的性質，在進行項級數討論時，學生可以利用取絕對值的方法，將其轉化成正項級數或非負項級數，并解出正確答案.

這說明級數與無窮限廣義積分之間可相互轉換.

由此可見，在高等數學學習的各個部分，都可以在極限的本質“其差值為無窮小量”的基礎上來進行定義的轉換，極限理論的出現和使用，使高等數學的各部分有機地統(tǒng)一在一起，更好地幫助學生的學習和理解.

綜上所述，極限理論是高等數學教學中最基礎的知識，也是高等數學中最重要的內容.極限理論為微積分的教學打下了堅實的基礎，它是一門以極限理論為主要研究工具來研究函數的學科.因此，教師在教學過程中要注重對學生極限思考的鍛煉，幫助學生理清極限理論的重要概念，使學生能夠掌握極限理論的實質性問題，從而更好地強調極限理論在高等數學中的地位.