基于改進的K睸VD字典學習CT圖像重建算法

何文章 楊瑩 張艷慧

摘要：不完全投影數(shù)據(jù)圖像重建為降低照射劑量提供了一個新的解決方案。在KSVD字典學習算法中，由于選取KSVD算法中的初始化字典對訓練得到的自適應(yīng)字典構(gòu)造有影響，因此通過引進一個稀疏初始化字典矩陣，使KSVD字典學習算法能更好地適應(yīng)于稀疏圖像重建。在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于改進的KSVD字典學習和SART重建算法相結(jié)合的圖像重建算法。實驗結(jié)果表明，該算法能夠在投影數(shù)據(jù)不完備的情況下準確地重建出圖像，同時保留圖像的細節(jié)分量，提高重建圖像的質(zhì)量，尤其是可以減少由于投影數(shù)據(jù)不完備而造成的條狀偽影現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：圖像重建；SART算法；KSVD字典學習；稀疏角度

DOIDOI：10.11907/rjdk.161351

中圖分類號：TP317.4文獻標識碼：A文章編號文章編號：16727800（2016）007019003

0引言

CT技術(shù)在提供快捷、精準的診斷手段的同時，射線輻射也成為了亟待解決的問題，而研究不完全角度下的圖像重建問題，能夠有效解決射線輻射問題。CT重建算法中，一般要求完備的投影數(shù)據(jù)集。但在很多實際應(yīng)用中，由于成像系統(tǒng)掃描的幾何位置約束或數(shù)據(jù)采集時間上的不同，導致采集到的數(shù)據(jù)不完備，從而使重建得到的圖像存在著條狀偽影現(xiàn)象，并使圖像中的細節(jié)變得完全模糊。也即是說，現(xiàn)有的圖像重建算法無法很好地改善成像速度與重建圖像質(zhì)量方面的問題。

CS理論為解決不完全角度下的圖像重建問題指出了新方向。研究稀疏角度下的圖像重建算法，其實是在原有的掃描方式上增大角度增量，從而使掃描出的角度數(shù)量減少，以有效降低掃描過程所需的照射劑量并縮短掃描時間，同樣也可在快速成像的應(yīng)用中得到良好的成像效果。SART圖像重建算法由于其具有在處理投影數(shù)據(jù)不完全情況的同時，可以很好地抑制偽影，并且可以引入物體的先驗信息等優(yōu)點，獲得了廣泛應(yīng)用。

研究表明，基于字典學習算法（Dictionary Learning，DL）即自適應(yīng)訓練得到的字典稀疏編碼（Sparsecoding）在效果上要優(yōu)于固定字典的稀疏編碼，在自適應(yīng)的動態(tài)字典下，圖像能夠得到更為稀疏的表達，在很多應(yīng)用中獲得了非常好的效果。通過此算法構(gòu)造完備矩陣，選擇最稀疏的一組解使矩陣和訓練集相似的目標向量進行稀疏表示。該算法通過選擇適當?shù)淖值?，可以獲得良好的效果。本文將SART圖像重建與圖像的稀疏性相結(jié)合，字典更新采用KSVD算法，稀疏編碼采用OMP算法，主要是為了在獲得的投影數(shù)據(jù)量比較小的情況下提高圖像質(zhì)量，尤其是可以減少因為投影數(shù)據(jù)不完備而造成的條狀偽影現(xiàn)象。

1CT重建原理

1.1迭代圖像重建基本問題及原理

迭代圖像重建算法[5]其實是離散化連續(xù)圖像f（x，y）的一個過程，可以把物理現(xiàn)象和其本身的數(shù)學模型建立一個線性方程組：

式中pi表示第i條射線的投影值；M代表投影數(shù)據(jù)總個數(shù)，即某一個角度投影的射線數(shù)乘以投影角度個數(shù)；pi代表第j個網(wǎng)格（像素）內(nèi)的常數(shù)值；N=n×n是像素總數(shù)；αij代表方程組系數(shù)，即投影射線在該像素內(nèi)所截線段的長度，其關(guān)系到重建圖像的精度與速度。式（1）可用矩陣表示為：

AX=P（2）

式中P為M維測量值的一組向量；X為N維圖像向量；A為M×N維的系數(shù)矩陣，圖像的重建過程其實是根據(jù)A和P求解出X，從而把圖像的重建問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€求解線性方程組的問題。

在實際應(yīng)用過程中，對于射線數(shù)目M和圖像的像素個數(shù)N相對較大的問題，傳統(tǒng)的矩陣方法并不能高效地求出X。1984年，聯(lián)合代數(shù)重建算法（Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique，SART）作為代數(shù)重建算法（ART）的主要改進算法被提出。在ART迭代重建算法中，每條射線都要修正各xj的值，直到每條射線都作完修正，完成第一次迭代。而SART利用一個像素里全部射線的修正值來確定對該像素的平均修正值，目的是對噪聲進行平滑，而且與ART相比，其計算結(jié)果與投影順序無關(guān)。SART的算法公式為：

其中，k表示迭代次數(shù)，1≤i≤N，1≤j≤M，λ表示松弛因子（0<λ<2），Iθ代表投影角度θ下投影索引的集合。

1.2字典學習方法

字典學習的過程是為了找到一個字典，從而使訓練集合中任意一個圖像塊均能通過字典中的原子來稀疏表示。為了減小計算復雜度，本文采用K-means聚類算法[6]將圖像分為小圖像塊，對每個小圖像塊進行字典學習操作。KSVD字典學習問題可以表述為：

第一步：稀疏編碼階段，此時懲罰項為：

其中原始圖像y={yi}Ni=1，yi=Riy，R表示從原始圖像y中獲得圖像塊yi的操作；α為稀疏表示系數(shù)，α={αi}Ni=1；T0為稀疏度，=D為過完備字典?，F(xiàn)轉(zhuǎn)向字典學習步驟，假設(shè)字典固定，考慮字典的某一列k以及與該原子對應(yīng)的稀疏表示系數(shù)αkT，即α的第k行，此時懲罰函數(shù)可以表示為：

去噪之后的圖像為：

y=Dα（8）

1.3基于改進的KSVD字典學習的SART圖像重建算法

在KSVD字典學習算法中，由于選取KSVD算法中的初始化字典對訓練得到的自適應(yīng)字典構(gòu)造有影響，本文通過引進一個稀疏矩陣B，使初始化字典在過完備DCT字典上呈現(xiàn)稀疏性，以使KSVD字典學習算法能更好地適應(yīng)于稀疏圖像重建?，F(xiàn)認為字典的原子在DCT過完備字典上依舊會表現(xiàn)出稀疏性，即：

=DB（9）

其中D是已經(jīng)給出的基字典（過完備DCT字典），而矩陣B是一個稀疏矩陣，通過改變矩陣B來達成的靈活性，此時KSVD的目標函數(shù)式（3）需改為：

將SART算法結(jié)合KSVD字典學習算法，得到以下基于改進的KSVD字典學習的圖像重建模型為：

上式中的第一項代表測量值間與重建出投影數(shù)據(jù)的總體相似度，稱為保真項，該部分可利用代數(shù)重建迭代法來重建，如ART、SART算法等。因此，本文將運用SART算法獲取字典學習過程的初始值。第二項表示誤差約束， αi則表示它所對應(yīng)的塊圖像Riy經(jīng)過圖像重構(gòu)后得到的近似值。

算法流程如下：①輸入投影數(shù)據(jù)P，等間距采樣；②初始化：給重建的圖像賦初始值f=0，設(shè)定每個參數(shù)值，初始化字典、字典學習次數(shù)、SART算法的迭代次數(shù)；③用公式（3）對圖像f進行一次SART迭代，得到圖像新的像素值；④將第③步重建出來的圖像通過Kmeans聚類算法進行分塊操作，得到每個小圖像塊；⑤將第④步得到的圖像代入公式（10）中進行字典學習，對圖像去噪；⑥將第⑤步更新得到的像素值重新作為公式（3）中SART迭代算法的初始值；⑦重復②-⑤，直到達到迭代次數(shù)要求為止。

2仿真實驗

2.1重建圖像質(zhì)量評價

求出本文算法重建得到的圖像與原始模型之間的信噪比：

其中，xtruj代表原始圖像第j個像素的灰度值，truj為原始圖像中像素的平均灰度值，xrecj表示本文算法重建圖像第j個像素的灰度值。

2.2仿真實驗結(jié)果

本文的仿真實驗采用SheppLogan模型作為重建對象，獲得完備的投影數(shù)據(jù)，通過SART迭代算法獲得稀疏角度下的投影數(shù)據(jù)，如圖1所示。

通過平行光束掃描進行重建，本文算法首先在0～180°內(nèi)分別每隔9°、3°均勻采取投影數(shù)據(jù)，接著運用SART重建算法對其進行圖像重建。本文對SART算法和基于改進的KSVD字典學習的圖像重建算法進行仿真實驗操作，并對比兩種方法的實驗結(jié)果。兩種算法各迭代10次，圖3表示投影數(shù)據(jù)為60的情況重建得到的結(jié)果評估，圖4表示投影數(shù)據(jù)為20的情況重建得到的結(jié)果評估，如圖2～圖4所示。

對投影數(shù)據(jù)個數(shù)不同時重建圖像的效果作比較，利用MSE、SNR和PSNR三種量化指標來評測原始模型和重建得到圖像的相似程度，計算結(jié)果如表2所示。

3結(jié)語

在不完全投影數(shù)據(jù)條件下，為了把圖像的稀疏性與SART圖像重建算法更好地結(jié)合起來，本文通過把SART與改進的KSVD字典學習圖像重建算法相結(jié)合，對標準模型進行仿真實驗。實驗結(jié)果表明，本文算法在圖像重建效果以及提高信噪比方面，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的SART算法。因此，本文算法可進一步提高圖像質(zhì)量，減少噪聲和偽影，使重建圖像與原始圖像相比效果更加逼真。

參考文獻：

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