數(shù)學(xué)思想讓根的判別式更別樣

朱曉勤

摘要：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用。在教學(xué)中，不僅重視知識(shí)形成過(guò)程，還應(yīng)十分重視發(fā)掘在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成和發(fā)展過(guò)程中所蘊(yùn)藏的重要思想方法。美國(guó)教育家布魯納曾說(shuō)“不管他們將來(lái)從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！币虼耍谡n堂教學(xué)中，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想方法的滲透?，F(xiàn)以根的判別式的復(fù)習(xí)課為例進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；根的判別式；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）03-0092

一、化歸轉(zhuǎn)化思想的滲透

化歸思想既是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題的基本解題模式，其核心就是將有待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)為已有明確解決程序的問(wèn)題，以便利用已有的理論技術(shù)加以處理。

例1. 若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+（k-2）x+9是一個(gè)完全平方式，求k的值。

分析：已知條件可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程x2+（k-2）x+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

從而可以得到Δ=（k-2）2-4×1×9=0，解得k1=8，k2=-4。

啟示：要成為完全平方式，本可以利用完全平方式進(jìn)行分類討論，但把條件轉(zhuǎn)為一元二次方程之后，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的根的判別式問(wèn)題，而且也無(wú)需進(jìn)行分類，簡(jiǎn)化了解題步驟，提高了學(xué)生的解題靈活性。

例2. 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

簡(jiǎn)解：當(dāng)Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

∴m≥4且m≠0。

啟示：對(duì)于系數(shù)是有理數(shù)的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，轉(zhuǎn)化為判斷一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況，所以，利用別式來(lái)判斷二次三項(xiàng)式能否在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

二、數(shù)形結(jié)合思想的滲透

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)（量）與形（圖）結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析，研究解決問(wèn)題的一種思維策略，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個(gè)方面，其核心是以形解數(shù)，或以數(shù)解形，或數(shù)形互助，從而使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)便易行的解決。

例3. 已知拋物線y=x2+ax+a-2，求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該拋物線都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

分析：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程x2+ax+a-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即Δ>0。

而Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4，故無(wú)論a取何值Δ>0。

啟示：本題需解決的是有關(guān)拋物線與x軸交點(diǎn)的情況，轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程根的情況的問(wèn)題，這是一道典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決的題目。在教學(xué)中，注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的有關(guān)數(shù)字和圖形，并把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，找到解決問(wèn)題的方法和策略，對(duì)提高學(xué)生的解題能力很有幫助。

例4. 二次函數(shù)y=-2x2-3x+k的圖像在x軸下方，求k的取值范圍.

解：∵二次函數(shù)y=-2x2-3x+k的圖像在x軸下方，

∴Δ<0，即（-3）2-4×（-2）k<0。

解得 k<- 。

啟示：本題可以結(jié)合二次函數(shù)圖像，由a<0，且圖像在x軸下方可知函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故Δ<0，從而可求得k的取值范圍。

三、整體思想的滲透

整體思維就是考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是著眼于它的局部特征，而是把注意和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，通過(guò)對(duì)其全面深刻的觀察。其核心是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察和分析從客觀和大處入手，整體把握，化零為整。

例5. 已知拋物線y=x2+2x+m-1與直線y=x+2m只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值。

分析：兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，理解為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)方程有公共解，即方程y=x2+2x+m-1和方程y=x+2m有公共解，然后把兩個(gè)方程看作一個(gè)整體，理解為x2+2x+m-1=x+2m只有一個(gè)解，再借助一元二次方程的判別式就可以順利解決。

Δ=12-4（m-1）=0，∴m= .

啟示：在求函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，把兩個(gè)函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為有關(guān)一個(gè)方程的整體問(wèn)題，在教學(xué)中有效地滲透整體思想，以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高學(xué)生整體思考問(wèn)題的能力。

例6. 已知x≥0，y≥0且x+2y=1，求x2+y2的最大值和最小值。

解：∵x+2y=1，∴x=1-2y。

∴s=x2+y2=（1-2y）2+y2=5y2-4y+1。

∴5y2-4y+1-s=0。

此方程為關(guān)于y的一元二次方程且有解。

∴Δ=16-20（1-s）≥0，s≥-

∴smin=-

又∵x≥0，y≥0且x=1-2y≥0，∴0≤y≤

對(duì)于函數(shù)s（y）=5y2-4y+1

s（0）=1 s（ ）= ∴x2+y2最大值為1

∴x2+y2最大值為1，最小值為

四、分類討論思想的滲透

分類是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法，分類從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，劃分只是手段，分類研究才是目的，其核心就是全面而不重復(fù)，廣泛而不疏漏。

例7. 已知關(guān)于x的方程（k-1）x2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

分析：有實(shí)數(shù)根分為有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以判別式Δ≥0，又條件沒(méi)有對(duì)方程的次數(shù)加以限定，所以又要分為一元一次方程和一元二次方程兩種情況，綜合以上兩方面的考慮，本題應(yīng)得到Δ≥0或k=1，∴k≤2或k=1，∴k的取值范圍k≤2。

啟示：本題既要從兩個(gè)方面進(jìn)行分類，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行分類討論，從而提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

初中范圍內(nèi)，在運(yùn)用韋達(dá)定理求字母取值時(shí)，其前提條件是使方程有實(shí)數(shù)根，所以必須考慮一元二次方程的判別式Δ≥0，判別式限制了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系。

例8. 已知關(guān)于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為17，求k的值。

簡(jiǎn)解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m、n，∴m+n=k-1，mn=-3k-2

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17

∴k1=-6，k2=2

又∵Δ=[-2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9

∴當(dāng)k1=-6時(shí)，Δ=k2+10k+9=-15<0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)k2=2時(shí)，Δ=k2+10k+9=33>0方程有實(shí)數(shù)根。

故只取k=2。

再利用韋達(dá)定理求出字母值時(shí)，出現(xiàn)了兩種情況，每一種情況都應(yīng)逐一考慮。

五、逆向思維的滲透

逆向思維就是把問(wèn)題倒過(guò)來(lái)或從問(wèn)題的反面思考和運(yùn)用某些數(shù)學(xué)公式法則解決問(wèn)題，其核心是培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效的遷移。

例9. 無(wú)論x取何值，分式 總有意義，求m滿足的條件。

分析：要使分式有意義，分母不能為零，即x2-4x+m始終不等于零，也就是方程x2-4x+m=0無(wú)解，故Δ<0，Δ=16-4m<0，解得m>4。

啟發(fā)：逆向思維是創(chuàng)新思維的一種重要方式，本題需考慮的是分式有意義的情況，直接入手解決會(huì)顯得有些困難，但從其反面入手，即考慮分式無(wú)意義時(shí)，本題解決方法就能迎刃而解。

例10. 已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y），求證：2y=x+z。

分析：構(gòu)造一個(gè)以（x-y）、（z-x）、（y-z）為系數(shù)的一元二次方程，再利用根的判別式解決。

簡(jiǎn)解：以（x-y）、（z-x）、（y-z）為系數(shù)的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

又∵（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，

∴ t1=t2=1。

由根與系數(shù)的關(guān)系可知： =t1t2=1，

∴2y=x+z.

六、類比聯(lián)想的滲透

類比聯(lián)想就是根據(jù)事物間的相似點(diǎn)提出假設(shè)和猜想，從而把已知事物的屬性類比推廣到類似的新事物中，讓學(xué)生進(jìn)行類比得到不同的結(jié)論。

例11. （1）已知關(guān)于x的方程（k-1）x2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

（2）已知函數(shù)y=（k-1）x2-2x+1與x軸有交點(diǎn)，求k的取值范圍。

（3）已知關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

分析：第（1）題解為k≤2，第（2）題解也為k≤2，第（3）題對(duì)方程進(jìn)行限制了，所以需考慮k-1≠0，所以本題的取值范圍為k≤2且k≠1。

啟發(fā)：本題將相似的三道題目一起呈現(xiàn)，以便讓學(xué)生通過(guò)類比與聯(lián)想，找出知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別。教學(xué)中，應(yīng)盡可能多給學(xué)生提供具有相似知識(shí)點(diǎn)的背景材料，這種對(duì)知識(shí)的有效整合，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的理解，也提供了學(xué)生一種有效的學(xué)習(xí)方式。

根的判別式這節(jié)復(fù)習(xí)課，以根的判別式為立足點(diǎn)，有效運(yùn)用各種初中數(shù)學(xué)思想方法，用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)把各知識(shí)塊串起來(lái)，從而在教學(xué)過(guò)程中，不僅使學(xué)生完善知識(shí)體系，同時(shí)也有力地促進(jìn)了學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。

（作者單位：浙江省義烏繡湖中學(xué) 322000）