2維聲學(xué)黑洞與1維流體的對(duì)應(yīng)研究

楊曉煥, 顏 駿, 陳海霖, 余 毅

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院， 四川 成都 610066)

2維聲學(xué)黑洞與1維流體的對(duì)應(yīng)研究

楊曉煥, 顏 駿*, 陳海霖, 余 毅

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院， 四川 成都 610066)

研究2維聲學(xué)黑洞與1維流體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在流體力學(xué)方程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)聲學(xué)度規(guī)的表達(dá)式,獲得了2維dilaton引力模型中的一些精確黑洞解.計(jì)算了1維流體中的能量密度ρ，速度ν和驅(qū)動(dòng)勢(shì)f，還分析和討論了這些流體參量的物理性質(zhì)．

2維引力； 聲學(xué)黑洞； 引力-流體對(duì)應(yīng)

高維時(shí)空中的引力方程難以求解，2維引力中的場(chǎng)方程相對(duì)簡(jiǎn)單，因此2維引力可以為研究高維空間中的廣義相對(duì)論提供理想實(shí)驗(yàn)室.2維引力與理論物理中的弦理論和共形場(chǎng)論有密切關(guān)系,還與純數(shù)學(xué)理論中的幾何拓?fù)鋵W(xué)和調(diào)和映照有一定的聯(lián)系.近年來(lái),2維引力作為一種Toy模型,有助于人們對(duì)4維引力模型及其量子化深人理解,因此對(duì)它的研究具有積極的理論意義.在20世紀(jì)80年代初,物理學(xué)家已開(kāi)始著手研究2維引力及其相關(guān)的量子Liouville理論,分別在光錐規(guī)范、共形規(guī)范下深入研究了2維引力問(wèn)題,并在矩陣模型的框架下獲得了2維量子引力模型的一些精確解.這些解極大地豐富了人們對(duì)弦理論、共形場(chǎng)論甚至臨界現(xiàn)象的進(jìn)一步理解,因此,從各個(gè)不同側(cè)面深入研究2維引力模型就顯得非常必要了.

2維引力的物理性質(zhì)已經(jīng)得到了充分研究[1-12].描述2維時(shí)空中黑洞的精確的共形場(chǎng)論是在WZW模型中發(fā)展起來(lái)的，2維dilation引力理論已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于研究黑洞的蒸發(fā)問(wèn)題.此外，2維高階引力模型、2維引力的可積與可解性質(zhì)已分別在共形規(guī)范和光錐規(guī)范下得到分析.另一方面，在平坦的2維時(shí)空中存在一種非線性標(biāo)量場(chǎng)的作用模型,即sine-Gordon模型,這一模型中存在孤子解.因此,人們自然希望研究2維引力和sine-Gordon物質(zhì)場(chǎng)的相互作用，通過(guò)CGHS模型的框架研究sine-Gordon物質(zhì)場(chǎng)作用下的黑洞解.文獻(xiàn)[13-16]發(fā)現(xiàn)了2維引力模型中的sine-Gordon孤子解和sinh-Gordon時(shí)空帶解.

由于天體物理中黑洞表面溫度極低，其霍金輻射非常微弱，因此目前尚未觀察到這一物理效應(yīng).另外，無(wú)論在早期宇宙殘留物中尋找小型黑洞或者是在粒子物理對(duì)撞機(jī)中制造出微黑洞，在短期內(nèi)這些探索的成功機(jī)率都很小.由于聲波在不均勻流體中的傳播性質(zhì)和光波在彎曲空間中的傳播性質(zhì)非常相似，所以在流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)中可較容易模擬黑洞的物理性質(zhì).

1 流體力學(xué)中的聲學(xué)度規(guī)

流體力學(xué)的基礎(chǔ)方程是連續(xù)性方程

?tρ+·(ρν)=0,

(1)

和Euler方程[17]

(2)

式中，ρ為流體密度，ν是流體速度，F(xiàn)=-P,P是壓力，F(xiàn)是壓力P產(chǎn)生的力密度，這時(shí)流體假定沒(méi)有粘滯性.根據(jù)速度矢量的關(guān)系式

引入速度式ν=-φ,那么Euler方程變?yōu)?/p>

?tν=ν×(×ν)-

(3)

(4)

在流體中當(dāng)振動(dòng)很小和速度很小時(shí)，那么流體中的壓強(qiáng)和密度相對(duì)變化也很小，這時(shí)p和ρ可以表示為p=p0+p1,ρ=ρ0+ρ1,p0和ρ0分別代表流體中平衡密度和平衡壓強(qiáng)，p1和ρ1表示圍繞平衡的微小漲落.當(dāng)漲落的二階小量忽略后，那么線性化處理后的速度勢(shì)所滿足的波動(dòng)方程為?t2φ=c22φ,這里c表示聲速.

根據(jù)連續(xù)性方程(1)式得到

?tρ0+·(ρ0ν)=0,

(5)

?tρ1+·(ρ1ν0+ρ0ν1)=0.

(6)

并且h(p)可展開(kāi)為

h(p)=h(p0+ε1+O(ε2))=

(7)

如果忽略流體的牛頓引力勢(shì)和外力的驅(qū)動(dòng)，那么只剩下流體壓強(qiáng)產(chǎn)生的作用力，這時(shí)利用(7)式對(duì)Euler方程(4)進(jìn)行線性化處理后得到對(duì)方程

(8)

(9)

方程(9)式可以重新表示為

p1=ρ0(?tφ1+ν0·φ1).

(10)

這時(shí)有

φ1+ν0·φ1),

(11)

現(xiàn)將(11)式代入(6)式可以得到如下波動(dòng)方程

φ1+ν0·φ1))+·(-ρ0φ1+

(12)

這一二階偏微分方程可以描述線性化標(biāo)量勢(shì)φ1的傳播規(guī)律，即這一方程確定了聲學(xué)擾動(dòng)的傳播形式.為了將流體方程和引力理論聯(lián)系起來(lái)首先定義如下的局域聲速

(13)

再構(gòu)造一個(gè)4×4矩陣

根據(jù)(13)式和(14)式那么波動(dòng)方程(12)式可以重新寫(xiě)成

?μ(fμν?νφ1)=0,

(15)

這時(shí)定義彎曲時(shí)空上的達(dá)朗貝爾算符為

(16)

式中

(17)

這里g=det(gμν)是度規(guī)的行列式，并且有

(18)

根據(jù)矩陣(14)式的行列式可以得到

det(fμν)=

(19)

因此有

(20)

所以得到了如下形式的逆聲學(xué)度規(guī)

那么聲學(xué)度規(guī)應(yīng)為

(22)

這時(shí)聲學(xué)度規(guī)的間隔形式可以表示為

ds2≡gμνdxμdxν=

(23)

2 2維引力中dilaton黑洞解

2維dilaton引力模型的作用量[18-20]為

(24)

式中，ψ是輔助場(chǎng)，φ是dilaton場(chǎng)，V(φ)是勢(shì)函數(shù)，G是牛頓常數(shù)，b、Λ為常數(shù)作用量(24)式對(duì)應(yīng)的輔助場(chǎng)方程為

2ψ-R=0,

(25)

引力場(chǎng)方程為

gμν2ψ-μνψ=8πGTμν,

(26)

φ)-

(27)

dilaton場(chǎng)方程為

-4b2φ

(28)

這時(shí)2維靜態(tài)度規(guī)選擇為[21-29]

ds2=-α(x)dt2+α-1(x)dx2，

(29)

其中，α(x)是度規(guī)因子.此時(shí)引力物質(zhì)系統(tǒng)方程組化為

αψ′=-α′,

(30)

α″=-8πGΛV(φ),

(31)

(32)

命題 1 dilaton場(chǎng)φ和度規(guī)α有如下關(guān)系：

(33)

式中，X0是積分常數(shù)，下面證明這一關(guān)系式.

用αφ′乘以(32)式兩邊得

(34)

對(duì)(31)式兩邊求導(dǎo)得

(35)

將(34)式與(35)式聯(lián)立消去dV/dx后得

(36)

即

(37)

又因?yàn)?/p>

(38)

并且

(39)

由(37)～(39)式可得

φ′)2]=

即

(40)

所以命題1證畢.

命題 2 當(dāng)標(biāo)量場(chǎng)勢(shì)能V(φ)=e-2aφ時(shí)有

(41)

式中a是勢(shì)能常數(shù)，下面證明這一關(guān)系式成立.當(dāng)標(biāo)量場(chǎng)勢(shì)能取為V(φ)=e-2aφ時(shí),(31)式變?yōu)?/p>

α″=-8πGΛe-2aφ,

(42)

將上式整理得

(43)

又因?yàn)?/p>

(44)

并且

φ′)2]=

(45)

所以

(46)

即

(47)

那么(47)式變?yōu)?/p>

(48)

式中β=b/a2.化簡(jiǎn)上式得

(49)

所以命題2證畢.

命題 3 當(dāng)β=p/(p+2)=1(p→∞)，場(chǎng)方程有如下的黑洞度規(guī)和dilaton場(chǎng)解

(50)

(51)

式中A、C、E是積分常數(shù)，下面證明這一命題成立.由(50)式得

(52)

α″=-8πGΛe-2aEe-Cx,

(53)

α?=8πGΛCe-2aEe-Cx.

(54)

將α′、α″、α?帶入式命題2中的(41)式的左端得

(55)

同理，將α″帶入(43)式得

(56)

所以命題3證畢.

下面說(shuō)明命題3得到的2維度規(guī)可以描述一種黑洞，取B=8GΛπe-2aE/C2則度規(guī)(50)式化為

α=A-Be-Cx.

(57)

當(dāng)C>0,x→-∞或C<0,x→+∞時(shí)，可知黑洞度規(guī)出現(xiàn)奇異性質(zhì)；當(dāng)xC=-ln(A/B)/C，同樣可知黑洞度規(guī)也出現(xiàn)奇異性質(zhì)，根據(jù)曲率R=-α″可計(jì)算出不同時(shí)空奇點(diǎn)處的曲率分別為

R(x→±∞)=-BC2e-Cx→±∞,

(58)

(59)

所以xC表示黑洞的視界位置，可以為正值或負(fù)值.標(biāo)量場(chǎng)φ(x)在奇點(diǎn)處的性質(zhì)為

(60)

(61)

因此，這個(gè)解可以描寫(xiě)2維黑洞，此黑洞的真正奇點(diǎn)位于x→±∞處.黑洞的ADM質(zhì)量定義為

(62)

K是積分常數(shù)，可以證明解析解(50)式和(51)式對(duì)應(yīng)的2維黑洞質(zhì)量為

(63)

這里，A、C>0,當(dāng)a>0,由(51)式知系數(shù)C越大，φ(x)越強(qiáng)，那么對(duì)應(yīng)的黑洞質(zhì)量越大.

3 1維流體中的能量密度、速度和驅(qū)動(dòng)勢(shì)

取C=1，E=0，8πG=1，Λ=1，則(50)和(51)式化為

(64)

命題 4 對(duì)(29)式中黑洞度規(guī)和時(shí)空坐標(biāo)做如下變換，則黑洞度規(guī)可化為聲學(xué)度規(guī)的形式,下面證明這一命題成立.

如果使用如下變換[30]

(65)

則有

(66)

dx2=ρ02dx2,

(67)

于是有

ds2=-α(r)dt2+α-1(r)dr2=

(68)

這時(shí)聲學(xué)度規(guī)的表達(dá)式為

2v0dxdt+dx2].

(69)

這一度規(guī)恰好對(duì)應(yīng)于(23)式中i=j=1的特殊情況.由(65)式可以看出當(dāng)2M=J時(shí)，黑洞的視界為于xc=-ln2M處，這時(shí)其對(duì)應(yīng)的聲學(xué)視界位于c=v0處.

命題 5 1維流體力學(xué)中的Euler方程和連續(xù)方程為

(70)

ρ0(x)v0(x)A(x)=常數(shù),

(71)

式中，ρ0是流體密度，p是流體壓強(qiáng)，v0是流體速度，f是驅(qū)動(dòng)外力的勢(shì)，A(x)通量截面，下面證明這一命題.

引入如下變換

(72)

則(70)和(71)式等價(jià)于如下方程組

(73)

(74)

這時(shí)討論一種特殊情況，當(dāng)聲速c=常數(shù)時(shí)有如下關(guān)系式

(75)

并且

(76)

另外

(77)

以及

(78)

將(75)～(78)式代入(73)式命題即可得這一等式成立.另外有(70)式容易得到(71)式，所以命題5成立,再根據(jù)Euler方程(70)式和連續(xù)性方程(71)式可求出1維流體中的能量密度ρ0(x)、速度v0(x)和驅(qū)動(dòng)勢(shì)f(x)的如下表達(dá)式

ρ0(x)=

(79)

(80)

(81)

式中，s是與流體通量A有關(guān)的常數(shù)，f0是積分常數(shù).當(dāng)黑洞質(zhì)量取為M=1/2,聲速取為c=1，常數(shù)取為s=1，f0=1時(shí)，那么可以作出黑洞視界外流體參量，如圖1～3所示.

當(dāng)黑洞質(zhì)量取定時(shí)，計(jì)算結(jié)果表明流體密度隨空間坐標(biāo)增大而增大，而流體速度隨空間坐標(biāo)增大而減小.另外，流體驅(qū)動(dòng)勢(shì)也隨空間坐標(biāo)增大而減小.根據(jù)流體方程組解可以直接看出，當(dāng)空間坐標(biāo)不變時(shí)，隨著黑洞質(zhì)量的增大，流體密度變大，對(duì)應(yīng)的流體速度變小.

4 結(jié)論與討論

本文首先根據(jù)流體力學(xué)中的連續(xù)方程和Euler方程分析了流體中的微小振動(dòng)，這種振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度勢(shì)滿足的方程可以描述聲波現(xiàn)象，對(duì)流體方程組進(jìn)行線性化處理后得到密度、壓強(qiáng)和速度勢(shì)漲落滿足的波動(dòng)方程，這一方程也可描述標(biāo)量勢(shì)的傳播規(guī)律.當(dāng)定義適當(dāng)?shù)亩纫?guī)張量后，那么波動(dòng)方程就可化為一個(gè)彎曲時(shí)空下的標(biāo)量場(chǎng)方程，由此可以導(dǎo)出聲學(xué)度規(guī)的表達(dá)式.

其次，本文推導(dǎo)了2維dilaon引力模型中的場(chǎng)方程組，根據(jù)3個(gè)命題進(jìn)一步獲得了2維度規(guī)的解析解，通過(guò)物理分析后表明這一解可以描述2維時(shí)空中的黑洞，其時(shí)空奇點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)處，而視界的位置由勢(shì)能強(qiáng)度Λ和a所決定.經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換后發(fā)現(xiàn)2維黑洞度規(guī)可以變化為對(duì)應(yīng)的聲學(xué)度規(guī)，這時(shí)2維引力場(chǎng)方程可與1維流體中的Euler方程發(fā)生聯(lián)系,因此可以求出聲學(xué)黑洞中的流體密度、壓強(qiáng)和驅(qū)動(dòng)勢(shì)的解析解.當(dāng)黑洞質(zhì)量取為定值時(shí)，本文對(duì)流體速度和驅(qū)動(dòng)勢(shì)作出了數(shù)值圖形，并討論了這些流體參量在空間中的變化規(guī)律.另外，2維定態(tài)時(shí)空中霍金溫度定義為4πTH=(dα/dx)|x=xc,代入視界坐標(biāo)xc=-ln 2M便可求出霍金溫度為T(mén)H=M/2π,因此2維時(shí)空中黑洞質(zhì)量越大，霍金溫度越高，最近，W. G. Unruh進(jìn)一步分析了在實(shí)驗(yàn)室測(cè)量霍金輻射的可能性[31-32]，所以通過(guò)流體力學(xué)中的一個(gè)小型平臺(tái)可以模擬黑洞中的各種比較復(fù)雜的物理現(xiàn)象[33-35].

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(編輯 陶志寧)

The Study of Correspondence Relationship between Two-dimensional Acoustic Black Hole and One-dimensional Fluid

YANG Xiaohuan, YAN Jun, CHEN Hailin, YU Yi

(College of Physics and Electronic Engineering, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

The correspondence relationship between two-dimensional black holes and one-dimensional fluid is studied in this paper. The expression of acoustic metric is derived according to the hydromechanics equations, and we obtain some exact black hole solutions in two-dimensional dilaton gravity model. Moreover, the energy densityρ, speedνand drive potentialfin one-dimension fluid are calculated and the physical properties of these fluid parameters are also analyzed and discussed.

two-dimensional gravity； acoustic black hole； gravity-fluid correspondence

2015-06-12

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)基金(11ZA100)

O351.2

A

1001-8395(2016)06-0875-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.019

*通信作者簡(jiǎn)介：顏 駿(1965—),男，教授，主要從事量子場(chǎng)論和引力理論的研究，E-mail:yanjun5@sina.com