噴射混凝土受壓損傷本構(gòu)模型研究

關(guān) 虓， 牛荻濤， 王家濱， 吳 博

(西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055)

噴射混凝土是借助噴射設(shè)備，在壓力作用下，通過輸送管道，將按一定比例配合好的拌合料高速噴射到受噴面并瞬時壓密的混凝土。噴射混凝土由噴射砂漿發(fā)展而來，其特性與普通混凝土大致相同，但與普通混凝土相比，噴射混凝土有不同的成分，材料有不同的特性。近年來，噴射混凝土因具有施工便捷、成本低廉、結(jié)構(gòu)性能良好等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于隧道、邊坡、地下硐室的支護以及建筑結(jié)構(gòu)的加固防護工程[1-5]。因此，系統(tǒng)研究噴射混凝土的基本力學(xué)特性，對其在工程中更好地應(yīng)用具有重要意義。

隨著損傷理論的迅速發(fā)展，混凝土材料損傷性質(zhì)的研究取得一定進展[6-9]。文獻[10-11]引進內(nèi)時理論，建立鋼纖維混凝土的軸心受壓損傷本構(gòu)模型。文獻[12]將宏觀混凝土構(gòu)件看作由無窮多個微元體組成，以各微元體強度為研究對象，考慮微元體強度的離散性，確定損傷變量的概型分布，建立混凝土損傷本構(gòu)模型。這些研究大多限于普通混凝土以及常規(guī)施工工藝的各種摻和料混凝土，針對噴射混凝土損傷性質(zhì)的研究較少。

現(xiàn)階段，針對噴射混凝土的研究主要關(guān)注試驗方法、施工技術(shù)、工程實際應(yīng)用性等方面[13-15]，對于噴射混凝土基本力學(xué)性能的研究較少，考慮其損傷性質(zhì)的本構(gòu)模型的研究更少。本文在普通混凝土損傷本構(gòu)模型研究基礎(chǔ)上，根據(jù)文獻[16]提出的平行桿模型(PBS)，考慮損傷閾值及塑性應(yīng)變對本構(gòu)關(guān)系的影響，分別對普通混凝土和噴射混凝土進行單軸受壓試驗研究，分析損傷閾值對本構(gòu)模型的影響機制，確定損傷變量的概型分布，建立噴射混凝土的損傷本構(gòu)模型。

1 噴射混凝土損傷本構(gòu)方程的建立

將噴射混凝土試件看作由無窮多微元體組成，各微元體的極限強度(即破壞應(yīng)變)是一個隨機變量，假設(shè)微元體的破壞應(yīng)變服從某一分布函數(shù)F(x)，且F(x)在x取值空間域中連續(xù)，則有

F′(x)=f(x)

(1)

(2)

式中：f(x)為微元體破壞應(yīng)變服從的概率密度函數(shù)；F(x)為其概型分布函數(shù)。

式(2)反映了試件整體應(yīng)變?yōu)棣艜r，f(ε)在其鄰域(ε±Δε,Δε→0)范圍內(nèi)的密集程度，即變化率。

損傷變量是材料損傷程度的一種度量指標，損傷度大小與發(fā)生破壞的微元體數(shù)量有關(guān)，微觀層面上的微元體破壞越多，宏觀層面上的損傷度越大，即微元體的破壞應(yīng)變ε與損傷變量D之間存在某種映射關(guān)系g(ε)，令

(3)

式(3)反映了損傷變量的變化率，則g(ε)與f(ε)具有相同的函數(shù)性質(zhì)和幾何意義，有

(4)

對式(4)進行積分，可得

(5)

研究噴射混凝土的本構(gòu)模型時，可將混凝土試件應(yīng)變ε分為彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變兩部分。根據(jù)文獻[17]，可將Helmholtz自由能勢表示為

Φ(εe,D,εp)=Φe(εe,D)+Φp(εp,D)

(6)

式中：D為損傷內(nèi)變量；εe為彈性應(yīng)變；εp為塑性應(yīng)變。

混凝土損傷是不可逆過程，能量耗散應(yīng)為非負值，故應(yīng)滿足熱力學(xué)第二定律中的Clausius-Duheim不等式，即

(7)

式中：Φ為Helmholtz狀態(tài)函數(shù)。

對式(7)進行微分，則有

(8)

由于εe的任意性，可得

(9)

將式(5)、式(6)代入式(9)，可以得到噴射混凝土損傷本構(gòu)方程。

σ=E0(ε-εp)[1-D(ε)]

(10)

2 試驗概況

2.1 試驗原材料及配合比

試驗所用水泥為秦嶺牌P.O42.5普通硅酸鹽水泥；渭河河砂，細度模數(shù)3.4；粗骨料為粒徑5～10 mm的米石，級配連續(xù)；聚羧酸鹽高性能減水劑；Ⅱ級粉煤灰；粉狀速凝劑。試件水膠比為0.43。具體配合比見表1，其中編號PC表示普通混凝土，PA表示噴射混凝土。

表1 混凝土配合比

2.2 試驗方法

噴射混凝土試件采用現(xiàn)場噴大板法制作，3 h后脫模移入隧道內(nèi)養(yǎng)護7 d，隨后切割加工成標準試件，放入標準養(yǎng)護室內(nèi)養(yǎng)護21 d。本次試驗共制作63個棱柱體試件(其中PC組31個，PA組32個)，試件尺寸100 mm×100 mm×300 mm，用于軸心受壓試驗。試驗采用上海華龍測試儀器有限公司生產(chǎn)的WAW-1000微機控制電液伺服萬能試驗機、YHD-10位移傳感器及TDS-602數(shù)據(jù)采集儀。本次試驗采用人工采點，采取加載過程中的力和位移值。最小加載速率為0.1mm/min。加載裝置示意如圖1所示。

圖1 加載裝置示意

3 損傷變量的確定

兩組混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變的統(tǒng)計特性見表2。

表2 峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變統(tǒng)計結(jié)果

從表2可以看出，噴射混凝土的峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變均小于普通混凝土，這是因為噴射混凝土中的速凝劑含有堿性成分，使噴射混凝土的成分特性異于普通混凝土；同時，整個養(yǎng)護周期內(nèi)，其內(nèi)部水化規(guī)律不同于普通混凝土，最終造成宏觀層面上峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變的差異。

假定兩組試件峰值應(yīng)變均服從三參數(shù)Weibull分布，采用卡方法進行檢驗，顯著水平α=0.05，三參數(shù)Weibull分布函數(shù)可以表示為

(11)

其均值與方差分別為

(12)

(13)

式中：η為形狀參數(shù)；γ為閾值參數(shù)；a、b、c可通過中位秩公式[18]求得；Γ為伽馬函數(shù)。

基于二階矩法，并結(jié)合試驗數(shù)據(jù)確定三參數(shù)γ、m、η的估計值，見表3。

表3 Weibull分布函數(shù)參數(shù)估計值

具體檢驗步驟為：

(1)假設(shè)H0：三組試驗的峰值應(yīng)變服從Weibull分布；

(2)根據(jù)試驗計算實測頻數(shù)mi；

(3)計算理論頻率pi和理論頻數(shù)Npi；

根據(jù)檢驗步驟，對不同試驗結(jié)果進行計算檢驗，其檢驗結(jié)果見表4。

表4 Weibull分布檢驗結(jié)果

由表4可以看出，兩組試件的峰值應(yīng)變均服從Weibull分布，將式(11)代入式(10)，得到混凝土統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型為

(14)

式中：γ為損傷閾值，在達到損傷閾值前，試件處于彈性階段，即無損傷。

4 噴射混凝土統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型

4.1 參數(shù)的計算

根據(jù)單軸受壓σ-ε曲線的特點可以得到兩個邊界條件：

(2) 當σ=σc(峰值應(yīng)力)時，ε=εc。

對式(14)求導(dǎo)，將兩邊界條件代入求導(dǎo)結(jié)果，得

(15)

4.2 γ的取值

由式(15)可確定本構(gòu)模型的參數(shù)m和η，這兩個參數(shù)有明確的物理意義，損傷閾值γ常由經(jīng)驗判斷，本文分析對比不同γ取值時應(yīng)力應(yīng)變曲線與試驗曲線的擬合情況，以此討論γ對普通混凝土和噴射混凝土本構(gòu)模型的影響。具體結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同損傷閾值γ的應(yīng)力應(yīng)變曲線

由圖2(a)可知，對普通混凝土而言，損傷閾值γ取值為0.80倍峰值應(yīng)力時與試驗曲線的擬合度為最佳，峰值點后的下降段較其他兩條曲線能夠更好擬合試驗曲線。由圖2(b)可知，對噴射混凝土而言，當γ取值為0.85倍峰值應(yīng)變時，擬合曲線與試驗曲線的擬合度為最佳，且下降段能更好地擬合試驗曲線。同時可以看出，隨著損傷閾值γ的逐漸增大，峰值應(yīng)力稍有增大，下降段曲線越來越平緩，材料延性增強，殘余強度也逐漸提高，說明損傷閾值在某種程度上可以反映噴射混凝土殘余強度特性。

4.3 噴射混凝土統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型

將試驗數(shù)據(jù)代入式(15)中，可求得參數(shù)m和η。對m、η、γ進行統(tǒng)計分析，假定三者均服從正態(tài)分布，對假定的概型分布進行卡方檢驗，結(jié)果為接受假定。三個參數(shù)的統(tǒng)計分析結(jié)果見表5、表6。

表5 普通混凝土本構(gòu)模型參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果

表6 噴射混凝土本構(gòu)模型參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果

根據(jù)表6的分析結(jié)果，即可得到噴射混凝土的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型

(16)

4.4 噴射混凝土損傷本構(gòu)模型的驗證

為了驗證本文模型，將32個噴射混凝土試件的單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變試驗曲線與本文模型(均值及均值加減標準差)進行對比分析，結(jié)果表明：大多數(shù)試驗結(jié)果都能落在理論模型應(yīng)力應(yīng)變均值曲線的1倍標準差范圍內(nèi)，如圖3所示?？紤]到32個試件數(shù)據(jù)太多，圖3只列出峰值應(yīng)力最大和最小的試驗曲線。

由圖3可知，本文的噴射混凝土損傷本構(gòu)模型不僅可以反映均值本構(gòu)關(guān)系，還能夠定量地確定其離散范圍，離散范圍在結(jié)構(gòu)非線性隨機損傷演化分析中具有重要意義。同時，由于給出了本構(gòu)關(guān)系的離散范圍，故能夠從機理上解釋混凝土試驗中不可避免的離散性的本質(zhì)原因。

圖3 試驗與理論模型對比

4.5 參數(shù)m和η的物理意義

當γ=0.85、η=0.001 63時，參數(shù)m對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響規(guī)律如圖4(a)所示。由圖4(a)可知，噴射混凝土的峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變隨著m的增加而增大，且曲線下降段越來越陡，表明材料脆性增大。因此，參數(shù)m反映了噴射混凝土試件微元體強度分布的集中程度。當γ=0.85、m=0.9時，參數(shù)η對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響規(guī)律如圖4(b)所示。由圖4(b)可知，噴射混凝土峰值應(yīng)力隨著η的增加而增大，η從宏觀層面上反映了噴射混凝土平均強度的大小，且η對曲線下降段的軟化模量影響不大。

圖4 參數(shù)m和η對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響

5 算例分析

將試驗數(shù)據(jù)分別帶入本文模型、兩參數(shù)Weibull概型分布模型及未考慮塑性變形的模型中，并與試驗曲線進行比較，如圖5所示。建立不同損傷閾值的D-ε曲線，分析γ值對損傷演化的影響規(guī)律，如圖6所示。同時，對比分析兩種不同混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(圖7)，建立兩種不同混凝土的D-ε曲線(圖8)，探討不同施工工藝對混凝土損傷演化過程的影響機制。

圖5 試驗曲線與擬合曲線對比

圖6 不同損傷閾值的D-ε曲線

圖7 不同混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖8 不同混凝土的D-ε曲線

由圖5可知，兩參數(shù)模型(γ=0)上升段的斜率大于試驗曲線，下降段跌落現(xiàn)象較嚴重，峰值點明顯小于試驗曲線，擬合效果較差；未考慮塑性應(yīng)變的擬合曲線峰值應(yīng)變小于試驗曲線，但峰值應(yīng)力大于試驗曲線，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是：擬合曲線所用模型在試件受載后未考慮塑性變形，而實際上混凝土的變形是由彈性變形與塑性變形兩部分組成的；本文模型上升段、下降段和峰值點的大小均與試驗曲線擬合較好。

由圖6可知，本文模型的損傷演化方程，更好地反映了噴射混凝土受壓變形過程的特點，尤其是受載初期的小變形階段或低應(yīng)力水平的損傷演化過程，即噴射混凝土在變形初期實際上處于線彈性階段。

由圖7可知，相同水膠比條件下普通混凝土的力學(xué)性能明顯強于噴射混凝土，且從兩種混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線圍成區(qū)域的面積來看，普通混凝土的延性遠好于噴射混凝土。這一點從圖8中兩種混凝土的損傷變量演化規(guī)律也可看出，噴射混凝土的線彈性階段小于普通混凝土，且在產(chǎn)生損傷后，損傷的演化發(fā)展速率也大于普通混凝土。

6 結(jié)論

根據(jù)損傷力學(xué)、熱力學(xué)中相關(guān)理論，建立了噴射混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)模型。對普通混凝土、噴射混凝土單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析，確定損傷變量的概型分布及損傷演化方程，在此基礎(chǔ)上，建立噴射混凝土統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，并驗證其合理性。具體結(jié)論如下：

(1)普通混凝土和噴射混凝土的損傷變量均服從Weibull分布。

(2)噴射混凝土峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變的統(tǒng)計均值小于普通混凝土，且延性性能也較普通混凝土差。

(3)對于噴射混凝土來說，損傷閾值γ最佳取值為0.85倍峰值應(yīng)變；普通混凝土損傷閾值的最佳取值為0.8倍峰值應(yīng)變。

(4)噴射混凝土損傷演化發(fā)展速率大于普通混凝土，而考慮損傷閾值的損傷演化方程能更好地反映試件受載后的變形特點。

(5)考慮塑性變形的本構(gòu)模型與未考慮塑性應(yīng)變的本構(gòu)模型相比，可以更好且更真實地反映單軸受壓條件下各種混凝土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

(6)本文建立的考慮塑性變形及損傷閾值的噴射混凝土損傷本構(gòu)模型可較好擬合試驗應(yīng)力應(yīng)變曲線。

參考文獻：

[1]黃平明,王達.噴射混凝土在橋梁加固中的應(yīng)用[J].長安大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2005,25(6):39-42.

HUANG Pingming, WANG Da. Application of Sprayed-concrete in Bridge Reinforcement[J]. Journal of Chang’ an University：Natural Science Edition, 2005,25(6):39-42.

[2]張仙保.錨桿噴射混凝土技術(shù)在礦山豎井工程中的應(yīng)用[J].煤炭技術(shù),2007,26(9):89-91.

ZHANG Xianbao.Application of Bolting and Shotcreting Technology in Shaft Project[J]. Coal Technology， 2007, 26 (9):89-91.

[3]肖輝椿.錨桿噴射混凝土在高位水池邊坡支護中的應(yīng)用[J].福建地質(zhì),2006,25(2):107-110.

XIAO Huichun. Application of the Anchor Sprayed Concrete Technique on a Side-slope Support of a High-water-level Reservoir[J]. Geology of Fujian, 2006, 25(2): 107-110.

[4]王紅喜, 陳友治, 丁慶軍. 噴射混凝土的現(xiàn)狀與發(fā)展[J]. 巖土工程技術(shù)， 2004, 18(1):51-54.

WANG Hongxi, CHEN Youzhi, DING Qingjun. Modern Shotcrete Condition and Development[J]. Geotechnical Engineering Technique， 2004, 18(1):51-54.

[5]朱廣兵. 噴射混凝土研究進展[J]. 混凝土， 2011(4):105-109.

ZHU Guangbing. Progress of the Research for Shotcrete[J]. Concrete， 2011(4):105-109.

[6]李杰, 張其云. 混凝土隨機損傷本構(gòu)關(guān)系[J]. 同濟大學(xué)學(xué)報, 2001, 29(10): 1 135-1 141.

LI Jie, ZHANG Qiyun. Study of Stochastic Damage Constitutive Relationship for Concrete Material[J]. Journal of Tongji University, 2001, 29(10): 1 135-1 141.

[7]李杰. 混凝土隨機損傷本構(gòu)關(guān)系研究新進展[J]. 東南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2002, 32(5): 750-755.

LI Jie. Recent Research Progress on the Stochastic Damage Constitutional Law of Concrete[J]. Journal of Southeast University：Natural Science Edition, 2002, 32(5): 750-755.

[8]YIP W K, KONG F K, CHAN K S, et al. A Statistical Model of Microcracking of Concrete under Uniaxial Compression[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 1995, 22(1): 17-27.

[9]DENG J, GU D S. On a Statistical Damage Constitutive Model for Rock Materials[J]. Computers & Geosciences, 2011, 37(2): 122-128.

[10]董毓利, 樊承謀, 潘景龍. 鋼纖維混凝土本構(gòu)關(guān)系的研究[J]. 哈爾濱建筑工程學(xué)院, 1993, 26(2): 86-92.

DONG Yuli, FAN Chengmou, PAN Jinglong. Studies on the Constitutive Model of SFRC[J]. Journal of Harbin Architechure & Civil Engineering Institute, 1993, 26(2): 86-92.

[11]宋玉普, 趙國藩, 彭放, 等. 鋼纖維混凝土內(nèi)時損傷本構(gòu)模型[J]. 水利學(xué)報, 1995, 26(6): 1-7.

SONG Yupu, ZHAO Guofan, PENG Fang, et al. Endochronic Damage Constitutive Model for Steel Fiber Reinforced Concrete[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 1995, 26(6): 1-7.

[12]董毓利, 謝和平, 李世平. 砼受壓損傷力學(xué)本構(gòu)模型的研究[J]. 工程力學(xué), 1996, 13(1): 44-53.

DONG Yuli, XIE Heping, LI Shiping. Damage Mechanics Constitutive Model of Concrete under Compression[J]. Engineering Mechanics, 1996, 13(1): 44-53.

[13]王勝輝, 袁勇. 噴射混凝土試驗方法評述[J]. 昆明理工大學(xué)學(xué)報:理工版, 2005, 30(4):55-58.

WANG Shenghui, YUAN Yong. Reviews on Testing Methods of Shotcrete[J]. Journal of Kunming University of Science and Technology:Science and Technology, 2005, 30(4):55-58.

[14]賀少輝, 馬萬權(quán), 曹德勝, 等. 隧道濕噴纖維高性能混凝土單層永久襯砌研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2004, 23(20):3 509-3 517.

HE Shaohui, MA Wanquan, CAO Desheng, et al. Permanent Single-layer Tunnel Lining by Fibre-reinforced High Performance Shotcrete and Wet-mix Method[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(20):3 509-3 517.

[15]樊文熙, 張長海, 鄭永保. 高性能噴射混凝土的耐久性研究[J]. 煤炭學(xué)報, 2000, 25(4):366-368.

FAN Wenxi, ZHANG Changhai, ZHENG Yongbao. Study of Durability of High Performance Shotcrete[J]. Journal of China Coal Society, 2000, 25(4):366-368.

[16]KRAJCINOVIC D, SILVA M A G. Statistical Aspects of the Continuous Damage Theory[J]. International Journal of Solids and Structure, 1982, 18(7): 551-562.

[17]范鏡泓，高藝暉. 非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ)[M]. 重慶: 重慶大學(xué)出版社, 1987.

[18]谷耀新. 三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計方法[J]. 沈陽工業(yè)學(xué)院學(xué)報, 1997, 16(4): 53-56.

GU Yaoxin. The Estimation Method for Three Parameters of Weibull Distribution[J]. Journal of Shenyang Institute of Technology, 1997, 16(4): 53-56.

[19]吳建營. 基于損傷能釋放率的混凝土彈塑性損傷本構(gòu)模型及其在結(jié)構(gòu)非線性分析中的應(yīng)用[D]. 上海: 同濟大學(xué), 2004.