動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖象

左加亭

動(dòng)點(diǎn)問題是最近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，所謂“動(dòng)點(diǎn)問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們在線段、射線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.

解決函數(shù)圖象中的動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，首先要抓住動(dòng)點(diǎn)的瞬間狀態(tài)，或者相對靜止時(shí)的狀態(tài)，再尋找它們的數(shù)量關(guān)系，以及幾何圖形的相對位置關(guān)系，做到動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.

例1 （2015黔南州卷）如圖1，在矩形MNPQ中，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M處停止.設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程為x，△MNR的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則當(dāng)x=9時(shí)，點(diǎn)R應(yīng)運(yùn)動(dòng)到（ ）

A.M處 B.N處 C.P處 D.Q處

精析 根據(jù)三角形的面積變化情況，可得R在PQ上時(shí)，三角形面積不變，可得答案.

解答 點(diǎn)R在NP上時(shí)，三角形面積增加，點(diǎn)R在PQ上時(shí)，三角形面積不變，點(diǎn)R在QM上時(shí)，三角形面積變小，點(diǎn)R在Q處，三角形面積開始變小.故選D.

點(diǎn)撥 本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象，利用三角形面積的變化確定R的位置是解題的 關(guān)鍵.

例2 （2015荊州卷）如下圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BC-CD-DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；另一動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（ ）

精析 首先根據(jù)正方形的邊長與動(dòng)點(diǎn)P、Q的速度可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q始終在AB邊上，而動(dòng)點(diǎn)P可以在BC邊、CD邊、AD邊上，再分三種情況進(jìn)行討論：①0≤x≤1；②1

解答 由題意可得BQ=x.①0≤x≤1時(shí)，P點(diǎn)在BC邊上，BP=3x，則△BPQ的面積為BP·BQ，則y=·3x·x=x2，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；②1

點(diǎn)撥 本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵.

例3 （2015本溪卷）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)C向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，已知兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，連接PM、PN、MN，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△PMN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（ ）

精析 首先連接CP，根據(jù)點(diǎn)P是斜邊AB的中點(diǎn)，可得S△ACP=S△BCP=S△ABC；然后分別求出出發(fā)時(shí)，點(diǎn)N到達(dá)BC的中點(diǎn)、點(diǎn)M也到達(dá)AC的中點(diǎn)時(shí)，結(jié)束時(shí)，△PMN的面積S的大小，即可推得△PMN的面積大小變化情況是：先減小后增大，而且是以拋物線的方式變化，據(jù)此判斷出△PMN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象大致是哪個(gè)即可.

解答 連接CP，如下圖：

∵ 點(diǎn)P是斜邊AB的中點(diǎn)，

∴ S△ACP=S△BCP=S△ABC，出發(fā)時(shí)，S△PMN=S△BCP=S△ACP.

∵ 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，

∴ 點(diǎn)N到達(dá)BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M也到達(dá)AC的中點(diǎn)，

∴ 此時(shí)S△PMN=S△ABC.

結(jié)束時(shí)，S△PMN=S△ACP=S△ABC.

故△MPQ的面積大小變化情況是：先減小后增大，而且是以拋物線的方式變化，

∴△PMN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象大致是：

故選A.

點(diǎn)撥 此題主要考查兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會識圖.

（編輯 孫世奇）