數(shù)形結(jié)合法巧解函數(shù)類壓軸小題

四川省涼山州美姑縣中學(xué)西昌校區(qū)（西昌市西寧鎮(zhèn)原工業(yè)技校） 615013

摘 要 函數(shù)類壓軸小題是高考的一種重要題型，短小精悍，具有一定的難度.本文嘗試從函數(shù)圖像的角度采用數(shù)形結(jié)合思想來解決該類問題，同時提出在高三復(fù)習(xí)中學(xué)生應(yīng)該從哪幾個方面來把握函數(shù)問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；分段函數(shù)；零點(diǎn)；高考壓軸題；

最近，筆者給高三尖子生作函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊復(fù)習(xí)時遇到不少函數(shù)類壓軸小題，絕大部分試題要用到函數(shù)的圖像才能高效的突破.由于函數(shù)類壓軸小題在高考中的分值較大，通常都具有一定的難度，如果學(xué)生能把握好這些試題的解答，整張試卷得高分就成為可能.俗話說，得小題者得天下.本文略取兩個小題，還原高考的思維過程，探求在復(fù)習(xí)中該如何把握函數(shù)類問題的解法，體會數(shù)形結(jié)合思想在解題中的魅力.

一、試題再現(xiàn)

例1.（2014成都一診文數(shù) ）已知函數(shù) ，若函數(shù) 在區(qū)間 上恰有一個零點(diǎn)，則 的取值范圍為（ ）

例2.（2015年成都一診理數(shù) ）已知函數(shù) ，若存在實(shí)數(shù) 使得函數(shù) 的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_______

二、解法研究

例1試題平凡，題意清晰，以分段函數(shù)為載體，涉及分段函數(shù)的圖像、函數(shù)的零點(diǎn)、直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)，隱藏直線與曲線相切.根據(jù)“分段函數(shù)的圖像分段繪制”的原則，分別作出兩個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖像，如圖1.由函數(shù)的零點(diǎn)的定義得 ，即 .此方程從函數(shù)與方程的角度來思考，即方程的根的個數(shù)是函數(shù) 與 的交點(diǎn)個數(shù)，于是，比較自然的思路是畫過原點(diǎn)的直線與曲線相交，此時需要計算 與 相切時 的值.經(jīng)過簡單的計算（省略），當(dāng)直線與曲線相切時 ；當(dāng)直線過點(diǎn) 時 .若對例1作一個變式研究，自然是要討論 對函數(shù) 零點(diǎn)的個數(shù)的影響，這里留給讀者研討，不作贅述.

例2試題也較常規(guī)，但難度明顯大于例1，仍然以分段函數(shù)為載體，以圖像為突破口，不同之處是分界點(diǎn)未知，且區(qū)間是動態(tài)的（即第二段區(qū)間含有參數(shù) ）.筆者采取分步突破的辦法：一方面，先在每一段函數(shù)解析式有意義的前提下繪制出兩個部分的函數(shù)圖像；另一方面，根據(jù)分段點(diǎn) 和右端點(diǎn) 來截取部分圖像，使得此時的圖像所表示的函數(shù)值域?yàn)?，如圖2所示.令 解得 ，又令 解得 ，再通過圖像推算得 .

讀者必會有一個疑問是“存在一個分段點(diǎn) 使得值域?yàn)?”中的 “存在”量詞如何理解呢？為了回答這個問題，筆者給出原試題的兩個變式，作了如下進(jìn)一步研究：

①若只把試題中的分段點(diǎn) 劃分到第一段區(qū)間，則

②若只把試題中的“存在”量詞改為“對任意 ”，則

三、解法與學(xué)法反思

上面兩例僅涉及數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，然而，數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中的滲透卻是方法面面的.下面從解法和學(xué)法兩個方面簡要闡述二者的聯(lián)系：

一方面，就解法而言，數(shù)形結(jié)合在處理函數(shù)問題時形象直觀、思路清晰、運(yùn)算通常也比較簡便，尤其在處理函數(shù)類壓軸小題涉及零點(diǎn)、交點(diǎn)等問題時可減少分類討論，受到廣大師生的青睞，具有廣泛的應(yīng)用.另一方面，就學(xué)法而言，對學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時提出了更高的要求，希望學(xué)生能從圖像的角度掌握函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，周期性、單調(diào)性、凹凸性等.同時，能畫出基本函數(shù)的圖像更是深入學(xué)習(xí)其他復(fù)雜函數(shù)性質(zhì)的一把利器.只有畫好了函數(shù)的圖像才能在解題中無形的使用圖像，使數(shù)形結(jié)合思想貫穿在整個解題過程中.

參考文獻(xiàn)：

[1]張曉東.數(shù)形結(jié)合思想方法 在高考解題中的運(yùn)用[N]高考，2013（1）：24-26

[2]廖栲連.數(shù)形結(jié)合在2013年高考選擇、填空題中的應(yīng)用舉例[J]福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（11）：44-46

[3]彭善琪.例談數(shù)形結(jié)合在高考題中的應(yīng)用[J]中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（8）：45-46

作者簡介：鄭潤華（1983.3-），男，漢，湖北孝感，中學(xué)二級教師，碩士研究生，單位：美姑縣中學(xué)西昌校區(qū)，研究方向：高中數(shù)學(xué)命題、解題研究，信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用研究.