讓實(shí)驗(yàn)之光在數(shù)學(xué)課堂綻放

任環(huán)

摘要：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是一種新的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)，可以活躍課堂氣氛，減輕教學(xué)負(fù)擔(dān)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的能力。本文試從介紹數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)入手，闡述將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入數(shù)學(xué)課堂的一些做法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)課堂；教師；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）03-0072

數(shù)學(xué)家歐拉曾說：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！睌?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種最基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，它能改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著一種無可替代的作用。《國家基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》要求教學(xué)活動(dòng)要“逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，教師的教學(xué)方法和師生的互動(dòng)方式的改革”，改變“過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力，獲取新知識(shí)的能力，分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。數(shù)學(xué)中的許多概念、定理、公式都是通過實(shí)驗(yàn)而發(fā)現(xiàn)的，計(jì)算、作圖、測(cè)量等活動(dòng)都是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的重要手段。通過實(shí)驗(yàn)可以再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、定理、公式的形成過程，把握題目的特征，發(fā)現(xiàn)解題的思路，使問題獲得簡(jiǎn)捷解決。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師可以根據(jù)新教材的特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)出有利于學(xué)生主動(dòng)參與的教學(xué)方案，讓學(xué)生能以一種主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)心態(tài)和合作探究的學(xué)習(xí)方式，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在實(shí)驗(yàn)參與過程中得到提升和發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的概念與理論基礎(chǔ)

1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的概念

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”一詞，最早出現(xiàn)在波利亞的著作《數(shù)學(xué)與猜想》《怎樣解題》中波利亞在論述數(shù)學(xué)時(shí)說：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)……是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以界定為：為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維的參與下，在典型的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中或特定的實(shí)驗(yàn)條件下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。實(shí)驗(yàn)教學(xué)就是恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐、自主探索、合作交流，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗(yàn)證猜想和創(chuàng)造性解決問題的教學(xué)活動(dòng)。

2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論基礎(chǔ)

皮亞杰的“建構(gòu)論”認(rèn)為：主體認(rèn)識(shí)的實(shí)質(zhì)是主體利用其原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)外界客體進(jìn)行加工、改造、整合的過程。在整個(gè)過程中，主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也得到不斷建構(gòu)和發(fā)展?，F(xiàn)代建構(gòu)意義下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，應(yīng)該是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下輔以計(jì)算機(jī)的幫助，自主參與，具有高度的自主性、探索性的一種教學(xué)。

二、實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐

1. 運(yùn)用實(shí)驗(yàn)探索概念的形成

數(shù)學(xué)概念是客觀事物、現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式在人們頭腦中的反映。大多數(shù)的數(shù)學(xué)概念在周圍環(huán)境中都有它們的現(xiàn)實(shí)原型，都可以用觀察、實(shí)驗(yàn)方法發(fā)現(xiàn)得到。

如在引入橢圓定義前，讓學(xué)生動(dòng)手操作到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為定值大于|F1F2|的動(dòng)點(diǎn)軌跡的實(shí)驗(yàn)，而構(gòu)建橢圓的定義。

實(shí)驗(yàn)用品：厚硬紙板、大頭針、彩筆、橡皮筋一條、不帶彈性的細(xì)繩一條（15厘米），兩根大頭針固定，兩個(gè)大頭針之間距離為10厘米。

實(shí)驗(yàn)步驟及探究問題如右圖：

（1）將橡皮筋的兩端固定在大頭針上，用筆尖將橡皮筋拉緊（不松松垮垮的即可），畫圖形，可以得到橢圓嗎？

（2）把橡皮筋換成細(xì)繩，再按上述步驟做一遍，可以得到橢圓嗎？

（3）把大頭針的距離變?yōu)?5厘米，重復(fù)步驟（1）做一遍，能畫出橢圓嗎？

（4）把大頭針的距離變?yōu)?6厘米，重復(fù)步驟（1）做一遍，能畫出橢圓嗎？

通過實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生體驗(yàn)橢圓的形成，理解橢圓定義中的“到定點(diǎn)的距離”與“定長”的關(guān)系決定橢圓的形成。在實(shí)驗(yàn)操作過程中，學(xué)生手動(dòng)、眼看、心想、口說多方面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，快樂學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這比教師用幻燈片演示的效果要好，實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生還可以體會(huì)到橢圓定義外的性質(zhì)、如對(duì)稱性等。

2. 通過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理、公式

教科書的定理、法則、公式是數(shù)學(xué)家或者是數(shù)學(xué)教育家的發(fā)現(xiàn)結(jié)果，展現(xiàn)在學(xué)生面前的是一副經(jīng)過千錘百煉“完美無缺”的邏輯體系。這種完美的形式略去了曲折復(fù)雜的發(fā)現(xiàn)過程。教師可以根據(jù)實(shí)際情況，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)手段和方法進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”。

例如：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的發(fā)現(xiàn)教學(xué)

實(shí)驗(yàn)用品：紙板與細(xì)繩制

實(shí)驗(yàn)步驟：如右圖

學(xué)生把繩子的一端固定在P點(diǎn)，另一端在直線上Q 點(diǎn)或M 點(diǎn)，學(xué)生可以隨意擺放繩子并探究以下問題：

（1）另一端在Q點(diǎn)時(shí)，繩子在[a，b]上是否與x 軸一定有交點(diǎn)？

（2）另一端在 M 點(diǎn)時(shí)，繩子在[a，b]上是否與 x 軸一定有交點(diǎn)？

（3）把繩子看做是函數(shù)在[a，b]上的圖像，在什么情況下，函數(shù)必存在零點(diǎn)？

（4）如何用f（a），f（b）的值刻畫（3）中的情況？

（5）剪斷繩子，（3）中的結(jié)論是否還成立？

在此實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生積極動(dòng)手、熱烈討論，用細(xì)繩代替函數(shù)圖像，學(xué)生通過對(duì)細(xì)繩的擺放實(shí)現(xiàn)圖像的變化，實(shí)現(xiàn)了抽象向具體的轉(zhuǎn)化，主動(dòng)思索總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，教師只需從旁引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言歸納并得到函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可。引入了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)課的積極性，并使得全體學(xué)生能活動(dòng)起來，并在實(shí)驗(yàn)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)理論的形成。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拉近了教師與學(xué)生的距離，也拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使數(shù)學(xué)課更有魅力，更吸引學(xué)生。

3. 借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)探究學(xué)習(xí)

新教學(xué)大綱要求“教師要依據(jù)教材，又不囿于教材，把學(xué)生的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、生活世界作為重要的課程資源，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。在教學(xué)過程中，要充分發(fā)揮學(xué)生的自主性和創(chuàng)造性，鼓勵(lì)學(xué)生即興創(chuàng)造、超越預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)?！苯栌脭?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅能打破沉寂的課堂氣氛，讓課堂教學(xué)有聲有色；還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新能力。

案例：已知a，b，m∈R+，a 。

常規(guī)的做法是通過作差來證明，這樣單純的就題證題不僅使學(xué)生感到枯燥乏味，同時(shí)也很難加深同學(xué)們的印象。我們可以拿一杯NaCl溶液（濃度為 ）和一小瓶NaCl，然后讓學(xué)生想如何把這些物品和這道題目聯(lián)系起來。如果學(xué)生不能想到，我們可以做如下實(shí)驗(yàn)：往NaCl溶液（濃度為 ））中加一些（m克），如果學(xué)生還是想不到我們可以提示一下：在這個(gè)過程中，溶液的濃度發(fā)生了什么變化？學(xué)生的思維就很容易被激活，與案例中的不等式進(jìn)行聯(lián)系。在上面問題的基礎(chǔ)上接著提出問題：若a1，a2，b1，b2∈R+且 < ，試比較 ， 和 的大小。學(xué)生在這時(shí)思維已被激活，很快想到可以和如下實(shí)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)系：兩杯質(zhì)量相同，濃度分別為 ， 且 < 的NaCl溶液混合，混合后的溶液的濃度和混合前兩瓶溶液的濃度比如何？學(xué)生很快就可以得出： <混合后濃度 ，而混合濃度= ，于是我們就可以得出 < < 。由實(shí)驗(yàn)的過程，學(xué)生又可以得出以下命題：若a1，a2，b1，b2∈R+，且 < ，則 < < 。靈活的引入，使學(xué)生領(lǐng)略了探索未知的甜頭，同時(shí)也加深了同學(xué)們的記憶。（86%的同學(xué)在一星期后能清楚地記得這兩個(gè)不等式）

4. 利用實(shí)驗(yàn)，探索解題途徑

有不少數(shù)學(xué)問題，學(xué)生解答起來不知從何入手，但如果我們能夠合理創(chuàng)設(shè)一些實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)為學(xué)生解決問題提供一些直觀的思維背景，則常常能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的真諦，進(jìn)而為找到問題解決的思路，為提出猜想提供直觀的依據(jù)。

如：已知a、b是方程μ2+ ·μ- =0的兩根。求證：不論θ為何值，過A（a，a2）、B（b，b2）的直線恒切于一定圓。

分析：過A、B的直線方程為y=（a+b）x-ab. ①

由韋達(dá)定理知a+b=- ，ab=- ，于是①

變形為

x·cosθ+y·sinθ=1. ②

要證②切于定圓，但因定圓未知，以下思路不明。

為此，不妨引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)開始！不妨取θ=0， ，π， ，則分別得到特殊的直線x=1，y=1，x=-1，y=-1，它們恰好圍成一個(gè)正方形，據(jù)此不難猜測(cè)所找的定圓即圓心在原點(diǎn)的單位圓。

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是其中的一種最基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)知識(shí)感性的一面，并把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從感性推向理性，讓學(xué)生真切地體驗(yàn)如何“做數(shù)學(xué)，如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”，并從中感受數(shù)學(xué)的力量。當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，數(shù)學(xué)將不再抽象，不再難懂，數(shù)學(xué)因?qū)嶒?yàn)而簡(jiǎn)單，學(xué)生因?qū)嶒?yàn)而快樂。因此，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入教學(xué)課堂，引入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是一種必然趨勢(shì)。

（作者單位：①浙江省浙江師范大學(xué) 321001；②浙江省蒼南中學(xué) 325800）