Hamming圖H(D,q)與Hadamard乘法

付月敏

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 石家莊　050024)

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Hamming圖H(D,q)與Hadamard乘法

付月敏

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 石家莊050024)

摘要:本文給出了Hamming圖H(D,q)的標(biāo)準(zhǔn)模上的一組基，并討論了該基在 Hadamard乘法下的性質(zhì).

關(guān)鍵詞:Hamming圖； Hadamard乘法； 基

1預(yù)備知識(shí)

令Γ=(X,R)表示一個(gè)沒(méi)有重邊,沒(méi)有環(huán)的無(wú)向有限連通圖,其中X為頂點(diǎn)集,R為邊集.令?為Γ頂點(diǎn)之間的距離函數(shù).記D:=max{?(x,y)|x,y∈X},我們稱D為Γ的直徑.稱Γ是距離正則的,如果對(duì)于任意整數(shù)h,i,j(0≤h,i,j≤D),任意頂點(diǎn)x,y∈X,當(dāng)?(x,y)=h時(shí),數(shù)值

對(duì)于0≤i≤D,規(guī)定MatX(C)中矩陣Ai如下：

稱Ai為Γ的第i個(gè)距離矩陣,矩陣A1稱為Γ的鄰接矩陣,簡(jiǎn)記為A.易知：

2完全圖及其標(biāo)準(zhǔn)模上的Hadamard乘法

任意兩個(gè)頂點(diǎn)都鄰接的簡(jiǎn)單圖稱為完全圖,具有n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖記為Kn.完全圖是直徑為2的距離正則圖[1].令A(yù)為Kn=(X,R)的鄰接矩陣,取定x∈X,A*=A*(x)為Kn的對(duì)偶鄰接矩陣,V=CX為其標(biāo)準(zhǔn)模.則由E0=|X|-1J可知

A0=I,A=J-I=|X|E0-I.

(1)

其中,

定義MatX(C)中矩陣Δ如下：

并且下式成立：

(2)

引理1符號(hào)如上所述,則有

1)AΔ=ΔA*;

2)A*Δ=ΔA.

證明： 由式(1),(2)可知

故1)式成立.同理2)式可證.

引理3設(shè)y∈X,且y≠x.則有

(3)

(4)

成立,其中Ⅱ?yàn)槿?列向量.

證明： 由Δ的定義以及E0=n-1J和E0+E1=I事實(shí)結(jié)論可得.

引理4下面結(jié)論成立：

1)對(duì)于任意y∈X,且y≠x,有

(5)

2)對(duì)于不同的y,z∈X,且y,z≠x,且有

1)得證.同理2)可證.

引理5下面結(jié)論成立：

1)對(duì)于任意u∈V,

2)對(duì)于任意y∈X,且y≠x,有

3)對(duì)于不同的y,z∈X,且y,z≠x,有

由(4)和(5)有

2)得證.同理3)可證.

3Hamming圖及其標(biāo)準(zhǔn)模上的Hadamard乘法

定義1設(shè)Y是一個(gè)基數(shù)為q(q≥2)的有限集合,D為正整數(shù),Hamming圖H(D,q)的頂點(diǎn)集為X=YD.兩個(gè)頂點(diǎn)相鄰當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)序列僅有一個(gè)位置上的元素不同.

定義2 設(shè)圖Γ=(X,R)和圖?！?(X′,R′),規(guī)定?！力！錇轫旤c(diǎn)集合X×X′的圖.頂點(diǎn)(u,v)與頂點(diǎn)(u′,v′)鄰接當(dāng)且僅當(dāng)或者u=v且u′與v′在圖?！渲朽徑?或者u′=v′且u與v在圖Γ中鄰接.我們稱?！力！涫铅Ｅc?！涞目ㄊ戏e.

定義3文獻(xiàn)[6，p.404]對(duì)于任意B∈MatX′(C)和B′∈MatX′(C),規(guī)定B?B′為MatX×X′(C)中矩陣,且((u,u′),(v,v′)的值等于B的(u,v)值與B′的(u′,v′)值之積.我們稱B?B′為B與B′與的張量積.

由文獻(xiàn)[3,p.107]有

(B1?B1′)(B2?B2′)=(B1B2)(B1′B2′);

(6)

B?(γ1B1′+γ2B2′)=γ1B?B1′+γ2B?B2′;

(7)

(γ1B1′+γ2B2′)?B=γ1B1′?B+γ2B2′?B,

其中,γ1,γ2∈C.

引理6文獻(xiàn)[6.p.404]Hamming圖H(D,q)可以看做D個(gè)Kq的卡氏積,即Kq×Kq×…×Kq則H(D,q)的鄰接矩陣A為

(8)

其中,I1為q×q的單位矩陣.H(D,q)的對(duì)偶鄰接矩陣A*為

(9)

(10)

構(gòu)成V的一組基.

定義4取定x∈X,規(guī)定MatX(C)中矩陣Δ為

(11)

由(6)可知Δ可逆,并且其逆元

(12)

引理8符號(hào)如上所述,則有

1)AΔ=ΔA*;

2)A*Δ=ΔA.

證明： 由(7),(8)和(11)可知

由引理1,式(9),(7)和(11)可知上式為

從而1)得證.同理2)可證.

對(duì)于任意y,z∈X,設(shè)

(13)

是其中兩個(gè)元素,由(3.12)，(3.13)和引理7可知

對(duì)于任意y,z∈X,有

(14)

下面給出本文的主要結(jié)論.

定理1符號(hào)如上所述,下面結(jié)論成立：

1)對(duì)于任意u∈V,

2)對(duì)于任意y∈Γ(x)有

3)對(duì)于不同的y,z∈Γ(x)有

再由引理5知1)成立.

從而3)式成立.

參考文獻(xiàn)：

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[2]馮克勤,章璞,李尚志.群與代數(shù)表示引論[M].合肥: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2006.

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[5]TerwilligerP.Thesubconstituentalgebraofanassociationscheme,(PartI)[J].J.AlgebraCombin.,1992,1(4):363-388.

Hamming graphsH(D,q) and Hadamard multiplication

FU Yue-min

(CollegeofMathematicsandInformationScience,HebeiNormalUniversity,ShijiazhuangHebei050024，China)

Abstract:In this paper，we give a base |y∈X} for the standard module of Hamming graphs H(D,q),and discuss the properties of the base under the Hadamard multiplication.

Keywords:Hamming graphs;Hadamard multiplication; Base

中圖分類號(hào)：O157.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-9383(2016)01-0001-06

作者簡(jiǎn)介:付月敏,女,河北人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榇鷶?shù)與代數(shù)組合.

基金項(xiàng)目:河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A2013205021)

收稿日期：2016-02-17