• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    高考數(shù)學(xué)題型答題技巧(三)

    2016-05-14 21:43:52高慧明張琦
    廣東教育·高中 2016年6期
    關(guān)鍵詞:題意單調(diào)導(dǎo)數(shù)

    高慧明 張琦

    數(shù)學(xué)解答題(主觀性試題)在每年的各省市高考中都是拉開考生分差的題型,其考查形式是考生最為熟悉的題型,而其考查功能無論是在廣度上還是深度上,都要優(yōu)于選擇題和填空題.解答題的試題模式(計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題、探索題等)靈活多變,能充分考查考生對相關(guān)知識(shí)的掌握程度.

    解答題除了考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能外,更主要的是通過解答的過程考查考生思維的過程,從而測量其思維能力、思維品質(zhì)、探究能力和創(chuàng)新能力等,是試卷中體現(xiàn)區(qū)分度的關(guān)鍵部分.因此,探索解答題的解決途徑,掌握常見的解答策略與技巧,至關(guān)重要.

    一、三角函數(shù)與解三角形解答技巧

    “三角函數(shù)與解三角形”專題包括:三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形三部分內(nèi)容.通過對近幾年全國各省市高考試題分析可以發(fā)現(xiàn),不論文理,本模塊的內(nèi)容都是考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn).由于近幾年的高考已經(jīng)逐步拋棄了對復(fù)雜的三角變換和特殊技巧的考查,重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到利用三角公式進(jìn)行恒等變形,三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換等方面,利用正、余弦定理解三角形.重視對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查,突出三角與代數(shù)、幾何、向量等知識(shí)點(diǎn)的綜合聯(lián)系,多考查三角化簡和三角函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性、周期性、最值等問題.

    例1. 已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R.

    (Ⅰ)求f(x)最小正周期;

    (Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值和最小值.

    解析:由已知條件,可知:

    f(x)=-=(cos2x+sin2x)-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).

    所以f(x)的最小正周期T==?仔.

    (II)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-,-]上是減函數(shù),在區(qū)間[-,]上是增函數(shù),

    f(-)=-,f(-)=-,f()=,

    所以f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值為,最小值為-.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩角和與差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).綜合運(yùn)用三角知識(shí),從正確求函數(shù)解析式出發(fā),考查最小正周期的求法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,從而求出函數(shù)的最大值與最小值.在化簡的過程中,如果各位考生對降冪公式不是十分熟悉的話,建議通過二倍角公式cos2?琢=2cos2?琢-1=1-2sin2?琢重新推導(dǎo)得出cos2?琢=,sin2?琢=,這并不會(huì)浪費(fèi)時(shí)間.

    在求給定區(qū)間上三角函數(shù)最值的時(shí)候也可以如下解決:

    因?yàn)閤∈[,],所以2x-∈[,],所以sin(2x-)∈[1,].

    所以,當(dāng)2x-=-,即x=-時(shí),f(x)有最小值為-;

    當(dāng)2x-=,即x=時(shí),f(x)有最大值為.

    追蹤練習(xí)1. ?駐ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,?駐ABD面積是?駐ADC面積的2倍.

    (Ⅰ)求;

    (Ⅱ)若AD=1,DC=,求BD和AC的長.

    解析:(Ⅰ)S?駐ABD=AB·AD·sin∠BAD,S?駐ADC=AC·AD·sin∠CAD,

    因?yàn)镾?駐ABD=2S?駐ADC,∠BAD=∠CAD,

    所以AB=2AC.由正弦定理可得==.

    (Ⅱ)因?yàn)?=2,DC=,所以BD=.

    在?駐ABD和?駐ADC中,由余弦定理得:

    AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

    AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.

    因?yàn)閏os∠ADB=-cos∠ADC,

    所以AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

    由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.

    點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的面積公式、角分線概念、正弦定理和余弦定理,由角分線的定義得角的等量關(guān)系,由面積關(guān)系得邊的關(guān)系,由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系;分析兩個(gè)三角形中cos∠ADB和cos∠ACD互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件,利用余弦定理列方程,進(jìn)而求AC.

    二、數(shù)列與不等式解答技巧

    數(shù)列與不等式知識(shí)結(jié)合是近幾年高考的熱點(diǎn),高考命題主要有以下三個(gè)方面:

    (1)數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí),其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式.

    (2)數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合,其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合.

    (3)數(shù)列的應(yīng)用問題,其中主要是以增長率問題為主.

    如果單純考查數(shù)列本身有關(guān)知識(shí),多以選擇填空題出現(xiàn),考查考生對“三基”的掌握情況,解答題多以中檔題為主.但是個(gè)別省市會(huì)將用數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題.這類題目的綜合性強(qiáng),解題所用的方法豐富,能力要求高,需要對數(shù)列、函數(shù)和不等式的知識(shí)和方法有較好的掌握.

    例2. 已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,2an+1-2an-1=0,n∈N?鄢.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=9-()n-2,n∈N?鄢.

    (Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

    (Ⅱ)設(shè)cn=anbn,n∈N?鄢,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

    解析:(Ⅰ)由2an+1-2an-1=0得an+1-an=,n∈N?鄢,又a1=1,

    所以{an}是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=,n∈N?鄢.

    當(dāng)n=1時(shí),b1=S1=9-()1-2=6,

    當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=9-()n-3,

    bn=Sn-Sn-1=[9-()n-2]-[9-()n-3]=,

    又n=1時(shí)=6=b1,所以bn=,n∈N?鄢.

    (Ⅱ)知(Ⅰ)知an=,bn=,n∈N?鄢,所以cn=an·bn=(n+1)()n-2,n∈N?鄢.

    所以Tn=2×()-1+3×()0+4×()1+…+(n+1)×()n-2 (1)

    等式兩邊同乘以得:

    Tn=2×()0+3×()1+4×()2+…+(n+1)×()n-1 (2)

    (1)-(2)得:

    Tn=2×()-1+×()0+×()1+…+()n-2-(n+1)×()n-1=6+-(n+1)()n-1.

    所以Tn=-()n-2,n∈N?鄢.

    點(diǎn)評(píng):已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系,求數(shù)列通項(xiàng)公式,常用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系.若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義,用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.關(guān)于數(shù)列求和,本題中所用的是錯(cuò)位相減法,這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中{an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

    追蹤練習(xí)2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=且an+1=an-(n∈N?鄢)

    (Ⅰ)證明:1≤≤2(n∈N?鄢);

    (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,證明≤<(n∈N?鄢).

    解析:(Ⅰ)由題意,得an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an,an≤,

    由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0,

    由0

    (Ⅱ)由題意得an2=an-an+1,

    ∴Sn=a1-an+1……①,由-=和1≤≤2,得1≤-≤2,

    ∴ n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N?鄢)

    ……②,

    由①②得:

    ≤≤.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的遞推公式,不等式的證明等知識(shí)點(diǎn),屬于較難題,第(Ⅰ)問易證,利用條件中的遞推公式作等價(jià)變形,即可得到==,再結(jié)合已知條件即可得證,第(Ⅱ)問具有較強(qiáng)的技巧性,首先根據(jù)遞推公式將Sn轉(zhuǎn)化為只與an+1有關(guān)的表達(dá)式,再結(jié)合已知條件得到an+1的取值范圍即可得證.由于數(shù)列綜合題與不等式相結(jié)合,技巧性比較強(qiáng),需要平時(shí)一定量的訓(xùn)練與積累,在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.

    三、立體幾何解答技巧

    立體幾何解答題核心考點(diǎn)主要分為三大類:一是考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,這類問題需要考生熟練掌握公理、定理、定義以及空間向量,在高考中考查最多的是平行和垂直關(guān)系,主要以解答題第一問的形式出現(xiàn),在解決這類問題時(shí),要把握好問題的轉(zhuǎn)化方向,并且做好將問題反復(fù)轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)備.二是考查空間向量在立體幾何問題中的綜合應(yīng)用,包括空間角、距離、體積、面積等的計(jì)算,這類問題常以空間幾何體為載體,考查空間量的計(jì)算,這部分內(nèi)容現(xiàn)在基本是用空間向量的方法解決.三是部分考題會(huì)設(shè)計(jì)一問探究題,通過空間向量考查考生“推理論證”“運(yùn)算求解”“數(shù)據(jù)處理”等基本能力.

    例3. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD//BC,AD⊥AB,且PB=AB=AD=3,BC=1.

    (Ⅰ)若點(diǎn)F為PD上一點(diǎn)且PF=PD,

    證明:CF//平面PAB;

    (Ⅱ)求二面角B-PD-A的大?。?/p>

    (Ⅲ)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得CM⊥PA?若存在,求出PM的長;若不存在,說明理由.

    解析:(Ⅰ)過點(diǎn)F作FH//AD,交PA于H,連接BH,因?yàn)镻F=PD,

    所以HF=AD=BC. 又FH//AD,AD//BC,所以HF//BC.

    所以BCFH為平行四邊形,所以CF//BH.

    又BH?奐平面PAB,CF?埭平面PAB,所以CF//平面PAD.

    (Ⅱ)因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD//AB,AD⊥AB,所以BC⊥AB.

    因?yàn)镻B⊥平面ABCD,所以PB⊥AB,PB⊥BC.

    如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

    所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).

    設(shè)平面BPD的一個(gè)法向量為=(x,y,z),平面APD的一個(gè)法向量為=(a,b,c),

    因?yàn)?(3,3,-3),=(0,0,3),

    所以·=0,·=0,即3x+3y-3z=0,3z=0.

    取x=1得到=(1,-1,0),同理可得=(0,1,1),

    所以cos<,>==-,因?yàn)槎娼荁-PD-A為銳角,

    所以二面角B-PD-A為.

    (Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)M,設(shè)==(3,3,-3),

    所以=+=(-1+3,3,3-3),所以·=-9+3(3-3)=0,解得=,

    所以存在點(diǎn)M,且PM=PD=.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線和平面平行、線線、線面垂直,二面角、空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化,體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用,即把幾何的證明與計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計(jì)算問題,是向量的最大優(yōu)勢,把空間一些難以想象的問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算問題,有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問題. 另外利用空間向量解題時(shí),要準(zhǔn)確寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo),這很重要.

    四、概率統(tǒng)計(jì)解答技巧

    概率與統(tǒng)計(jì)是歷屆高考的必考內(nèi)容之一.從今年各地高考試題來看,對概率統(tǒng)計(jì)的考查幾乎涉及所有基本概念和基本公式,并且在題型包裝上多以解答題的形式出現(xiàn),而且概率統(tǒng)計(jì)問題可以通過對題干情境的重新組合、變化使得試題更加貼近學(xué)生實(shí)際,具有時(shí)代氣息,從而更進(jìn)一步考查考生的分析問題、解決問題的能力.

    試題往往以實(shí)際應(yīng)用問題為背景.文科則通過統(tǒng)計(jì)、頻率、古典概型、幾何概型等知識(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力.而理科以排列組合、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)為工具,著重考查基本概型、基本概率事件的識(shí)別、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望等主干知識(shí).試題難度屬于中檔題.

    例4. 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表:

    (Ⅰ)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);

    (Ⅱ)計(jì)算(Ⅰ)中樣本的平均值x 和方差s2;

    (Ⅲ)36名工人中年齡在x-s與x+s之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到0.01%)?

    解析:由系統(tǒng)抽樣可知,36人分成9組,每組4人,其中第一組的工人年齡為44,所以所抽樣本編號(hào)是一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,所以所得樣本數(shù)據(jù)的編號(hào)為:4n-2,(n=1,2,…,9),對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為:44,40,36,43,36,37,44,43,37.

    (2)由平均值公式得x==40.

    由方差公式得s2==.

    (3)因?yàn)閟2=,所以s=. x-s=36,x+s=43,

    所以36名工人中年齡在x-s和x+s之間的人數(shù)等于區(qū)間[37,43]的人數(shù),

    即40,40,41,…,39,共23人.

    所以年齡在x-s與x+s之間共有23人,所占百分比為≈63.89%.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題,整體難度不大,解答本題關(guān)鍵在于第(Ⅰ)問要準(zhǔn)確由系統(tǒng)抽樣的定義得出對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),第(Ⅱ)(Ⅲ)問則直接準(zhǔn)確運(yùn)用公式即可解答,但需注意運(yùn)算過程和運(yùn)算方法的應(yīng)用.

    追蹤練習(xí)3. 某校要用三輛汽車從新校區(qū)把教職工接到老校區(qū),已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路,汽車走公路①堵車的概率為,不堵車的概率為;汽車走公路②堵車的概率為p,不堵車的概率為1-p.若甲、乙兩輛汽車走公路①,丙汽車由于其他原因走公路②,且三輛車是否堵車相互之間沒有影響.

    (Ⅰ)若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為,求走公路②堵車的概率;

    (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求三輛汽車中被堵車輛的個(gè)數(shù)?孜的分布列和數(shù)學(xué)期望.

    點(diǎn)評(píng):高考中常常通過實(shí)際背景考查互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,同時(shí)也考查二項(xiàng)分布、超幾何分布等特殊的概率模型.解讀此類問題時(shí)要注意分清類型,運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行解答.本題易犯的錯(cuò)誤是相互獨(dú)立事件之間的關(guān)系混亂,沒有理解題中給定道路選擇的實(shí)際意思.

    五、圓錐曲線解答技巧

    解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.在高考以及各種類型的模擬考試中,基本考查形式是“一大一小”.考小題,重在基本知識(shí)、基本技能的靈活應(yīng)用.而考大題,則主要以圓錐曲線為載體,綜合各個(gè)模塊知識(shí)點(diǎn)(平面向量、導(dǎo)數(shù)、不等式等),全面考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.由于此處題目綜合性強(qiáng),解法靈活多變,充分體現(xiàn)出高考能力立意的命題方向.

    圓錐曲線綜合題由于內(nèi)容豐富、考法靈活,從而難度較大.其能綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力,重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

    例5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-.

    (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

    (Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

    解析:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)B與A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為(1,-1).

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意得·=-,

    化簡得x2+3y2=4(x≠±1).

    故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1)

    (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)M,N得坐標(biāo)分別為(3,yM),(3,yN).

    則直線AP的方程為y-1=(x+1),直線BP的方程為y+1=(x-1).

    令x=3得yM=,yN=.

    于是?駐PMN得面積:

    S?駐PMN=| yM-yN |(3-x0)=.

    又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=2,

    點(diǎn)P到直線AB的距離d=.

    于是?駐PAB的面積S?駐PAB=|AB|·d=|x0+y0|.

    當(dāng)S?駐PAB=S?駐PMN時(shí),得|x0+y0|=.

    又|x0+y0|≠0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=.

    因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,

    故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).

    點(diǎn)評(píng):本題背景取自于教材,但作了創(chuàng)新,重點(diǎn)考查了學(xué)生對知識(shí)的遷移能力,邏輯思維能力及代數(shù)運(yùn)算能力和探究問題的能力.本題第一問,是常規(guī)問題,也是課本問題的一個(gè)變形.課本問題是“將橢圓上任意一點(diǎn)與長軸頂點(diǎn)連線的斜率之積為定值”,而本題則將其變化為“橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓上關(guān)于中心對稱的兩個(gè)點(diǎn)的連線的斜率之積為定值”.解決不難,注意需要去掉兩個(gè)點(diǎn).

    本題第二問,是非常出彩的一個(gè)問題,入口寬,但是能得結(jié)論不易. 具體解決時(shí),可以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),之后由直線AP,BP的方程求得點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo),進(jìn)而可以求得?駐PMN得面積;由|AB|=2以及點(diǎn)P到直線AB的距離可以求得?駐PAB的面積;兩者相等,則可以解出點(diǎn)P的坐標(biāo),具體解題過程如上所示.其實(shí)各位考生應(yīng)該也發(fā)現(xiàn)了,這樣去算的話,計(jì)算量還是很大的.那么有沒有簡單一點(diǎn)的方法呢?在這里,由于∠APB與∠MPN是對頂角,所以相等.從而由|PA|· |PB|sin∠APB=|PM|·|PN|sin∠MPN可得=,則可以有效的化簡解題過程.如下所示.

    【方法二】(Ⅱ)若存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),

    則|PA|·|PB|sin∠APB=|PM|·|PN|sin∠MPN.

    因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN,所以=,

    所以=,即(3-x0)2=|x02+1|,解得x0=,

    因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,

    故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).

    六、函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答技巧

    “函數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)中的核心知識(shí),其思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終,是高考考點(diǎn)中的重中之中.通過導(dǎo)數(shù),可以把函數(shù)、不等式、向量、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)相互交匯滲透,使得這些知識(shí)聯(lián)系的更加緊密.而在這些知識(shí)點(diǎn)的綜合處,由于知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、思想豐富、綜合性強(qiáng).能夠設(shè)置不同層次、難度不一的綜合題以考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決問題的能力,從而使得歷年高考以“函數(shù)、導(dǎo)數(shù)”為主體內(nèi)容的壓軸題頻頻出現(xiàn),且??汲P?

    例6. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k∈R)

    (Ⅰ)證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)

    (Ⅱ)證明:當(dāng)k<1時(shí),存在x0>0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x);

    (Ⅲ)確定k的所有可能取值,使得存在t>0,對任意的x∈(0,t),恒有| f(x)-g(x)|

    解析: (Ⅰ)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x, x∈(0,+∞), 則有F′(x)=-1=-.

    當(dāng) x∈(0,+∞), F′(x)<0, 所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;

    故當(dāng)x>0時(shí), F(x)0時(shí), f(x)

    (Ⅱ)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx, x∈(0,+∞),

    則有G′(x)=-k=.

    ①當(dāng)k<0時(shí),G′(x)>0,所以G(x)在 [0,+∞)上單調(diào)遞增,G(x)>G(0)=0.

    故對任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.

    ② 當(dāng)00.

    取x0=-1,對任意x∈(0, x0), 恒有G′(x)>0,所以G(x)在[0, x0)上單調(diào)遞增, G(x)>G(0)=0, 即f(x)>g(x).

    綜上,當(dāng)k<1時(shí),存在x0>0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).

    (Ⅲ)①當(dāng)k>1時(shí),由(Ⅰ)知,對于任意x∈[0,+∞),g(x)>x>f(x), 故g(x)>f(x),

    | f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)

    令M(x)=kx-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞),

    則有M′(x)=k--2x=,

    故當(dāng)x∈(0,)時(shí),M′(x)>0,M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故M(x)>M(0)=0,即| f(x)-g(x)|>x2,所以滿足題意的t不存在.

    ②當(dāng)k<1時(shí),由(Ⅱ)知存在x0>0,使得對任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).

    此時(shí)| f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,

    令N(x)=ln(1+x)-kx-x2, x∈[0,+∞),

    則有N′(x)=-k-2x=,

    故當(dāng)x∈(0, )時(shí), N′(x)>0, M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x2,記x0與中較小的為x1, 則當(dāng)x∈(0, x1)時(shí),恒有| f(x)-g(x)|>x2, 故滿足題意的t不存在.

    ③當(dāng)k=1,由(Ⅰ)知,當(dāng)x(0,+∞),| f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),

    令H(x)=x-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞), 則有H′(x)=1--2x=,

    當(dāng)x>0時(shí),H′(x)<0,所以H(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,故H(x)

    故當(dāng)x>0時(shí),恒有| f(x)-g(x)|

    綜上,k=1.

    點(diǎn)評(píng):在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí),我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化,探究這類問題的根本,從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn),解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值,從而證得不等式,注意f(x)>g(x)與f(x)min>g(x)max不等價(jià),f(x)min>g(x)max只是f(x)>g(x)的特例,但是也可以利用它來證明,在2014年全國Ⅰ卷理科高考第21題中,就是使用該種方法證明不等式;導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖像,這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的,而是其延續(xù).

    責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)

    數(shù)學(xué)解答題(主觀性試題)在每年的各省市高考中都是拉開考生分差的題型,其考查形式是考生最為熟悉的題型,而其考查功能無論是在廣度上還是深度上,都要優(yōu)于選擇題和填空題.解答題的試題模式(計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題、探索題等)靈活多變,能充分考查考生對相關(guān)知識(shí)的掌握程度.

    解答題除了考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能外,更主要的是通過解答的過程考查考生思維的過程,從而測量其思維能力、思維品質(zhì)、探究能力和創(chuàng)新能力等,是試卷中體現(xiàn)區(qū)分度的關(guān)鍵部分.因此,探索解答題的解決途徑,掌握常見的解答策略與技巧,至關(guān)重要.

    一、三角函數(shù)與解三角形解答技巧

    “三角函數(shù)與解三角形”專題包括:三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形三部分內(nèi)容.通過對近幾年全國各省市高考試題分析可以發(fā)現(xiàn),不論文理,本模塊的內(nèi)容都是考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn).由于近幾年的高考已經(jīng)逐步拋棄了對復(fù)雜的三角變換和特殊技巧的考查,重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到利用三角公式進(jìn)行恒等變形,三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換等方面,利用正、余弦定理解三角形.重視對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查,突出三角與代數(shù)、幾何、向量等知識(shí)點(diǎn)的綜合聯(lián)系,多考查三角化簡和三角函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性、周期性、最值等問題.

    例1. 已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R.

    (Ⅰ)求f(x)最小正周期;

    (Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值和最小值.

    解析:由已知條件,可知:

    f(x)=-=(cos2x+sin2x)-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).

    所以f(x)的最小正周期T==?仔.

    (II)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-,-]上是減函數(shù),在區(qū)間[-,]上是增函數(shù),

    f(-)=-,f(-)=-,f()=,

    所以f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值為,最小值為-.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩角和與差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).綜合運(yùn)用三角知識(shí),從正確求函數(shù)解析式出發(fā),考查最小正周期的求法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,從而求出函數(shù)的最大值與最小值.在化簡的過程中,如果各位考生對降冪公式不是十分熟悉的話,建議通過二倍角公式cos2?琢=2cos2?琢-1=1-2sin2?琢重新推導(dǎo)得出cos2?琢=,sin2?琢=,這并不會(huì)浪費(fèi)時(shí)間.

    在求給定區(qū)間上三角函數(shù)最值的時(shí)候也可以如下解決:

    因?yàn)閤∈[,],所以2x-∈[,],所以sin(2x-)∈[1,].

    所以,當(dāng)2x-=-,即x=-時(shí),f(x)有最小值為-;

    當(dāng)2x-=,即x=時(shí),f(x)有最大值為.

    追蹤練習(xí)1. ?駐ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,?駐ABD面積是?駐ADC面積的2倍.

    (Ⅰ)求;

    (Ⅱ)若AD=1,DC=,求BD和AC的長.

    解析:(Ⅰ)S?駐ABD=AB·AD·sin∠BAD,S?駐ADC=AC·AD·sin∠CAD,

    因?yàn)镾?駐ABD=2S?駐ADC,∠BAD=∠CAD,

    所以AB=2AC.由正弦定理可得==.

    (Ⅱ)因?yàn)?=2,DC=,所以BD=.

    在?駐ABD和?駐ADC中,由余弦定理得:

    AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

    AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.

    因?yàn)閏os∠ADB=-cos∠ADC,

    所以AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

    由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.

    點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的面積公式、角分線概念、正弦定理和余弦定理,由角分線的定義得角的等量關(guān)系,由面積關(guān)系得邊的關(guān)系,由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系;分析兩個(gè)三角形中cos∠ADB和cos∠ACD互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件,利用余弦定理列方程,進(jìn)而求AC.

    二、數(shù)列與不等式解答技巧

    數(shù)列與不等式知識(shí)結(jié)合是近幾年高考的熱點(diǎn),高考命題主要有以下三個(gè)方面:

    (1)數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí),其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式.

    (2)數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合,其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合.

    (3)數(shù)列的應(yīng)用問題,其中主要是以增長率問題為主.

    如果單純考查數(shù)列本身有關(guān)知識(shí),多以選擇填空題出現(xiàn),考查考生對“三基”的掌握情況,解答題多以中檔題為主.但是個(gè)別省市會(huì)將用數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題.這類題目的綜合性強(qiáng),解題所用的方法豐富,能力要求高,需要對數(shù)列、函數(shù)和不等式的知識(shí)和方法有較好的掌握.

    例2. 已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,2an+1-2an-1=0,n∈N?鄢.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=9-()n-2,n∈N?鄢.

    (Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

    (Ⅱ)設(shè)cn=anbn,n∈N?鄢,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

    解析:(Ⅰ)由2an+1-2an-1=0得an+1-an=,n∈N?鄢,又a1=1,

    所以{an}是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=,n∈N?鄢.

    當(dāng)n=1時(shí),b1=S1=9-()1-2=6,

    當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=9-()n-3,

    bn=Sn-Sn-1=[9-()n-2]-[9-()n-3]=,

    又n=1時(shí)=6=b1,所以bn=,n∈N?鄢.

    (Ⅱ)知(Ⅰ)知an=,bn=,n∈N?鄢,所以cn=an·bn=(n+1)()n-2,n∈N?鄢.

    所以Tn=2×()-1+3×()0+4×()1+…+(n+1)×()n-2 (1)

    等式兩邊同乘以得:

    Tn=2×()0+3×()1+4×()2+…+(n+1)×()n-1 (2)

    (1)-(2)得:

    Tn=2×()-1+×()0+×()1+…+()n-2-(n+1)×()n-1=6+-(n+1)()n-1.

    所以Tn=-()n-2,n∈N?鄢.

    點(diǎn)評(píng):已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系,求數(shù)列通項(xiàng)公式,常用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系.若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義,用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.關(guān)于數(shù)列求和,本題中所用的是錯(cuò)位相減法,這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中{an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

    追蹤練習(xí)2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=且an+1=an-(n∈N?鄢)

    (Ⅰ)證明:1≤≤2(n∈N?鄢);

    (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,證明≤<(n∈N?鄢).

    解析:(Ⅰ)由題意,得an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an,an≤,

    由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0,

    由0

    (Ⅱ)由題意得an2=an-an+1,

    ∴Sn=a1-an+1……①,由-=和1≤≤2,得1≤-≤2,

    ∴ n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N?鄢)

    ……②,

    由①②得:

    ≤≤.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的遞推公式,不等式的證明等知識(shí)點(diǎn),屬于較難題,第(Ⅰ)問易證,利用條件中的遞推公式作等價(jià)變形,即可得到==,再結(jié)合已知條件即可得證,第(Ⅱ)問具有較強(qiáng)的技巧性,首先根據(jù)遞推公式將Sn轉(zhuǎn)化為只與an+1有關(guān)的表達(dá)式,再結(jié)合已知條件得到an+1的取值范圍即可得證.由于數(shù)列綜合題與不等式相結(jié)合,技巧性比較強(qiáng),需要平時(shí)一定量的訓(xùn)練與積累,在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.

    三、立體幾何解答技巧

    立體幾何解答題核心考點(diǎn)主要分為三大類:一是考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,這類問題需要考生熟練掌握公理、定理、定義以及空間向量,在高考中考查最多的是平行和垂直關(guān)系,主要以解答題第一問的形式出現(xiàn),在解決這類問題時(shí),要把握好問題的轉(zhuǎn)化方向,并且做好將問題反復(fù)轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)備.二是考查空間向量在立體幾何問題中的綜合應(yīng)用,包括空間角、距離、體積、面積等的計(jì)算,這類問題常以空間幾何體為載體,考查空間量的計(jì)算,這部分內(nèi)容現(xiàn)在基本是用空間向量的方法解決.三是部分考題會(huì)設(shè)計(jì)一問探究題,通過空間向量考查考生“推理論證”“運(yùn)算求解”“數(shù)據(jù)處理”等基本能力.

    例3. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD//BC,AD⊥AB,且PB=AB=AD=3,BC=1.

    (Ⅰ)若點(diǎn)F為PD上一點(diǎn)且PF=PD,

    證明:CF//平面PAB;

    (Ⅱ)求二面角B-PD-A的大?。?/p>

    (Ⅲ)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得CM⊥PA?若存在,求出PM的長;若不存在,說明理由.

    解析:(Ⅰ)過點(diǎn)F作FH//AD,交PA于H,連接BH,因?yàn)镻F=PD,

    所以HF=AD=BC. 又FH//AD,AD//BC,所以HF//BC.

    所以BCFH為平行四邊形,所以CF//BH.

    又BH?奐平面PAB,CF?埭平面PAB,所以CF//平面PAD.

    (Ⅱ)因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD//AB,AD⊥AB,所以BC⊥AB.

    因?yàn)镻B⊥平面ABCD,所以PB⊥AB,PB⊥BC.

    如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

    所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).

    設(shè)平面BPD的一個(gè)法向量為=(x,y,z),平面APD的一個(gè)法向量為=(a,b,c),

    因?yàn)?(3,3,-3),=(0,0,3),

    所以·=0,·=0,即3x+3y-3z=0,3z=0.

    取x=1得到=(1,-1,0),同理可得=(0,1,1),

    所以cos<,>==-,因?yàn)槎娼荁-PD-A為銳角,

    所以二面角B-PD-A為.

    (Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)M,設(shè)==(3,3,-3),

    所以=+=(-1+3,3,3-3),所以·=-9+3(3-3)=0,解得=,

    所以存在點(diǎn)M,且PM=PD=.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線和平面平行、線線、線面垂直,二面角、空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化,體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用,即把幾何的證明與計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計(jì)算問題,是向量的最大優(yōu)勢,把空間一些難以想象的問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算問題,有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問題. 另外利用空間向量解題時(shí),要準(zhǔn)確寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo),這很重要.

    四、概率統(tǒng)計(jì)解答技巧

    概率與統(tǒng)計(jì)是歷屆高考的必考內(nèi)容之一.從今年各地高考試題來看,對概率統(tǒng)計(jì)的考查幾乎涉及所有基本概念和基本公式,并且在題型包裝上多以解答題的形式出現(xiàn),而且概率統(tǒng)計(jì)問題可以通過對題干情境的重新組合、變化使得試題更加貼近學(xué)生實(shí)際,具有時(shí)代氣息,從而更進(jìn)一步考查考生的分析問題、解決問題的能力.

    試題往往以實(shí)際應(yīng)用問題為背景.文科則通過統(tǒng)計(jì)、頻率、古典概型、幾何概型等知識(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力.而理科以排列組合、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)為工具,著重考查基本概型、基本概率事件的識(shí)別、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望等主干知識(shí).試題難度屬于中檔題.

    例4. 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表:

    (Ⅰ)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);

    (Ⅱ)計(jì)算(Ⅰ)中樣本的平均值x 和方差s2;

    (Ⅲ)36名工人中年齡在x-s與x+s之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到0.01%)?

    解析:由系統(tǒng)抽樣可知,36人分成9組,每組4人,其中第一組的工人年齡為44,所以所抽樣本編號(hào)是一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,所以所得樣本數(shù)據(jù)的編號(hào)為:4n-2,(n=1,2,…,9),對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為:44,40,36,43,36,37,44,43,37.

    (2)由平均值公式得x==40.

    由方差公式得s2==.

    (3)因?yàn)閟2=,所以s=. x-s=36,x+s=43,

    所以36名工人中年齡在x-s和x+s之間的人數(shù)等于區(qū)間[37,43]的人數(shù),

    即40,40,41,…,39,共23人.

    所以年齡在x-s與x+s之間共有23人,所占百分比為≈63.89%.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題,整體難度不大,解答本題關(guān)鍵在于第(Ⅰ)問要準(zhǔn)確由系統(tǒng)抽樣的定義得出對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),第(Ⅱ)(Ⅲ)問則直接準(zhǔn)確運(yùn)用公式即可解答,但需注意運(yùn)算過程和運(yùn)算方法的應(yīng)用.

    追蹤練習(xí)3. 某校要用三輛汽車從新校區(qū)把教職工接到老校區(qū),已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路,汽車走公路①堵車的概率為,不堵車的概率為;汽車走公路②堵車的概率為p,不堵車的概率為1-p.若甲、乙兩輛汽車走公路①,丙汽車由于其他原因走公路②,且三輛車是否堵車相互之間沒有影響.

    (Ⅰ)若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為,求走公路②堵車的概率;

    (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求三輛汽車中被堵車輛的個(gè)數(shù)?孜的分布列和數(shù)學(xué)期望.

    解析:(Ⅰ)由已知條件得···(1-p)+()2·p=,

    即3p=1,則p=.

    (Ⅱ)?孜可能的取值為0,1,2,3,

    P(?孜=0)=··=,

    P(?孜=1)=,

    P(?孜=2)=··+···=,

    P(?孜=3)=··=,

    ?孜的分布列為:

    所以E?孜=0·+1·+2·+3·=.

    點(diǎn)評(píng):高考中常常通過實(shí)際背景考查互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,同時(shí)也考查二項(xiàng)分布、超幾何分布等特殊的概率模型.解讀此類問題時(shí)要注意分清類型,運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行解答.本題易犯的錯(cuò)誤是相互獨(dú)立事件之間的關(guān)系混亂,沒有理解題中給定道路選擇的實(shí)際意思.

    五、圓錐曲線解答技巧

    解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.在高考以及各種類型的模擬考試中,基本考查形式是“一大一小”.考小題,重在基本知識(shí)、基本技能的靈活應(yīng)用.而考大題,則主要以圓錐曲線為載體,綜合各個(gè)模塊知識(shí)點(diǎn)(平面向量、導(dǎo)數(shù)、不等式等),全面考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.由于此處題目綜合性強(qiáng),解法靈活多變,充分體現(xiàn)出高考能力立意的命題方向.

    圓錐曲線綜合題由于內(nèi)容豐富、考法靈活,從而難度較大.其能綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力,重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

    例5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-.

    (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

    (Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

    解析:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)B與A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為(1,-1).

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意得·=-,

    化簡得x2+3y2=4(x≠±1).

    故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1)

    (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)M,N得坐標(biāo)分別為(3,yM),(3,yN).

    則直線AP的方程為y-1=(x+1),直線BP的方程為y+1=(x-1).

    令x=3得yM=,yN=.

    于是?駐PMN得面積:

    S?駐PMN=| yM-yN |(3-x0)=.

    又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=2,

    點(diǎn)P到直線AB的距離d=.

    于是?駐PAB的面積S?駐PAB=|AB|·d=|x0+y0|.

    當(dāng)S?駐PAB=S?駐PMN時(shí),得|x0+y0|=.

    又|x0+y0|≠0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=.

    因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,

    故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).

    點(diǎn)評(píng):本題背景取自于教材,但作了創(chuàng)新,重點(diǎn)考查了學(xué)生對知識(shí)的遷移能力,邏輯思維能力及代數(shù)運(yùn)算能力和探究問題的能力.本題第一問,是常規(guī)問題,也是課本問題的一個(gè)變形.課本問題是“將橢圓上任意一點(diǎn)與長軸頂點(diǎn)連線的斜率之積為定值”,而本題則將其變化為“橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓上關(guān)于中心對稱的兩個(gè)點(diǎn)的連線的斜率之積為定值”.解決不難,注意需要去掉兩個(gè)點(diǎn).

    本題第二問,是非常出彩的一個(gè)問題,入口寬,但是能得結(jié)論不易. 具體解決時(shí),可以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),之后由直線AP,BP的方程求得點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo),進(jìn)而可以求得?駐PMN得面積;由|AB|=2以及點(diǎn)P到直線AB的距離可以求得?駐PAB的面積;兩者相等,則可以解出點(diǎn)P的坐標(biāo),具體解題過程如上所示.其實(shí)各位考生應(yīng)該也發(fā)現(xiàn)了,這樣去算的話,計(jì)算量還是很大的.那么有沒有簡單一點(diǎn)的方法呢?在這里,由于∠APB與∠MPN是對頂角,所以相等.從而由|PA|· |PB|sin∠APB=|PM|·|PN|sin∠MPN可得=,則可以有效的化簡解題過程.如下所示.

    【方法二】(Ⅱ)若存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),

    則|PA|·|PB|sin∠APB=|PM|·|PN|sin∠MPN.

    因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN,所以=,

    所以=,即(3-x0)2=|x02+1|,解得x0=,

    因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,

    故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).

    六、函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答技巧

    “函數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)中的核心知識(shí),其思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終,是高考考點(diǎn)中的重中之中.通過導(dǎo)數(shù),可以把函數(shù)、不等式、向量、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)相互交匯滲透,使得這些知識(shí)聯(lián)系的更加緊密.而在這些知識(shí)點(diǎn)的綜合處,由于知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、思想豐富、綜合性強(qiáng).能夠設(shè)置不同層次、難度不一的綜合題以考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決問題的能力,從而使得歷年高考以“函數(shù)、導(dǎo)數(shù)”為主體內(nèi)容的壓軸題頻頻出現(xiàn),且常考常新.

    例6. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k∈R)

    (Ⅰ)證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)

    (Ⅱ)證明:當(dāng)k<1時(shí),存在x0>0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x);

    (Ⅲ)確定k的所有可能取值,使得存在t>0,對任意的x∈(0,t),恒有| f(x)-g(x)|

    解析: (Ⅰ)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x, x∈(0,+∞), 則有F′(x)=-1=-.

    當(dāng) x∈(0,+∞), F′(x)<0, 所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;

    故當(dāng)x>0時(shí), F(x)0時(shí), f(x)

    (Ⅱ)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx, x∈(0,+∞),

    則有G′(x)=-k=.

    ①當(dāng)k<0時(shí),G′(x)>0,所以G(x)在 [0,+∞)上單調(diào)遞增,G(x)>G(0)=0.

    故對任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.

    ② 當(dāng)00.

    取x0=-1,對任意x∈(0, x0), 恒有G′(x)>0,所以G(x)在[0, x0)上單調(diào)遞增, G(x)>G(0)=0, 即f(x)>g(x).

    綜上,當(dāng)k<1時(shí),存在x0>0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).

    (Ⅲ)①當(dāng)k>1時(shí),由(Ⅰ)知,對于任意x∈[0,+∞),g(x)>x>f(x), 故g(x)>f(x),

    | f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)

    令M(x)=kx-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞),

    則有M′(x)=k--2x=,

    故當(dāng)x∈(0,)時(shí),M′(x)>0,M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故M(x)>M(0)=0,即| f(x)-g(x)|>x2,所以滿足題意的t不存在.

    ②當(dāng)k<1時(shí),由(Ⅱ)知存在x0>0,使得對任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).

    此時(shí)| f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,

    令N(x)=ln(1+x)-kx-x2, x∈[0,+∞),

    則有N′(x)=-k-2x=,

    故當(dāng)x∈(0, )時(shí), N′(x)>0, M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x2,記x0與中較小的為x1, 則當(dāng)x∈(0, x1)時(shí),恒有| f(x)-g(x)|>x2, 故滿足題意的t不存在.

    ③當(dāng)k=1,由(Ⅰ)知,當(dāng)x(0,+∞),| f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),

    令H(x)=x-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞), 則有H′(x)=1--2x=,

    當(dāng)x>0時(shí),H′(x)<0,所以H(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,故H(x)

    故當(dāng)x>0時(shí),恒有| f(x)-g(x)|

    綜上,k=1.

    點(diǎn)評(píng):在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí),我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化,探究這類問題的根本,從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn),解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值,從而證得不等式,注意f(x)>g(x)與f(x)min>g(x)max不等價(jià),f(x)min>g(x)max只是f(x)>g(x)的特例,但是也可以利用它來證明,在2014年全國Ⅰ卷理科高考第21題中,就是使用該種方法證明不等式;導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖像,這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的,而是其延續(xù).

    責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)

    猜你喜歡
    題意單調(diào)導(dǎo)數(shù)
    笑笑漫游數(shù)學(xué)世界之理解題意
    弄清題意 推理解題
    審清題意,辨明模型
    解導(dǎo)數(shù)題的幾種構(gòu)造妙招
    數(shù)列的單調(diào)性
    數(shù)列的單調(diào)性
    明確題意 正確解答
    對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用知多少
    關(guān)于導(dǎo)數(shù)解法
    導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用
    免费高清在线观看日韩| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 少妇粗大呻吟视频| 人妻一区二区av| 51午夜福利影视在线观看| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 正在播放国产对白刺激| 国产亚洲av高清不卡| 天天影视国产精品| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 一级作爱视频免费观看| 日日爽夜夜爽网站| 18禁观看日本| 岛国毛片在线播放| 99热国产这里只有精品6| 欧美久久黑人一区二区| 日本黄色视频三级网站网址 | 丁香六月欧美| 久久久久久久国产电影| 国产三级黄色录像| 亚洲人成伊人成综合网2020| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 纯流量卡能插随身wifi吗| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 久久精品91无色码中文字幕| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 99国产精品一区二区三区| 亚洲伊人色综图| 亚洲精品美女久久av网站| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 1024视频免费在线观看| 国产精品免费一区二区三区在线 | 欧美日韩黄片免| 一本综合久久免费| 久久久精品免费免费高清| 丰满的人妻完整版| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 欧美黄色片欧美黄色片| 日韩三级视频一区二区三区| 美女高潮到喷水免费观看| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| a级毛片在线看网站| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 夫妻午夜视频| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 亚洲欧美激情在线| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 国产精品偷伦视频观看了| 亚洲精品国产一区二区精华液| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 日韩欧美国产一区二区入口| 欧美激情高清一区二区三区| 亚洲精品国产一区二区精华液| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 免费少妇av软件| 一夜夜www| 女人被狂操c到高潮| 国产亚洲精品一区二区www | 黄片播放在线免费| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产区一区二久久| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 精品国产一区二区三区四区第35| 亚洲精品自拍成人| 黄色怎么调成土黄色| 不卡一级毛片| 国产精品一区二区在线观看99| 日本一区二区免费在线视频| 国产在视频线精品| 一区二区日韩欧美中文字幕| 91国产中文字幕| 久久热在线av| 好男人电影高清在线观看| 在线天堂中文资源库| 操出白浆在线播放| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 免费黄频网站在线观看国产| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 精品第一国产精品| 成人国产一区最新在线观看| 亚洲av日韩在线播放| 老司机福利观看| 老司机亚洲免费影院| 国产又爽黄色视频| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片 | 国产主播在线观看一区二区| 后天国语完整版免费观看| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 亚洲精品在线观看二区| 久久精品国产亚洲av高清一级| av网站在线播放免费| 美女国产高潮福利片在线看| 99精品欧美一区二区三区四区| 中文欧美无线码| 午夜免费鲁丝| 久久国产乱子伦精品免费另类| 18禁美女被吸乳视频| 色综合欧美亚洲国产小说| 老司机亚洲免费影院| 国产主播在线观看一区二区| 国产熟女午夜一区二区三区| 一本大道久久a久久精品| 精品一区二区三卡| 中国美女看黄片| 亚洲情色 制服丝袜| 国产精品久久久久久精品古装| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 俄罗斯特黄特色一大片| 国产片内射在线| 激情视频va一区二区三区| 日韩三级视频一区二区三区| 精品午夜福利视频在线观看一区| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 在线天堂中文资源库| x7x7x7水蜜桃| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 99re6热这里在线精品视频| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 超碰成人久久| 亚洲久久久国产精品| 99精品久久久久人妻精品| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| av欧美777| 日韩大码丰满熟妇| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| av视频免费观看在线观看| 国产精品成人在线| 欧美乱码精品一区二区三区| 国产精品国产av在线观看| 超色免费av| 99精品在免费线老司机午夜| 午夜福利欧美成人| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 757午夜福利合集在线观看| 热99久久久久精品小说推荐| x7x7x7水蜜桃| 国产亚洲av高清不卡| 国产欧美亚洲国产| 大片电影免费在线观看免费| 中文字幕制服av| 久久中文字幕人妻熟女| 久久影院123| 丝袜在线中文字幕| 狠狠狠狠99中文字幕| 正在播放国产对白刺激| 精品亚洲成a人片在线观看| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 91老司机精品| 亚洲第一av免费看| 在线观看日韩欧美| 下体分泌物呈黄色| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 黑人操中国人逼视频| 国产一区在线观看成人免费| 欧美色视频一区免费| 91在线观看av| 另类亚洲欧美激情| 国产麻豆69| 亚洲国产欧美网| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 免费在线观看完整版高清| av超薄肉色丝袜交足视频| 99久久综合精品五月天人人| 欧美 日韩 精品 国产| 大陆偷拍与自拍| 一边摸一边做爽爽视频免费| 亚洲av电影在线进入| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 两性夫妻黄色片| 成人精品一区二区免费| 国产不卡av网站在线观看| 视频区图区小说| 不卡av一区二区三区| 亚洲第一青青草原| 国产成人av教育| 女性被躁到高潮视频| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 老司机福利观看| 欧美日韩黄片免| 香蕉丝袜av| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 国产高清视频在线播放一区| 久久久久国内视频| 香蕉久久夜色| 成年人免费黄色播放视频| 亚洲精品乱久久久久久| 天堂俺去俺来也www色官网| 国产成人精品在线电影| 亚洲情色 制服丝袜| 午夜影院日韩av| 久久精品成人免费网站| 日韩免费高清中文字幕av| 另类亚洲欧美激情| 老司机午夜福利在线观看视频| 麻豆乱淫一区二区| 亚洲九九香蕉| 精品国内亚洲2022精品成人 | 性少妇av在线| 久久香蕉精品热| 国产精品一区二区在线观看99| 国产精品欧美亚洲77777| 久久久久久人人人人人| 麻豆av在线久日| 精品高清国产在线一区| 精品乱码久久久久久99久播| 国产男女内射视频| 精品亚洲成a人片在线观看| 亚洲人成电影观看| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 1024香蕉在线观看| 狂野欧美激情性xxxx| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 国产亚洲欧美在线一区二区| 亚洲在线自拍视频| 久热这里只有精品99| 欧美日韩一级在线毛片| 色老头精品视频在线观看| 大香蕉久久网| 亚洲情色 制服丝袜| 国产成人系列免费观看| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 欧美日韩精品网址| 中文字幕人妻丝袜制服| 中文字幕高清在线视频| 深夜精品福利| 国产精品 欧美亚洲| 亚洲伊人色综图| 高清毛片免费观看视频网站 | 在线观看www视频免费| 欧美激情高清一区二区三区| 中文字幕高清在线视频| 欧美日本中文国产一区发布| 久久ye,这里只有精品| av天堂在线播放| 丝袜人妻中文字幕| 午夜免费鲁丝| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 91精品国产国语对白视频| 亚洲国产毛片av蜜桃av| bbb黄色大片| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 久久中文字幕人妻熟女| xxxhd国产人妻xxx| 日韩欧美三级三区| 久久久久精品国产欧美久久久| 男女午夜视频在线观看| 国产成人av教育| 亚洲中文字幕日韩| 最近最新免费中文字幕在线| 国产精品乱码一区二三区的特点 | 免费在线观看完整版高清| 老司机午夜福利在线观看视频| ponron亚洲| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 久久精品亚洲av国产电影网| 女性被躁到高潮视频| 国产成人精品在线电影| av国产精品久久久久影院| 国产高清激情床上av| 亚洲人成伊人成综合网2020| 超碰97精品在线观看| 免费人成视频x8x8入口观看| 美国免费a级毛片| 一二三四社区在线视频社区8| 亚洲综合色网址| 纯流量卡能插随身wifi吗| 丝袜人妻中文字幕| 国产成+人综合+亚洲专区| 老汉色av国产亚洲站长工具| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 丰满的人妻完整版| 黑人猛操日本美女一级片| videos熟女内射| 亚洲熟女精品中文字幕| 激情视频va一区二区三区| 精品福利永久在线观看| 又黄又爽又免费观看的视频| 黄频高清免费视频| 欧美乱码精品一区二区三区| 五月开心婷婷网| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 搡老岳熟女国产| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 三上悠亚av全集在线观看| 国产黄色免费在线视频| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 久久国产精品大桥未久av| 黄色怎么调成土黄色| 日韩欧美一区二区三区在线观看 | 日本五十路高清| 一级作爱视频免费观看| 国产成人欧美| 成年人黄色毛片网站| 九色亚洲精品在线播放| 精品福利永久在线观看| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 午夜亚洲福利在线播放| 国产在视频线精品| 久久中文字幕一级| 丝袜美足系列| 91成年电影在线观看| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 99热只有精品国产| 丰满迷人的少妇在线观看| 人妻 亚洲 视频| 人妻久久中文字幕网| 亚洲少妇的诱惑av| 亚洲人成伊人成综合网2020| 亚洲伊人色综图| 一级作爱视频免费观看| 国产精品久久久久久精品古装| 这个男人来自地球电影免费观看| av免费在线观看网站| 亚洲av第一区精品v没综合| 亚洲欧美一区二区三区久久| 国产av精品麻豆| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 欧美黑人欧美精品刺激| 黄色怎么调成土黄色| 国产精品免费一区二区三区在线 | 亚洲第一av免费看| 老司机福利观看| 波多野结衣av一区二区av| 精品无人区乱码1区二区| 中文字幕制服av| 精品久久久久久久久久免费视频 | 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 精品国产乱子伦一区二区三区| 午夜免费观看网址| 中文字幕最新亚洲高清| 亚洲,欧美精品.| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 亚洲片人在线观看| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 亚洲成国产人片在线观看| 新久久久久国产一级毛片| 女警被强在线播放| 韩国精品一区二区三区| 操美女的视频在线观看| 波多野结衣av一区二区av| 亚洲成a人片在线一区二区| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 99久久精品国产亚洲精品| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 很黄的视频免费| av线在线观看网站| 色婷婷av一区二区三区视频| 久久国产乱子伦精品免费另类| 一进一出抽搐动态| 韩国精品一区二区三区| 国产成人免费观看mmmm| 国产在线观看jvid| www.精华液| 午夜福利乱码中文字幕| 色尼玛亚洲综合影院| avwww免费| 国产男女内射视频| 国产欧美日韩一区二区三| 男女高潮啪啪啪动态图| 欧美激情 高清一区二区三区| av一本久久久久| 精品国产美女av久久久久小说| 黑人猛操日本美女一级片| 欧美黑人精品巨大| 亚洲精品国产色婷婷电影| 久久天堂一区二区三区四区| 黑人欧美特级aaaaaa片| 久久久久精品人妻al黑| 国产1区2区3区精品| 亚洲熟妇熟女久久| 在线观看免费高清a一片| 国产亚洲欧美在线一区二区| 咕卡用的链子| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 水蜜桃什么品种好| 欧美日韩成人在线一区二区| 悠悠久久av| 69精品国产乱码久久久| av线在线观看网站| 老司机午夜福利在线观看视频| 搡老岳熟女国产| 老司机福利观看| 午夜福利乱码中文字幕| 久久人妻av系列| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 精品少妇久久久久久888优播| 日本黄色日本黄色录像| 热re99久久国产66热| 老司机影院毛片| 亚洲欧美一区二区三区久久| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 久热爱精品视频在线9| 麻豆av在线久日| 亚洲中文字幕日韩| 在线观看免费午夜福利视频| 婷婷精品国产亚洲av在线 | 久久天堂一区二区三区四区| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 亚洲av片天天在线观看| 国产亚洲精品久久久久5区| www日本在线高清视频| 夜夜爽天天搞| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 亚洲熟女精品中文字幕| 乱人伦中国视频| 夜夜夜夜夜久久久久| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 色尼玛亚洲综合影院| 日韩欧美三级三区| 91精品国产国语对白视频| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 亚洲精品自拍成人| 婷婷成人精品国产| 精品国产一区二区久久| 啦啦啦免费观看视频1| 日韩欧美在线二视频 | 精品卡一卡二卡四卡免费| 国产有黄有色有爽视频| 9热在线视频观看99| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片 | 亚洲国产欧美一区二区综合| av片东京热男人的天堂| 午夜福利欧美成人| 制服人妻中文乱码| 99在线人妻在线中文字幕 | 国产精品 国内视频| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 国产色视频综合| 999久久久国产精品视频| 国产亚洲欧美98| 一a级毛片在线观看| 搡老乐熟女国产| 亚洲熟妇熟女久久| 亚洲一区二区三区不卡视频| 交换朋友夫妻互换小说| 不卡一级毛片| av片东京热男人的天堂| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 老司机福利观看| 1024香蕉在线观看| 久久国产亚洲av麻豆专区| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 国产成人免费无遮挡视频| 欧美黄色片欧美黄色片| 在线国产一区二区在线| 天堂中文最新版在线下载| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 中文欧美无线码| 国产深夜福利视频在线观看| 成人三级做爰电影| 欧美黄色片欧美黄色片| 9191精品国产免费久久| 免费人成视频x8x8入口观看| 国产一区二区三区视频了| 精品一区二区三区四区五区乱码| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 伦理电影免费视频| 女性生殖器流出的白浆| 久久久久国产精品人妻aⅴ院 | 国产精品影院久久| 国产精品久久电影中文字幕 | 色尼玛亚洲综合影院| 99国产精品免费福利视频| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 国产亚洲精品久久久久5区| 久热爱精品视频在线9| 久久久国产成人免费| 国产野战对白在线观看| 国产人伦9x9x在线观看| 久久精品人人爽人人爽视色| 曰老女人黄片| 国产欧美日韩一区二区精品| 精品亚洲成a人片在线观看| 国产精品欧美亚洲77777| 老汉色av国产亚洲站长工具| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 日韩人妻精品一区2区三区| 亚洲精品国产区一区二| 最新在线观看一区二区三区| 精品国产美女av久久久久小说| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 日韩欧美免费精品| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 无人区码免费观看不卡| 欧美黑人精品巨大| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 男女之事视频高清在线观看| 午夜两性在线视频| 99久久精品国产亚洲精品| 久久久精品免费免费高清| 国产精品电影一区二区三区 | 精品国产超薄肉色丝袜足j| 很黄的视频免费| 日韩欧美一区视频在线观看| 免费观看精品视频网站| 男女免费视频国产| 久久婷婷成人综合色麻豆| 国产成人免费观看mmmm| 亚洲成人国产一区在线观看| 亚洲午夜理论影院| 国产精品久久视频播放| 老熟女久久久| 伦理电影免费视频| 老司机影院毛片| 一级a爱视频在线免费观看| 日韩有码中文字幕| 国产主播在线观看一区二区| 丁香六月欧美| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 多毛熟女@视频| 亚洲中文av在线| 曰老女人黄片| 99热国产这里只有精品6| 国产不卡一卡二| 免费观看精品视频网站| 满18在线观看网站| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 中出人妻视频一区二区| 老汉色av国产亚洲站长工具| 亚洲国产精品合色在线| 成人黄色视频免费在线看| 亚洲欧美色中文字幕在线| 精品久久久久久久久久免费视频 | 亚洲人成电影观看| 涩涩av久久男人的天堂| 高清在线国产一区| 天天添夜夜摸| 少妇 在线观看| 精品久久久久久电影网| 精品国产美女av久久久久小说| 午夜日韩欧美国产| 69av精品久久久久久| 中文字幕制服av| 午夜久久久在线观看| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 美女国产高潮福利片在线看| 日本一区二区免费在线视频| 精品人妻在线不人妻| 亚洲精品av麻豆狂野| 亚洲av熟女| 飞空精品影院首页| 色综合欧美亚洲国产小说| 日韩三级视频一区二区三区| 欧美日韩精品网址| 精品无人区乱码1区二区| 久久精品国产清高在天天线| 国产在视频线精品| 后天国语完整版免费观看| 999久久久国产精品视频| 国产亚洲欧美98| 亚洲国产看品久久| 99久久综合精品五月天人人| 午夜福利影视在线免费观看| 国产伦人伦偷精品视频| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 免费人成视频x8x8入口观看| 欧美日韩黄片免| 欧美日韩乱码在线| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 国产成人精品久久二区二区免费| 天堂动漫精品| av电影中文网址| 最近最新免费中文字幕在线| 超碰97精品在线观看| 最新在线观看一区二区三区| 一区福利在线观看| 久久久久精品国产欧美久久久| 亚洲精品美女久久av网站| 91在线观看av| 在线看a的网站| 国产亚洲精品久久久久久毛片 | 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 视频区图区小说| 日本欧美视频一区| 国产高清videossex| 久久久久精品人妻al黑| 美女福利国产在线| 99国产综合亚洲精品| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 老汉色∧v一级毛片| 久久午夜亚洲精品久久| 欧美亚洲日本最大视频资源| 99香蕉大伊视频| 亚洲 国产 在线| 国产成人av教育| 国产亚洲精品第一综合不卡| e午夜精品久久久久久久| 在线观看一区二区三区激情| 欧美另类亚洲清纯唯美| 黄色女人牲交| 黑人欧美特级aaaaaa片| 国产精品二区激情视频| xxx96com| 99re6热这里在线精品视频| 真人做人爱边吃奶动态| 国产欧美亚洲国产| 精品高清国产在线一区| 国产一区二区激情短视频| 欧美最黄视频在线播放免费 | av免费在线观看网站| a在线观看视频网站| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 99香蕉大伊视频| 涩涩av久久男人的天堂| 国产激情久久老熟女| 一进一出好大好爽视频| 久久影院123| 国产高清视频在线播放一区| videos熟女内射| 首页视频小说图片口味搜索| 午夜精品国产一区二区电影| 一区在线观看完整版|