巧借各種經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

吳林法

[摘 要]在學(xué)習(xí)概念前，學(xué)生往往結(jié)合自己的知識(shí)儲(chǔ)備，對(duì)相關(guān)的概念有了一定的認(rèn)識(shí)和了解，并初步形成自己的觀點(diǎn)和看法。因此，教師應(yīng)善于運(yùn)用各種生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)作為產(chǎn)生與孕育科學(xué)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”開展教學(xué)，使數(shù)學(xué)概念的教學(xué)真正有效，易于學(xué)生理解和掌握。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)概念 經(jīng)驗(yàn)輔助 策略方法 數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn) 生活經(jīng)驗(yàn)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）14-031

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，如果學(xué)生已具備學(xué)習(xí)新概念所必需的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就容易形成對(duì)新概念的建構(gòu)；反之，就不能真正理解新概念的內(nèi)涵和外延，從而出現(xiàn)知識(shí)斷層。鑒于此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和綜合經(jīng)驗(yàn)三個(gè)方面入手，探尋概念教學(xué)的有效策略。

一、善用生活經(jīng)驗(yàn)，厘清思路

概念教學(xué)時(shí)，教師需要關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容采取不同的策略，引領(lǐng)學(xué)生科學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

1.基于已有的生活經(jīng)驗(yàn)——抽象和提升

很多日常的生活經(jīng)驗(yàn)都能為學(xué)生學(xué)習(xí)提供支撐，所以教師要善于發(fā)現(xiàn)并注重其對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，以生活現(xiàn)實(shí)為基點(diǎn)，一步步抽象、提升，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。例如，教學(xué)“三角形的高”時(shí)，我創(chuàng)設(shè)“誰(shuí)家房子更高”的生活情境，先讓學(xué)生觀察情境圖中小雞家的房子（形同銳角三角形）和小貓家的房子（形同直角三角形），再提問(wèn)：“用數(shù)學(xué)的眼光看這個(gè)問(wèn)題，你怎么看？”在問(wèn)題的驅(qū)使下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由頂點(diǎn)向?qū)叜嬀€段的解決策略。我引導(dǎo)學(xué)生比較分析：“連接頂點(diǎn)和對(duì)邊任意一點(diǎn)得到的線段與由頂點(diǎn)向?qū)叜嫶怪本€段，哪種方法合理，為什么？”由此抽象出三角形的高的概念，并引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識(shí)和理解概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)畫高，但學(xué)生在畫鈍角三角形的高時(shí)仍不免出現(xiàn)錯(cuò)誤（如右圖）。于是，我追問(wèn)：“如果把它看成是一座奇特的房子，它的房頂在哪兒，離地面有多高？”通過(guò)問(wèn)題，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比分析中感悟畫高需要找尋到的基本要素和滿足的條件，使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，加深對(duì)所學(xué)概念的認(rèn)識(shí)。

2.針對(duì)原型經(jīng)驗(yàn)缺失——尋找與鏈接

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，往往一時(shí)難以找到與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的生活原型經(jīng)驗(yàn)。這時(shí)教師就要運(yùn)用一定的方法或手段幫助學(xué)生尋找數(shù)學(xué)在生活中的原型，再以有趣、生動(dòng)的組織形式激活這些知識(shí)原型，為經(jīng)驗(yàn)向新知有效遷移做好準(zhǔn)備，從而實(shí)現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的鏈接，使學(xué)生科學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。例如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)公頃”時(shí)，由于生活中較少用到這一單位，所以學(xué)生很難找到與之相關(guān)聯(lián)的原型經(jīng)驗(yàn)。這時(shí)教師可以運(yùn)用合情推理，先引導(dǎo)學(xué)生由一個(gè)教室約是50平方米推理得到1公頃大約是200個(gè)教室的面積總和或幾個(gè)操場(chǎng)的面積總和，再展示周邊面積約是1公頃的生活場(chǎng)所的照片，讓學(xué)生思考這些地方相當(dāng)于幾個(gè)學(xué)校的大小、大約是幾公頃。

此外，學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的缺失影響著幾何概念的建構(gòu)，導(dǎo)致在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)不會(huì)選擇相應(yīng)的計(jì)算公式。尤其是對(duì)于求表面積的問(wèn)題，單純求六個(gè)面的面積還好，如果求其中幾個(gè)面的面積，學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤更是五花八門了。如求游泳池粉刷的面積、抽屜木板的面積、計(jì)算通風(fēng)管的面積、給階梯鋪瓷磚的面積等，這些求表面積的題目，部分學(xué)生無(wú)法將長(zhǎng)方體和正方體的數(shù)學(xué)模型與生活實(shí)際對(duì)應(yīng)起來(lái)，不知道該求幾個(gè)面的面積或求哪幾個(gè)面的面積。例如，教師可讓每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)火柴盒，內(nèi)盒可以看作是一個(gè)游泳池、抽屜等沒(méi)有蓋的五個(gè)面的長(zhǎng)方體，外殼可以看作通風(fēng)管等只有四個(gè)面的長(zhǎng)方體，整個(gè)火柴盒就是一個(gè)完整的長(zhǎng)方體。有了這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在了解所求物體的實(shí)際應(yīng)用特征后，再拿出來(lái)看看，就能正確計(jì)算出面積了。

3.針對(duì)日常概念的干擾——區(qū)別與溝通

概念可分為數(shù)學(xué)概念和與之相對(duì)應(yīng)的日常概念，兩者往往是有所區(qū)別的，甚至有時(shí)日常概念與數(shù)學(xué)概念完全相悖，嚴(yán)重干擾數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)。因此，教師在教學(xué)中要注意對(duì)日常概念和數(shù)學(xué)概念兩者之間進(jìn)行區(qū)別與溝通，努力消除日常概念的不良影響，幫助學(xué)生建構(gòu)正確的數(shù)學(xué)概念。例如，教學(xué)“角”的概念時(shí)，教師事先給學(xué)生提供典型材料（如五角星、三角尺、小鬧鐘等），問(wèn)：“誰(shuí)能在它們身上找到數(shù)學(xué)王國(guó)里的‘角？”通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，積累感性經(jīng)驗(yàn)。接著，通過(guò)課件隱去與角無(wú)關(guān)的元素，僅僅呈現(xiàn)角的幾何模型，并指出這些圖形都是數(shù)學(xué)上所說(shuō)的角。然后讓學(xué)生在視覺上與生活經(jīng)驗(yàn)信息庫(kù)里的角進(jìn)行區(qū)別，并引導(dǎo)學(xué)生觀察這些角的相同之處（都有一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊），從而抽象出角的本質(zhì)屬性。最后讓學(xué)生找找生活中還有哪些物體的身上有這個(gè)新朋友的影子，促使學(xué)生主動(dòng)與原認(rèn)知進(jìn)行溝通。

二、 智用數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，指引沉淀

在課堂教學(xué)中，教師要基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)選擇相應(yīng)的教學(xué)策略，使學(xué)生在教師的指引下真正理解所學(xué)概念的內(nèi)涵。

1.面對(duì)學(xué)生隱性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——類比與打通

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新概念時(shí)，有時(shí)很難從自己的大腦信息庫(kù)中提取出與之相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和新知進(jìn)行對(duì)接。這就需要教師激活學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)運(yùn)用類比的方法拓展學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生從直觀的顯性經(jīng)驗(yàn)中提煉出抽象的數(shù)學(xué)概念，感悟概念的本質(zhì)。例如，教學(xué)“假分?jǐn)?shù)”時(shí)，教師設(shè)計(jì)“分餅”的操作活動(dòng)（如下圖），讓學(xué)生用除法算式表示分餅的過(guò)程，并用分?jǐn)?shù)表示分餅的結(jié)果。然后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察算式，這里，教師通過(guò)“分餅”的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了假分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過(guò)程，將學(xué)生隱性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)激活并轉(zhuǎn)化為顯性經(jīng)驗(yàn)，再通過(guò)類比的方法拓展學(xué)生的思路，使學(xué)生領(lǐng)悟假分?jǐn)?shù)就是分?jǐn)?shù)單位不斷累加的結(jié)果。

2.面對(duì)學(xué)生片面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——暴露與辨析

學(xué)生受思維水平的影響和限制，在分析問(wèn)題時(shí)容易以偏概全，導(dǎo)致對(duì)概念的構(gòu)建只停留在表面。這就要求教師必須采取有效的策略，引領(lǐng)學(xué)生從片面走向全面、從表面走向本質(zhì)。例如，“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，教過(guò)低年級(jí)的教師都有這樣的感受：只要讓學(xué)生分東西，他們馬上想到的是等分，在他們的內(nèi)心分一分就是等分。也就是說(shuō)，學(xué)生對(duì)“分”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是片面的，嚴(yán)重影響了分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)。對(duì)此，教師可于課始創(chuàng)設(shè)“我當(dāng)服務(wù)員給小伙伴分餐”的生活情境，揭示分東西時(shí)有等分和不等分兩種情形，并強(qiáng)調(diào)這節(jié)課是進(jìn)一步研究有關(guān)等分的問(wèn)題。這樣教學(xué)，既使學(xué)生從整體上建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，又為后面通過(guò)等分認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)打好基礎(chǔ)。

3.針對(duì)學(xué)生缺失的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——補(bǔ)充與激活

教學(xué)中為幫助學(xué)生順利建構(gòu)新概念，教師有必要主動(dòng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新概念所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，使學(xué)生科學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。例如，“體積”概念的構(gòu)建必須基于“空間”和“占空間的大小”的概念認(rèn)識(shí)之上，而學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是缺失的，所以有教師在教學(xué)時(shí)特意創(chuàng)設(shè)“往放有石子的玻璃瓶?jī)?nèi)倒水”的情境和進(jìn)行“把裝有獼猴桃和小番茄的玻璃杯倒?jié)M水”的實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生在問(wèn)題情境和實(shí)驗(yàn)中認(rèn)識(shí)了什么是“空間”及“占空間的大小”。這樣教學(xué)，不僅補(bǔ)充和激活了學(xué)生學(xué)習(xí)新概念時(shí)所必需的相應(yīng)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為新概念的順利建構(gòu)巧設(shè)伏筆，而且有效修復(fù)概念教學(xué)的斷層。

三、活用綜合經(jīng)驗(yàn)，整體提升

在學(xué)生建構(gòu)某一新概念后，教師都會(huì)安排學(xué)生做一些針對(duì)性的鞏固練習(xí)，以使學(xué)生在練習(xí)中得到鞏固和提高。但僅限于此仍是不夠的，教師還要從同一學(xué)科整體、不同學(xué)科綜合的角度出發(fā)進(jìn)行整體謀劃，讓學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，提高問(wèn)題解決的能力。

1.延伸間接經(jīng)驗(yàn)——溫故與知新

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大領(lǐng)域，各領(lǐng)域中又劃分出不同的知識(shí)板塊，每個(gè)板塊涉及不同的知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)與知識(shí)之間不是孤立存在的，而是有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。教學(xué)中，教師要靈活運(yùn)用變式，喚起學(xué)生不同領(lǐng)域、不同板塊、不同知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)溝通彼此間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)已學(xué)概念的鞏固和提升。例如，以延伸圖形運(yùn)動(dòng)與變換的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為例，教師在教學(xué)中可以從動(dòng)態(tài)的角度，運(yùn)用對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變換引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形和圖形的特征，如“圓柱是長(zhǎng)方形以長(zhǎng)或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)而成的”“圓是軸對(duì)稱圖形”等，促使學(xué)生進(jìn)一步感悟圓柱體、軸對(duì)稱圖形等概念的本質(zhì)特征；在“圖形的測(cè)量”教學(xué)中，可以運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)變換，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深化周長(zhǎng)、面積等概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，提高靈活解決一些較復(fù)雜的周長(zhǎng)、面積計(jì)算問(wèn)題的能力；在“圖形與位置”教學(xué)中，可將圖形置于直角坐標(biāo)系中，引導(dǎo)學(xué)生研究變換前后圖形的位置關(guān)系，回顧數(shù)對(duì)的概念，進(jìn)一步感受數(shù)對(duì)的變化特點(diǎn)，加深對(duì)數(shù)對(duì)概念外延的理解。

2.豐富直接經(jīng)驗(yàn)——拓展與應(yīng)用

“綜合與實(shí)踐”為學(xué)生走出課堂，親身經(jīng)歷學(xué)、做數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)提供了契機(jī)。教師可以結(jié)合綜合實(shí)踐活動(dòng)，合理重組教材內(nèi)容，由課內(nèi)拓展到課外，使學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中豐富直接經(jīng)驗(yàn)，鞏固對(duì)新舊概念的認(rèn)識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力。例如，在教學(xué)“較大計(jì)數(shù)單位萬(wàn)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，課尾，教師設(shè)計(jì)了不同數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生自主選擇，如“估計(jì)學(xué)校圖書館的藏書量”“估計(jì)體育館中座位的數(shù)量”等。這樣教學(xué)，使學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，既豐富了直接經(jīng)驗(yàn)，又鞏固、加深了對(duì)“萬(wàn)”這一計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)。再如，在教學(xué)“公頃”后，教師可先組織學(xué)生參觀果蔬實(shí)踐基地，讓學(xué)生沿著大約1公頃面積的土地四周走一圈，獲取公頃面積大小的直接經(jīng)驗(yàn)，再組織學(xué)生對(duì)果農(nóng)、菜農(nóng)進(jìn)行訪問(wèn)與交流，了解100平方米面積的作物產(chǎn)量和產(chǎn)值，估計(jì)1公頃的產(chǎn)量與產(chǎn)值。通過(guò)這樣的活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)于生活。

總之，有效教學(xué)是每一位教師的追求，我們應(yīng)不懈地努力探索著。今天，我們借助各種經(jīng)驗(yàn)這一新的視角探索概念教學(xué)，邁出了最艱難的第一步，而這僅僅只是開始，今后還有更多更多的問(wèn)題亟待我們深思和解決。讓我們一起繼續(xù)行走在探索的道路上，使數(shù)學(xué)概念教學(xué)真正有效、高效，讓學(xué)生得到不同的發(fā)展。

（責(zé)編 藍(lán) 天）