正交多項式的圖形及檢索程序

張 楠，楊 彩

(1.重慶師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，重慶 401331;2.南陽師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南南陽 473061)

正交多項式有著較長的研究歷史，在理論上已經(jīng)比較成熟。它與數(shù)學(xué)、物理以及其他科技領(lǐng)域都有著密切的聯(lián)系，特別是在數(shù)學(xué)物理方程和逼近論以及工程技術(shù)的一些學(xué)科上有著重要的應(yīng)用。

在通常的數(shù)學(xué)物理方法教材或工具書中已經(jīng)給出了正交多項式的一般表達(dá)式、母函數(shù)、遞推公式、正交歸一性等，但大都是以級數(shù)形式給出的，這往往會導(dǎo)致計算量過大。本文利用數(shù)學(xué)物理方法的相關(guān)理論，根據(jù)最低階幾個正交多項式的值及其遞推公式，編寫計算機(jī)高級語言程序，計算出隨宗量變化的正交多項式各點的值，用origin軟件畫圖，給出這幾種正交多項式的曲線和數(shù)據(jù)表，并以數(shù)據(jù)表為庫文件，用Java EE框架中Struts2技術(shù)和Java SE中的隨機(jī)讀取文件類對庫文件進(jìn)行訪問和檢索，使正交多項式的使用更加方便。

1 正交多項式表達(dá)式及其遞推公式

1.1 勒讓德多項式

n 階勒讓德多項式［1－3］在區(qū)間［1，1］上的級數(shù)形式為

勒讓德多項式的遞推公式為

利用遞推公式，由P0(x)和P1(x)可以求出P2(x)，由P1(x)和P2(x)可以求出P3(x)，以此類推，就可以求出各階勒讓德多項式的值。

1.2 拉蓋爾多項式

n階拉蓋爾多項式［4］的表達(dá)式為

由此，最低階的幾個拉蓋爾多項式的具體表達(dá)式是:

則拉蓋爾多項式的遞推公式為

1.3 厄米多項式

厄米多項式［5，6］的表達(dá)式為

則厄米多項式的遞推公式為

2 正交多項式曲線

由此根據(jù)正交多項式的表達(dá)式，從最低階的2個正交多項式的值及其遞推公式出發(fā)，編寫Fortran語言［7－9］程序，計算出這些正交多項式在宗量范圍內(nèi)各個點的值，并用 origin［10，11］給出正交多項式曲線，如圖1～4所示。

圖1 P0(x)－P5(x)的圖像

圖2 P6(x)－P10(x)的圖像

圖3 L0(x)－L4(x)的圖像

圖4 H0(x)－H4(x)的圖像

3 正交多項式檢索程序

用Fortran語言程序計算出的多項式數(shù)據(jù)表的數(shù)據(jù)量非常大，查詢起來不方便。因此，本文將數(shù)據(jù)表當(dāng)作庫文件，運用 Java EE框架［12］中的Struts2技術(shù)對庫文件進(jìn)行訪問，并用Java SE［13］中的隨機(jī)讀取文件類進(jìn)行檢索，做成正交多項式檢索程序，以方便查詢各階多項式的值。

檢索程序的使用方法為:首先選擇多項式類型，然后根據(jù)宗量x的取值范圍及步長，輸入宗量x的值，最后輸入階數(shù)n的值，點擊“確定”即得到要求的n階多項式的值。

具體檢索示例如下:

1)求宗量x等于0.11時，5階勒讓德多項式的值。

先從多項式類型中選擇勒讓德多項式，根據(jù)宗量x的取值范圍及步長，輸入宗量x的值0.11，輸入階數(shù)n的值5，如圖5所示。

圖5 求解勒讓德多項式值的輸入界面

再點擊“確定”即可得要求的5階勒讓德多項式的值，點擊“返回”可繼續(xù)求其它值，如圖6所示。

圖6 勒讓德多項式值的求解結(jié)果

2)求宗量x等于5.23時，12階拉蓋爾多項式的值。

先從多項式類型中選擇拉蓋爾多項式，根據(jù)宗量x的取值范圍及步長，輸入宗量x的值5.23，輸入階數(shù)n的值12，如圖7所示。

圖7 求解拉蓋爾多項式值的輸入界面

再點擊“確定”即可得到要求的12階拉蓋爾多項式的值，點擊“返回”可繼續(xù)求其它值，如圖8所示。

圖8 拉蓋爾多項式值的求解結(jié)果

4 結(jié)束語

本文利用數(shù)學(xué)物理方法的基本理論，根據(jù)最低階幾個正交多項式(勒讓德多項式、拉蓋爾多項式和厄米多項式)的值及其遞推公式，編寫Fortran語言程序，計算出隨宗量變化的正交多項式各個點的值，用origin給出曲線，并用Java EE框架中的Struts2技術(shù)對庫文件進(jìn)行訪問和Java SE中的隨機(jī)讀取文件類進(jìn)行檢索，編成多項式檢索程序，從而得出求各階正交多項式值的簡單方法。

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