做好中學(xué)數(shù)學(xué)建模，提升數(shù)學(xué)課程價(jià)值

張思明

2016年即將推出的新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，最突出的變化是突出了“立德樹人”的根本要求，在學(xué)科課程的學(xué)習(xí)中，通過落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的教與學(xué)來培養(yǎng)人和發(fā)展人。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、后天形成的、可以通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程培養(yǎng)的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成了一個(gè)有機(jī)整體。

作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，主要包括：在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，建立模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。它是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；加深對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解；學(xué)會交流與合作；提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神；認(rèn)識數(shù)學(xué)建模在解決科學(xué)、社會、工程技術(shù)等問題中的作用。新的課程標(biāo)準(zhǔn)不僅對提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提出要求，而且進(jìn)一步給出課時(shí)和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)方面的要求。

作為一線教師，如何將提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的要求落實(shí)在日常教學(xué)中呢？數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成，需要過程，需要積累，需要交流和反思，也需要問題和情境。為此，在具體教學(xué)中要特別注意以下幾點(diǎn)。

1.提高認(rèn)識，勇于實(shí)踐

在上一輪的課程改革中，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)被寫入高中課程標(biāo)準(zhǔn)，但由于沒有課時(shí)安排、教學(xué)資源匱乏等，并未實(shí)際進(jìn)入課堂。近幾年，由于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模成為大學(xué)理工科和部分文科專業(yè)的必修內(nèi)容，成為創(chuàng)新人才培養(yǎng)的有效途徑，成為改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式、提升創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的有效手段，因而不斷得到重視。

通過已有的建模實(shí)踐，我們也深刻地感受到數(shù)學(xué)建模能很好地表現(xiàn)出“立德樹人”的要求。做建模的過程，是教師和學(xué)生一起成長的過程。團(tuán)隊(duì)中的很多教師有這樣的感受，困難是暫時(shí)的，資源和經(jīng)驗(yàn)是在參與中快速增長的，而學(xué)生的成長變化是每日可見的，是我們做建模的動力源。

2.把握層次，及時(shí)滲透

數(shù)學(xué)建模是新課標(biāo)的核心素養(yǎng)，具有很強(qiáng)的綜合性，與其他核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密、相互交融。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的養(yǎng)成，需要一個(gè)漸進(jìn)的而又有層次的過程，需要在各章節(jié)及內(nèi)容上有意滲透，逐漸提升要求。因此，從數(shù)學(xué)應(yīng)用滲透到完整的數(shù)學(xué)建?；顒?，包括以下層次：

（1）為了幫助學(xué)生理解、建立概念、函數(shù)、定理、公式等而有意設(shè)計(jì)的實(shí)際情境。（2）直接套用數(shù)學(xué)概念、函數(shù)、定理、公式等，給出有實(shí)際意義的結(jié)果，或者解釋、說明、得到結(jié)果的實(shí)際意義。（3）通過簡單的變換，間接套用數(shù)學(xué)概念、函數(shù)、定理、公式等，給出有實(shí)際意義的結(jié)果。（4）教師或教材給出實(shí)際問題，引領(lǐng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)化的，簡單、具體的數(shù)學(xué)應(yīng)用。（5）教師或教材給出實(shí)際問題，學(xué)生自主完成數(shù)學(xué)化的，簡單、具體的數(shù)學(xué)應(yīng)用。（6）教師或教材給出問題情境，學(xué)生自主提出實(shí)際問題，師生一起完成“建立模型”和“模型求解”等主要過程的數(shù)學(xué)活動。（7）全過程（選題、開題、做題、結(jié)題）、學(xué)生部分自主（在發(fā)現(xiàn)提出問題、模型的選擇和建立、求解模型、給出模型結(jié)果的解釋等環(huán)節(jié)中，教師部分參與，給予指導(dǎo)和支持）的數(shù)學(xué)建?；顒?。（8）全過程、全自主（學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)提出問題，自主完成數(shù)學(xué)化的建模過程，自主求解模型，自主給出模型結(jié)果的解釋，在整個(gè)過程中，可以自主尋求教師的幫助）的數(shù)學(xué)建?；顒印?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2021/06/20/qkimageszgjszgjs201609zgjs20160914-1-l.jpg"/>

作為一線教師，應(yīng)在日常教學(xué)中有意完成（1）（2）（3）（4）的內(nèi)容，可以在章節(jié)復(fù)習(xí)中出現(xiàn)（5）的要求。

（6）（7）（8）是數(shù)學(xué)建模的專項(xiàng)要求，教材中會有體現(xiàn)，教師可根據(jù)學(xué)生的情況，選擇做到一定程度，如可以只做到（6）的水平。

此外，做好數(shù)學(xué)建模滲透，也要有意識地抓住“滲透點(diǎn)”。例如：（1）指數(shù)函數(shù)—人口增長、指數(shù)爆炸。（2）有實(shí)際背景和意義的函數(shù)圖像。（3）數(shù)列的通項(xiàng)與求和—存款的本金和利息的計(jì)算。（4）分段函數(shù)—郵費(fèi)或打車費(fèi)用的計(jì)算。（5）三角函數(shù)的應(yīng)用—有實(shí)際意義的高度、距離和角度的計(jì)算。（6）有實(shí)際意義的三角函數(shù)值、周期的計(jì)算或解釋。（7）直線和二次曲線的實(shí)際意義（拱橋曲線、入射線、反射線等）……

3.關(guān)注過程，積累資源

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)學(xué)建模活動”提出了過程的要求，主要是指建模要以課題研究的形式來開展。課題可由教師給定，也可由學(xué)生與教師協(xié)商確定。課題研究的過程，包括選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)。學(xué)生要撰寫開題報(bào)告，教師要組織開展開題交流活動。開題報(bào)告包括選題的意義、文獻(xiàn)綜述、解決問題思路、研究計(jì)劃、預(yù)期結(jié)果等；做題就是解決問題的過程，包括描述問題、數(shù)學(xué)表達(dá)、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善等過程；結(jié)題包括撰寫研究報(bào)告和報(bào)告研究結(jié)果，由教師組織學(xué)生開展結(jié)題答辯。根據(jù)選題內(nèi)容，報(bào)告可以采用專題作業(yè)、測量報(bào)告、算法程序、制作實(shí)物或研究論文等多種形式，而且學(xué)生也可以采取獨(dú)立的方式或者小組合作的方式，完成課題研究。學(xué)生的開題、解題報(bào)告，都是不可多得的建模再學(xué)習(xí)的資源，值得我們分析和挖掘。

本文主要通過一組教學(xué)案例來表現(xiàn)以上的想法。

建?；顒影咐?：蚊香問題的開題討論

問題情境：市場中所賣某品牌的一片蚊香如圖1所示。它的俯視外觀圖是一個(gè)近似的中心對稱圖形，我們也稱這片蚊香的過對稱中心的弦為“直徑”。經(jīng)測量，最大直徑長為119毫米，最小直徑長為106毫米。這一片蚊香可以打開、拆成形狀一樣但旋轉(zhuǎn)方向相反的兩盤蚊香。

問：（1）每盤蚊香大致可以燃燒多長時(shí)間（精確到0.1小時(shí)）？

（2）如果市場上需要此種品牌的持續(xù)燃燒時(shí)間分別為4小時(shí)、8小時(shí)、10小時(shí)的蚊香，分別計(jì)算它們對應(yīng)的蚊香片的最大直徑（精確到1毫米）。

過程簡介：

（1）學(xué)生提供上網(wǎng)檢索，或者自己購買一片蚊香做燃燒實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該蚊香的燃燒速度約為每小時(shí) 12 厘米。（2）開題。教師組織學(xué)生個(gè)人或小組討論后，讓學(xué)生努力給出解決問題的技術(shù)路線，在班內(nèi)交流解決問題的大體思路，互相啟發(fā)，互相質(zhì)疑，從而提高解決問題的可行性。

教師給學(xué)生比較充分的時(shí)間和機(jī)會表達(dá)不同的想法，學(xué)生會提出確定蚊香長度的各種模型和算法，此時(shí)教師應(yīng)要求學(xué)生比較優(yōu)劣，主要想法如表1所示。

做題、結(jié)題環(huán)節(jié)從略。

說明：

這個(gè)案例是教師給出確定問題，用選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)來推進(jìn)數(shù)學(xué)建?；顒拥囊粋€(gè)案例。案例的重點(diǎn)是：表現(xiàn)學(xué)生在“開題”環(huán)節(jié)試圖解決此問題的不同思考。為了保證數(shù)學(xué)建模的效果，應(yīng)特別注重過程和活動的設(shè)計(jì)，防止變成“講練范式”，保障學(xué)生在建模過程中獨(dú)立思考的機(jī)會和權(quán)利。

建?；顒影咐?：學(xué)校內(nèi)、外建筑物的測高

目的：通過測量學(xué)校內(nèi)的可及目標(biāo)（旗桿和教學(xué)樓的高）和校外的不可及目標(biāo)（如校外鄰近的一座寫字樓）的高度，讓學(xué)生通過分組、合作學(xué)習(xí)，用選題、開題、做題、結(jié)題四環(huán)節(jié)，結(jié)合幾何或三角知識解決實(shí)際測高問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模活動的一個(gè)完整過程。

情境（測量任務(wù)）：

測量本校一座教學(xué)樓的高度；測量本校旗桿的高度；測量學(xué)校墻外的一座不可及但在學(xué)校操場上可以看見的高大寫字樓（或其他可見的高大建筑）的高度。要求學(xué)生組成2～3人的測量小組，以小組為單位完成實(shí)際測量的數(shù)據(jù)獲取，以個(gè)人為單位填寫測量報(bào)告（含測量方法、計(jì)算過程和計(jì)算的數(shù)據(jù)和結(jié)果）。

活動過程：

（1）選題：由教師給出原始問題

教師可以對學(xué)生提出如下的要求和建議：①成立工作小組，討論小組的工作目標(biāo)、分工，準(zhǔn)備相應(yīng)的測量工具（可以自制一些簡單的測量工具，如測角的工具）。②測量之前，應(yīng)通過小組成員間的“頭腦風(fēng)暴”，討論交流，明確測量方案，分工測量數(shù)據(jù)。最好有兩套方案測量同一建筑物，思考如何才能減小誤差。查閱有關(guān)資料，設(shè)法發(fā)現(xiàn)并提出一些測量效率高的新方法。③分工合作，完成實(shí)際測量，及時(shí)記錄好測量數(shù)據(jù)。④完成計(jì)算和報(bào)告，在課上交流，可用實(shí)物、照片、模型、PPT等形式表現(xiàn)小組成果和創(chuàng)意。

（2）開題：交流

組織課堂上的開題交流，讓學(xué)生分組討論自己打算采用的測量方法，教師和其他同學(xué)可以提出質(zhì)疑。例如，有的學(xué)生提出可以通過測量仰角來計(jì)算高度，有的學(xué)生提出可以利用太陽的影子來測量樓或旗桿的高度，有的學(xué)生提出可以用照相機(jī)拍一張測量對象和參照物如已知身高的人在一起的照片，通過參照物的高度按比例算出樓的高度……這時(shí)教師要適時(shí)追問、相互探討，讓學(xué)生明確測量要用到的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)他們的良好的思維習(xí)慣和科研習(xí)慣。

事先認(rèn)真思考，可以減少實(shí)踐過程中的盲目、低效和失誤，也可以讓學(xué)生意識到看似簡單的問題中也有不少需要認(rèn)真思考的事物。

（3）做題：實(shí)測

①測量實(shí)施的地點(diǎn)可以選擇學(xué)校內(nèi)外的開闊地帶，如操場、停車場等，要求學(xué)生合作完成，但應(yīng)獨(dú)立地填寫“測量報(bào)告”?？砂才旁诮y(tǒng)一的時(shí)間，這對教師的現(xiàn)場觀察和管理有利。

②在學(xué)生測量過程中，教師要認(rèn)真巡視，發(fā)現(xiàn)和記錄態(tài)度認(rèn)真、合作默契、測量方法好的測量小組和個(gè)人，特別注意觀察和發(fā)現(xiàn)測量中的問題。不合理的測量方法，會造成測量結(jié)果出現(xiàn)很大的誤差和嚴(yán)重失實(shí)。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)類似問題時(shí)，教師要把它看成一個(gè)極好的教育契機(jī)，讓學(xué)生對出現(xiàn)這樣問題的原因進(jìn)行分析和反思，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋求解決問題的辦法。而且，教師要仔細(xì)觀察，認(rèn)真記錄測量現(xiàn)場學(xué)生比較好的創(chuàng)意和測量中的問題，以供講評時(shí)使用。

（4）結(jié)題交流和評價(jià)

在學(xué)生完成“測量報(bào)告”后，可安排一次交流講評活動，安排報(bào)告的學(xué)生最好有特點(diǎn)，如測量結(jié)果準(zhǔn)確、測量過程完整清晰、測量方法有創(chuàng)意、誤差處理有手段、報(bào)告書寫認(rèn)真到位……實(shí)際上，這種交流講評的環(huán)節(jié)往往是數(shù)學(xué)建模過程中讓學(xué)生收獲最大的環(huán)節(jié)。

（5）生成可拓展的資源（師生共同提出測量后的拓展問題）

這樣的測量方法，對嗎？全班中有一多半的學(xué)生，采用照相法測旗桿的高。要點(diǎn)如下：讓一個(gè)已知身高1.8米的A學(xué)生站在旗桿下，拍一張照片，再從照片上“量出”旗桿有7個(gè)A學(xué)生的身高，于是就可以推斷旗桿有7×1.8=12.6米高。如果正確，為什么，原理是什么？如果不對，為什么，如何矯正？

以下是測量后學(xué)生提出的新問題，同樣可以成為建模的新的生成性資源。

①本市的最高建筑物—電視塔的高度是多少米？

②一座高度為H米的電視塔，它的信號傳播半徑是多少千米？信號覆蓋面積有多大？

③找一張北京市的地圖，看一看該市的地域面積有多少平方千米？電視塔的位置在地圖的什么地方，根據(jù)計(jì)算得到的數(shù)據(jù)，看看這座電視塔發(fā)出的電視信號是否可以覆蓋該市？

……

分析：

測量樓高是一個(gè)很傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，該課題對培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題、動手實(shí)踐、誤差分析等能力很有好處。測量的模型方法可以以幾何為主，如比例線段、相似形等，也可以用三角方法，甚至可以用物理方法，如自由落體的記時(shí)、幾何光學(xué)的雙鏡法等。因此，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生合作學(xué)習(xí)，自主設(shè)計(jì)、選擇測量方法解決問題。也可以提出這樣的要求，用兩種不同的方法測量同一對象。

此案例是教師給出確定問題，內(nèi)容貼近學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識，比較容易上手。不用“講練”模式，而用選題、開題、做題、結(jié)題四環(huán)節(jié)來推進(jìn)建?；顒樱菫榱藢W(xué)生能有效地參與解決問題的過程。在合作交流中，通過想一想、選一選、議一議、說一說、做一做、講一講、評一評、比一比等形式，做中學(xué)，學(xué)中做，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，展現(xiàn)個(gè)性特長，嘗試創(chuàng)新。

通過建模案例，我們可以看到，要善于設(shè)計(jì)和組織有效的數(shù)學(xué)建?；顒?，讓學(xué)生“卷入、投入、深入”其中，在活動中展示個(gè)性特長，表現(xiàn)智慧和創(chuàng)造力，激發(fā)興趣，提升素養(yǎng)，更好地理解數(shù)學(xué)的作用和價(jià)值。

責(zé)任編輯：孫建輝