一分思考，一分收獲

周軍高

問(wèn)題：一輛自行車在一條平直的公路上行駛，公路各處的路況均相同?，F(xiàn)有一種輪胎，若將其安裝在這輛自行車的前輪處，則行駛5000 km后報(bào)廢；若將其安裝在這輛自行車的后輪處，則行駛3 000 km后報(bào)廢。如果自行車安裝一對(duì)新的這種輪胎，行駛一定路程后，我們將前后輪胎交換位置。使這對(duì)輪胎能同時(shí)報(bào)廢，那么這輛自行車最多能行駛多遠(yuǎn)？

分析：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，要想直接分析出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系并不容易，不妨設(shè)出未知數(shù)。借助式子分析相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并列出方程進(jìn)行求解。

所以這輛自行車最多能行駛1875+1875=3750（km）。

思考1：前面列方程的依據(jù)是每個(gè)輪胎的剩余量除以其單位路程內(nèi)的磨損量得到的路程相等，這是本題中隱含的一個(gè)相等關(guān)系，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)。在前面的結(jié)論中，自行車在換胎前后行駛的路程相等（都是1875 km），這是巧合，還是隱含的內(nèi)在規(guī)律呢？帶著疑問(wèn)，我們探索如下。

由此可知，兩個(gè)輪胎同時(shí)報(bào)廢的話，自行車在換胎前后行駛的路程相等。這不是巧合。而是隱含的內(nèi)在規(guī)律！有了這個(gè)內(nèi)在規(guī)律，解答此題就容易多了。

新解法1：得到自行車在換胎前后行駛的路程相等這一結(jié)論的過(guò)程從略。

設(shè)自行車行駛x km后交換前后輪胎的位置。則又行駛x km后兩個(gè)輪胎同時(shí)報(bào)廢。

新解法2：設(shè)換胎前后自行車行駛的路程分別為x km、y km。

所以這輛自行車最多能行駛3 750 km。

思考3：再觀察新解法2的方程組中未知數(shù)的系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，我們不需要解方程組，只要將兩個(gè)方程相加就可以求解問(wèn)題。

新解法3：設(shè)元、構(gòu)造方程組的過(guò)程同上。

將方程組中的兩個(gè)方程相加。得

所以這輛自行車最多能行駛3 750 km。

思考5：以上幾種解法都是基于設(shè)每個(gè)輪胎的磨損總量為單位1，這樣設(shè)起來(lái)簡(jiǎn)單，但計(jì)算時(shí)稍顯煩瑣（因?yàn)橛休^大的分母），能否換一種方法，使得計(jì)算較為簡(jiǎn)便呢？

新解法5：設(shè)每個(gè)輪胎的磨損總量為15 000k（因?yàn)? 000和3 000的最小公倍數(shù)是15 000），則自行車每行駛1 km，前輪、后輪處輪胎的磨損量分別為3k、5k。再設(shè)換胎前后自行車行駛的路程分別為x km、y km。

所以這輛自行車最多能行駛3750km。

思考6：隨著研究的深入，問(wèn)題中隱含的規(guī)律愈加明顯，所發(fā)現(xiàn)的新解法也越來(lái)越多。越來(lái)越巧妙。再看新解法5的方程組中的3、5、8、15 000，突然有一種靈感，又得到一種新解法。

新解法6：如果準(zhǔn)備8個(gè)（4對(duì)）新輪胎。不管是在前輪處還是在后輪處，每個(gè)輪胎只要報(bào)廢了就換新的，那么，前輪處共報(bào)廢3個(gè)新輪胎，行駛的最遠(yuǎn)路程為15 000 km，后輪處共報(bào)廢5個(gè)新輪胎，行駛的最遠(yuǎn)路程為15 000 km。從而可知。4對(duì)新輪胎最多能行駛15 000 km，這樣，一對(duì)新輪胎最多能行駛15 000÷4=3 750（km）。

下面針對(duì)這類問(wèn)題給出一般結(jié)論：一輛自行車在一條平直的公路上行駛，公路各處的路況均相同?，F(xiàn)有一種輪胎，若將其安裝在這輛自行車的前輪處，則行駛akm后報(bào)廢；若將其安裝在這輛自行車的后輪處，則行駛6 km后報(bào)廢。如果自行車安裝一對(duì)新的這種輪胎，行駛一定路程后，我們將前后輪胎交換位置，使這對(duì)輪胎能同時(shí)報(bào)廢，那么這輛自行車最多能行駛2ab/a+bkm。這個(gè)結(jié)論我們似乎見過(guò)，請(qǐng)同學(xué)們做一做下面的練習(xí)題，相信大家一定會(huì)有所感悟！

1.一輛汽車先從甲地到乙地，再沿原路返回。若汽車從甲地到乙地的速度為akm/h。返回時(shí)的速度為6 km/h。則汽車往返甲、乙兩地的平均速度是多少？

2.小明從火車站回家。前一半時(shí)間乘公共汽車，后一半時(shí)間步行，已知乘公共汽車行完全程需要ah，步行走完全程需要6 h，那么小明從火車站到家需要用多長(zhǎng)時(shí)間？

3.有一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做需要口天完成。乙單獨(dú)做需要6天完成。現(xiàn)在要求前一半時(shí)間由甲單獨(dú)做，后一半時(shí)間由乙單獨(dú)做，則完成這項(xiàng)工作需要多少天？