數(shù)學(xué)期望及其應(yīng)用

朱迪

【摘要】 數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量最重要的特征數(shù)之一，它是消除隨機(jī)性的主要手段.本文通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)期望的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用性的舉例，闡述了數(shù)學(xué)期望在隨機(jī)事件中的重要地位和很強(qiáng)的應(yīng)用性.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)期望；概率；隨機(jī)事件

引 言 在17世紀(jì)中葉，以為賭徒向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱長(zhǎng)久的份賭本問(wèn)題：甲、乙兩賭徒賭技不相上下，各出賭注50法郎，每局中無(wú)平局.他們約定，誰(shuí)先贏三局，則得到全部的賭本100法郎.當(dāng)甲贏二局、乙贏了一局時(shí)，因故（國(guó)王召見(jiàn)）要中止賭博，現(xiàn)在要分這100法郎.1654年帕斯卡提出了分法，在其解法里面也首次出現(xiàn)了“數(shù)學(xué)期望”.

本文通過(guò)借鑒詩(shī)松的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》、中山大學(xué)數(shù)力系翻譯的P.L.Meyer的《概率引論及統(tǒng)計(jì)應(yīng)用》和石慶東發(fā)表在中國(guó)科技信息上的例談數(shù)學(xué)期望這篇文章，對(duì)數(shù)學(xué)期望的相關(guān)性質(zhì)以及應(yīng)用做了進(jìn)一步的探討.

1.數(shù)學(xué)期望的定義

由于隨機(jī)變量分為離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量，所以在定義數(shù)學(xué)期望式分兩種情況.

1.1 離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為：

這里例題所求運(yùn)用了期望的定理1，對(duì)隨機(jī)變量所得函數(shù)進(jìn)行了期望計(jì)算.

3.2 數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用

3.2.1 數(shù)學(xué)期望在商店進(jìn)貨問(wèn)題中應(yīng)用

例2 設(shè)某商店銷(xiāo)售某種商品，該商品每周的需求量ξ是一個(gè)服從區(qū)間[100，300] 上的均勻分布的隨機(jī)變量.正常情況下，每銷(xiāo)售一單位商品可獲利500元.若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位剩余商品虧損100元；若供不應(yīng)求，可以外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)一單位商品獲利300元.問(wèn)該商店進(jìn)貨量應(yīng)該為多少，可使平均每周的利潤(rùn)達(dá)到最大？

y實(shí)際上為變量，對(duì)y求導(dǎo)得0，得到y(tǒng)=23.33.又因?yàn)?E L ″ y=-15<0.所以當(dāng)y=23.33時(shí)，利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望E L 取得最大值.

3.2.2 數(shù)學(xué)期望在法律糾紛中的應(yīng)用

在民事糾紛案件中，受害人如果將案件提交法院訴訟，其不僅需要考慮訴訟勝利的可能性，還應(yīng)該考慮承擔(dān)訴訟的費(fèi)用問(wèn)題.如果對(duì)案件進(jìn)行理性思考，一般人往往會(huì)選擇私下解決而不通過(guò)法院.現(xiàn)在以一個(gè)民事糾紛案件來(lái)說(shuō)明.

例3 某施工單位A在施工過(guò)程中由于某種原因致使居民B受傷，使居民受傷并使其遭受了20萬(wàn)元的經(jīng)濟(jì)損失.若將該案件提交訴訟，則訴訟費(fèi)共需要0.8萬(wàn)元，并按所負(fù)責(zé)任的比例雙方共同承擔(dān).而根據(jù)案件發(fā)生的情形以及外部因素的影響，法院最后的判決可能有三種情況：

（1）施工單位A承擔(dān)事故100 % 責(zé)任，要向受害人B支付20萬(wàn)元的賠償費(fèi)，并支付訴訟費(fèi)0.8萬(wàn)元；

（2）施工單位A承擔(dān)70 % 的責(zé)任，要向受害人B支付14萬(wàn)元的賠償費(fèi)，并支付訴訟費(fèi)0.56萬(wàn)元，另外0.24萬(wàn)元訴訟費(fèi)由受害人支付；

（3）施工單位A承擔(dān)50 % 的責(zé)任，要向受害人B支付10萬(wàn)元的賠償費(fèi)，并支付訴訟費(fèi)0.4萬(wàn)元，另外0.4萬(wàn)元訴訟費(fèi)由受害人支付.

居民B估計(jì)法院三種判決的可能性分別為0.2，0.6，02，如果施工單位A想私下和解而免于訴訟，至少應(yīng)向受害人B賠償多少數(shù)額的賠償費(fèi)，才能使受害居民B從經(jīng)濟(jì)利益考慮而選擇私下和解？

首先從受害人B的角度來(lái)看受害人通過(guò)法院訴訟所獲得的期望賠償.設(shè)受害人B上訴可獲賠償為：（萬(wàn)元），則ξ的分布列：

由上述分析和求解可以看出，若從經(jīng)濟(jì)利益角度來(lái)看，私下和解賠償給受害人B的數(shù)額應(yīng)該不超過(guò)14.976萬(wàn)元，否則，私下和解對(duì)于施工單位A便失去了意義.

結(jié)束語(yǔ)

本論文主要涉及了數(shù)學(xué)期望的概念，性質(zhì)，定理并通過(guò)商品進(jìn)貨，法律問(wèn)題方面的舉例來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用.整體是由數(shù)學(xué)期望的理論轉(zhuǎn)向其在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

從上述眾多性質(zhì)和所列舉的例子中可以體會(huì)到數(shù)學(xué)期望的奇妙之處和應(yīng)用的廣泛性，它是減少隨機(jī)性的重要手段，在涉及概率統(tǒng)計(jì)和決策時(shí)，往往會(huì)利用數(shù)學(xué)期望理論，但數(shù)學(xué)期望只是一種平均值，在實(shí)際問(wèn)題中往往要結(jié)合其他的數(shù)字特征才能更好的解決問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 茆詩(shī)聰，程依明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M] .北京：高等出版社，2015.

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[4] 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.概率論語(yǔ)數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M] .上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2012.