芝諾悖論的中學(xué)理解

徐水龍

悖論是人的直覺與日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論.古希臘著名的哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家芝諾曾提出四個(gè)著名的數(shù)學(xué)悖論，給人們帶來了極大的困惑，但也促進(jìn)了希臘幾何學(xué)方法走向嚴(yán)謹(jǐn).它對(duì)幾何學(xué)的發(fā)展、數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，乃至哲學(xué)上時(shí)空觀念的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響.如何向高中學(xué)生解釋芝諾悖論，下面簡(jiǎn)單先介紹一下芝諾的四個(gè)悖論：

一、不運(yùn)動(dòng)說

物體永遠(yuǎn)不可由甲地運(yùn)動(dòng)到乙地.運(yùn)動(dòng)著的物體要達(dá)到終點(diǎn)，首先必須經(jīng)過路途的一半，為此它又必須先走完這一半的一半，依此類推，以至無窮.假如承認(rèn)有運(yùn)動(dòng)，這運(yùn)動(dòng)著的物體連一個(gè)點(diǎn)也不能越過，因?yàn)槟悴荒茉谟邢薜臅r(shí)間內(nèi)越過無窮的點(diǎn).

二、運(yùn)動(dòng)員跑不過烏龜說

阿基里斯（在希臘神話中善于跑步的人）永遠(yuǎn)追不上烏龜.因?yàn)椋飞淆?，他首先必須到達(dá)烏龜出發(fā)的地點(diǎn).這時(shí)候?yàn)觚斚蚯白吡艘欢温?于是阿基里斯又必須趕上這段路，而烏龜又會(huì)向前走了一段路.他總是愈追愈近，但是始終追不上它.

三、飛矢靜止說

飛著的箭是靜止的.因?yàn)?，飛著的箭在不同的時(shí)間處于不同的位置，甲時(shí)在A點(diǎn)，乙時(shí)在B點(diǎn)，在連續(xù)的時(shí)間中，箭相繼地靜止在一系列的點(diǎn)上.既然是在某一點(diǎn)上，怎么能運(yùn)動(dòng)呢？運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是一系列靜止的總和.那么它就不能動(dòng)了.

四、一半等于全部說

一半的時(shí)間可以等于全部的時(shí)間.首先假設(shè)在操場(chǎng)上，在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里，相對(duì)于觀眾席A，列隊(duì)B、C將分別各向右和左移動(dòng)一個(gè)距離單位.

◆◆◆◆觀眾席A

▲▲▲▲隊(duì)列B

隊(duì)列C

B、C兩個(gè)列隊(duì)開始移動(dòng)，對(duì)B而言C移動(dòng)了兩個(gè)距離單位.也就是，隊(duì)列既可以在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里移動(dòng)一個(gè)距離單位，也可以在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動(dòng)一個(gè)距離單位，這就產(chǎn)生了半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位的矛盾，因此隊(duì)列是移動(dòng)不了的.

從本質(zhì)上來說芝諾的四個(gè)悖論可分為三類，其中“不運(yùn)動(dòng)說”與“運(yùn)動(dòng)員跑不過烏龜說”的核心問題都是“有限的時(shí)間是否能一一接觸無窮個(gè)點(diǎn)”，本質(zhì)相同.“飛矢靜止說”研究的是運(yùn)動(dòng)的概念.“一半等于全部說”研究的是位移的運(yùn)算.

這四個(gè)悖論看上去非常有道理，但與現(xiàn)實(shí)的確存在很大矛盾，那么究竟錯(cuò)在哪里呢？下面一一進(jìn)行解釋.

首先，最容易解決的是第四個(gè)悖論.顯然，芝諾的錯(cuò)誤在于否定相對(duì)位移.舉個(gè)例子，假設(shè)你坐在車上行駛了10公里，而你相對(duì)于車來說是靜止的，難道10公里與0是一樣的嗎？同理，當(dāng)B對(duì)A走了一段時(shí)間，則C對(duì)A也走了同一段時(shí)間，由于B與C反向，所以造成在同一段時(shí)間內(nèi)相對(duì)位移增大一倍，因此“C的時(shí)間要比它用來越過A的時(shí)間長(zhǎng)一倍”是錯(cuò)誤的.

接著我們來解決“不動(dòng)說”.顯然芝諾將運(yùn)動(dòng)的概念歸結(jié)為是沒有位移.因?yàn)樗械奈矬w在瞬間都是沒有位移的，因此他否認(rèn)運(yùn)動(dòng)的存在.好比我們給運(yùn)動(dòng)員跑步時(shí)拍照，拍出的照片人都是靜止不動(dòng)的，但運(yùn)動(dòng)員在跑步過程中的確都保持著運(yùn)動(dòng).學(xué)生容易理解的是運(yùn)動(dòng)要有速度，而問題正是出在速度的計(jì)算上，也就是平均速度的計(jì)算公式上.芝諾認(rèn)為速度等于位移比上時(shí)間，如果位移為零速度即為零，但在瞬時(shí)時(shí)間間隔時(shí)間同樣為零，因此速度為0除以0，沒有意義.我們知道，瞬時(shí)速度的計(jì)算公式為： v= s t ，s為物體在時(shí)間間隔t內(nèi)所通過的位移，它是位移關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)極限值，因此就不能割斷某一瞬間與前后時(shí)間的關(guān)系，芝諾在這里采用的方法是把時(shí)間和空間分割成不可再分的小點(diǎn)，肯定了這種無限的離散性，但在時(shí)間上又不承認(rèn)“流逝性”，在究竟上又不承認(rèn)“統(tǒng)一性”，于是錯(cuò)誤就不可避免了.

歸根結(jié)底，首先芝諾以形而上學(xué)的觀點(diǎn)看問題，導(dǎo)致其否認(rèn)運(yùn)動(dòng)；其次，芝諾的錯(cuò)誤在于不承認(rèn)無限是客觀存在的，而用一系列有限的過程來逼近無限，結(jié)果自然有所偏差.這個(gè)內(nèi)容涉及到“實(shí)無限”與“潛無限”的辯證關(guān)系，不是中學(xué)生所能理解的.但我們用高中數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)已經(jīng)能夠看明白芝諾悖論的錯(cuò)誤所在，并能舉出具體事例反駁，同時(shí)在反駁的過程中加深了對(duì)相對(duì)位移、導(dǎo)數(shù)、無窮數(shù)列等基本概念的理解，達(dá)到了教學(xué)的目的.