直線運(yùn)動(dòng)相遇和追及問題的模型構(gòu)建與探究お

鄭行軍

相遇和追及問題是指兩物體能否在同一時(shí)刻到達(dá)空間的同一位置，此問題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是同時(shí)；二是同一位置.解決此類問題時(shí)，首先對(duì)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況分別進(jìn)行研究，然后列出兩物體的位移方程；再利用時(shí)間關(guān)系、位移關(guān)系、速度關(guān)系來建立兩物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的橋梁，最終找出相遇和追及問題的條件或特點(diǎn)，所以解決此類問題的關(guān)鍵在于尋找兩物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、位移和速度關(guān)系.

1 模型構(gòu)建

1.1 軌跡模型的構(gòu)建

同一直線上的相遇和追及問題常見情況：相向運(yùn)動(dòng)模型、同向運(yùn)動(dòng)-同時(shí)同地模型、同向運(yùn)動(dòng)-同時(shí)不同地模型、同向運(yùn)動(dòng)-同地不同時(shí)模型，四種模型的位移和時(shí)間關(guān)系如下：

1.2 問題模型的構(gòu)建及分析

【模1】 涉及相遇時(shí)的物理量分析：

分析思路：①根據(jù)題目條件畫出物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用軌跡圖找出物體運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系.②分析物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)公式利用位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系求解，可先求時(shí)間后求其它物理量.

【模2】 涉及相距最近（遠(yuǎn)）的物理量分析：

處理方法：函數(shù)法、圖象法、結(jié)論法.

分析思路：

①利用兩物體末速度相等求兩物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

②求出在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移.

③根據(jù)條件畫出兩物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用軌跡圖找出兩物體的最近（遠(yuǎn)）距離關(guān)系.

【模3】 涉及恰好不相撞問題的物理量分析：

問題特征：恰好不相撞問題應(yīng)同時(shí)滿足以下關(guān)系：（1）末時(shí)刻兩物體相遇，應(yīng)存在位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系；（2）末時(shí)刻兩物體速度相等.

分析思路：

①利用末速度相等求出兩物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

②求出在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)兩物體運(yùn)動(dòng)的位移.

③根據(jù)條件畫出兩物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用軌跡圖求出臨界狀態(tài)下的待求量.

【模4】 涉及前物做不可逆勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物理量分析：

問題特征：后物在與前物相遇前可能存在前物已處于靜止.

分析思路：

①假設(shè)前物做勻減速的末速度為零，求出前物減速至零所需的時(shí)間.

②求出前物減速至零時(shí)，兩物體運(yùn)動(dòng)的位移.

③根據(jù)位移畫出兩物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)軌跡圖判斷前物減速零時(shí)，后物是否已和前物相遇.

【模5】 涉及物體運(yùn)動(dòng)最大速度的物理量分析：

問題特征：兩物體在相遇前，物體的速度可能已達(dá)到最大值.

分析思路：

①假設(shè)兩物體在相遇前，物體一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng).

②分析題目條件畫出物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用軌跡圖尋找兩物體運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系.

③分析物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)學(xué)公式利用位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系求解，判斷物體的末度是否超越最大值.

2 模型應(yīng)用及分析

例1 同向運(yùn)動(dòng)的甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻恰好同時(shí)通過同一個(gè)路標(biāo)，以此時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，此后甲質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為v=4t+12，乙質(zhì)點(diǎn)位移隨時(shí)間的變化關(guān)系為x=2t+4t2，以上各式均使用國際單位.（1）甲質(zhì)點(diǎn)的位置-時(shí)間表達(dá)式；（2）兩質(zhì)點(diǎn)何時(shí)再次相遇；（3）兩質(zhì)點(diǎn)相遇之前何時(shí)相距最遠(yuǎn).

解析 本題由題目條件可知應(yīng)為同向運(yùn)動(dòng)的同地同時(shí)模型，相遇軌跡如圖6所示：

通過對(duì)以上不同類型的相遇和追及問題的題目分析，采用模型化構(gòu)建的探究模式優(yōu)點(diǎn)在于：

（1）五類軌跡模型的構(gòu)建抓住了相遇和追及問題的軌跡特點(diǎn)，使得在分析不同表象的題目時(shí)，都能有一個(gè)清晰的軌跡模型，從而簡化了題目的解題思路，提高了解題的效率，實(shí)現(xiàn)了化繁為簡的目的.

（2）問題模型的構(gòu)建挖掘了模型中可能存在隱含知識(shí)，抓住了問題的本質(zhì)和相應(yīng)的分析思路，提高了解題的應(yīng)變能力.

（3）軌跡模型和問題模型的構(gòu)建完善了相遇和追及問題的知識(shí)體系，通過對(duì)兩種模型合理組合，活化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，觸發(fā)了聯(lián)想性思維的有效遷移.