常數(shù)項級數(shù)的基本概念的教學(xué)案例

張春英

(天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

常數(shù)項級數(shù)的基本概念的教學(xué)案例

張春英

(天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

為了提高知識的價值性，針對常數(shù)項級數(shù)的基本概念的教學(xué)進行了以下嘗試：由生活實例引入基本概念，重點闡述概念背后的思想；結(jié)合歷史典故和數(shù)值計算，介紹級數(shù)中的重要結(jié)論，滲透數(shù)學(xué)建模的思想和過程；通過錯解分析，讓學(xué)生自己感悟級數(shù)計算中的注意事項．

知識的價值性；常數(shù)項級數(shù)；引例；數(shù)學(xué)思想

級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中的一個重點，也是一個難點．對常數(shù)項級數(shù)基本概念的正確理解是學(xué)習(xí)和應(yīng)用級數(shù)的重要理論基礎(chǔ)．無窮級數(shù)收斂、發(fā)散、求和是常數(shù)項級數(shù)中最基本、最重要的概念．等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是在各個領(lǐng)域應(yīng)用都很普遍的兩類級數(shù)，也是判斷級數(shù)斂散性的重要基礎(chǔ)．筆者對級數(shù)的斂散性、級數(shù)的和的概念以及等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)的教學(xué)進行了一些新的嘗試．

1 教學(xué)背景

在以往的教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)以下問題：一是由于教材[1]中級數(shù)部分的內(nèi)容與實際生活聯(lián)系較少，導(dǎo)致學(xué)生感覺這部分內(nèi)容枯燥、無用，缺乏學(xué)習(xí)興趣和動力；二是由于級數(shù)的相關(guān)概念在形式上比較復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生理解困難，經(jīng)常在應(yīng)用中將級數(shù)的求和運算與有限個實數(shù)的求和運算混淆．

有調(diào)查顯示[2]，當(dāng)下大學(xué)生獲取知識最依賴的仍是“教師的課堂講授”．在影響教師授課效果的25個因子中，“教師授課能讓學(xué)生學(xué)到有價值的知識和技能”對高校教師理論課教學(xué)效果的影響最大[3]．

學(xué)生對教師所傳授知識的價值認(rèn)知，不僅與學(xué)生自身的價值判斷能力有關(guān)，而且與知識本身的內(nèi)容和教師的教學(xué)方法有很大關(guān)系．這就要求教師在教學(xué)實踐中，應(yīng)注重提高知識的價值性，引導(dǎo)學(xué)生對知識價值性的認(rèn)知，從而提高教學(xué)效果．

引例是指能夠啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生比較順利地進入數(shù)學(xué)課題的前沿陣地或核心領(lǐng)域所采用的例題或?qū)嵗皶r合適的引例講解，往往能使學(xué)生掌握并形成正確的數(shù)學(xué)思想和方法．文獻[4-5]分別由芝諾悖論、圓的面積、截丈問題引入級數(shù)的基本概念，但這些引例距離學(xué)生的現(xiàn)實生活較遠(yuǎn)，不能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性．

2 教學(xué)目標(biāo)

通過課堂教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo)：①掌握常數(shù)項級數(shù)的基本概念，領(lǐng)會級數(shù)的本質(zhì)思想；②會用級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定簡單級數(shù)的斂散性；③了解級數(shù)運算與有限個實數(shù)求和運算法則的不同；④了解利用級數(shù)知識解決實際問題的一般過程，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識．

3 教學(xué)設(shè)計

(1)由生活實例引入級數(shù)及和的概念，通過學(xué)生對例題的感性認(rèn)識，加深他們對級數(shù)概念本質(zhì)思想的理解；

(2)介紹級數(shù)收斂與發(fā)散以及級數(shù)的和的定義；

(3)由莊子的“截丈問題”引入等比級數(shù)的概念，并給出其斂散性的結(jié)論；

(4)結(jié)合數(shù)值計算，判定調(diào)和級數(shù)的斂散性，并簡要介紹歐拉常數(shù)的概念及應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)建模的思想和過程；

(5)通過對級數(shù)1? 1+ 1? 1+…+(?1)n?1+…的錯解分析，強化學(xué)生利用級數(shù)定義判定級數(shù)斂散性的過程，領(lǐng)會級數(shù)求和與有限個實數(shù)求和運算法則的區(qū)別；

(6)總結(jié)教學(xué)要點．

4 教學(xué)過程

4.1 引例

例1：某人耳朵感染，每4,h服用一次氨卡西林，每次服用200,mg．在一個4,h的區(qū)間內(nèi)，人體在該區(qū)間的末期將存留開始時人體所含該藥量的12%．請問在如下的情形時，人體中該藥物的含量為多少：①剛剛服下第3劑藥時；②剛剛服下第6劑藥時；③如果此人長期服用該藥，求他剛剛服下一劑藥時和即將服用下一劑藥時．

解：設(shè)Qn表示剛剛服下第n劑藥時人體中氨卡西林的含量(以mg為單位)，則

此為首項a=200、公比q=0.12的等比數(shù)列的前n項的和，因此

③如果長期服用該藥，則剛剛服下一劑藥時，人體中氨卡西林的含量為

此為等比數(shù)列中所有項的和，即為無窮多個數(shù)的和．根據(jù)極限理論，它的和可以看作是等比數(shù)列中前n項和Qn在n→∞時的極限值，即

長期服用該藥，則即將服用下一劑藥時，人體中氨卡西林的含量*Q僅僅比剛服下一劑藥后的含量Q低一劑藥的量，因此

由此可以看出，定期給一個病人服用某一劑量的某藥物，由于新陳代謝的作用，總有一些藥物被排出．因此，人體中的該藥物的含量將趨于一個穩(wěn)態(tài)．在穩(wěn)態(tài)時，人體中該藥物的含量將在最大值(剛服下一劑藥后，達(dá)到其最大值)和最小值(在即將服用下一劑藥前，達(dá)到其最小值)之間波動．

比較Q6與Q可以看出，二者的值非常接近，即從實踐角度而言，人體在服用6劑藥后所含藥物含量與長期服用該藥后所含藥物含量基本沒有差異．圖1為剛剛服下第n劑藥時人體中所含藥物含量Qn的變化趨勢．

圖1 Qn的變化趨勢

從求解Q的過程可以看出，在穩(wěn)態(tài)時人體中該藥物含量的最大值實際上是無限多個數(shù)的和，而且這無限多個數(shù)的和是一個有限數(shù)．這個和可以通過求這些數(shù)的前n項的和在n→∞時的極限來獲得．

4.2 定義

從例1中可以抽象出級數(shù)的基本概念．

定義1：給定無窮可列個數(shù)u1, u2,…,un,…,稱它們的和u1+u2+…+un+…為(常數(shù)項)無窮級數(shù)，簡稱(常數(shù)項)級數(shù)，記為，其中第n項un叫做級數(shù)的一般項，級數(shù)的前n項的和sn=u1+u2+…+un稱為級數(shù)的部分和．

若數(shù)列{sn}收斂于有限數(shù)s，即，則稱級數(shù)收斂，且稱它的和為s，記為；若數(shù)列{sn}發(fā)散，則稱級數(shù)發(fā)散．

由上述定義可知，只有當(dāng)級數(shù)收斂時，無窮多個實數(shù)的加法才有意義，并且它們的和就是級數(shù)的部分和數(shù)列的極限．

例1中第③部分所求人體在長期服藥的情況下，剛剛服下一劑藥時的藥物含量Q實際上是級數(shù)的和，其部分和由于，即部分和數(shù)列收斂．由級數(shù)的相關(guān)定義知，該級數(shù)收斂，其和為227.272 7.

4.3 等比級數(shù)及其斂散性

例2：春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子在《莊子·天下篇》中有一段名言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”即1尺之棰，第一次取其長度的一半，以后每次取前面剩余長度的一半，是取之不盡的．請問，每次取下的長度之和是多少．

4.4 調(diào)和級數(shù)及其斂散性

表1 調(diào)和級數(shù)部分和sn的數(shù)值計算

由表1可以看出，隨著n的不斷增大，sn雖然增長緩慢，但看不出它無限接近于任何一個有限數(shù)的趨勢，猜想該級數(shù)可能是發(fā)散的．下面用反證法加以證明．

證明：假設(shè)調(diào)和級數(shù)是收斂的，且它的部分和sn收斂于s，則

但另一方面，由于對一切n有

事實上，調(diào)和級數(shù)是已知發(fā)散最慢的無窮級數(shù)，它的前1億項的和約為21，前1萬億項的和約為28.可以證明，調(diào)和級數(shù)的部分和sn與lnn趨向于+∞的速度只差一個常數(shù)，即γ就是歐拉常數(shù)，γ≈0.577 216，目前沒有公認(rèn)的結(jié)果判定該數(shù)是否為無理數(shù)[7]．在微積分學(xué)中，歐拉常數(shù)γ有許多應(yīng)用，如求某些數(shù)列的極限、某些收斂數(shù)項級數(shù)的和等[8]．

由例3可以看出，級數(shù)的一般項un→0時，級數(shù)不一定收斂．

4.5 錯解分析

例4：關(guān)于級數(shù)1? 1+ 1? 1+…+(?1)n?1+…的下列解法是否正確：①解法1，原式=(1? 1)+(1? 1)+…= 0；② 解法2，原式=1+(?1+ 1)+(?1+ 1)+…=1.

解：根據(jù)級數(shù)斂散性的定義，需要求部分和的極限．該級數(shù)的部分和與它所含的求和項數(shù)有關(guān)．前偶數(shù)項的和s2n=0，前奇數(shù)項的和s2n+1=1，由于{sn}的兩個子列收斂于兩個不同的值，因此部分和數(shù)列{sn}的極限不存在，即原級數(shù)發(fā)散，1? 1+ 1? 1+…+ (?1)n?1+…只是一個表達(dá)式，沒有實際意義．解法1和解法2都是錯誤的．

錯誤分析：解法1和解法2實際上是對級數(shù)使用了結(jié)合律．由本題可以看出，對有限個數(shù)相加時的一些運算法則，如加法的交換律、結(jié)合律等，對級數(shù)求和不一定適用．

4.6 教學(xué)要點

(1)級數(shù)實際上就是無限可列個數(shù)的和，它的斂散性是由它的部分和數(shù)列的斂散性決定的．當(dāng)級數(shù)收斂時，其和是一個有限數(shù)；當(dāng)級數(shù)發(fā)散時，它只是一個表達(dá)式，沒有任何意義．級數(shù)求和與有限個數(shù)的求和運算法則不同，如加法結(jié)合律對級數(shù)不一定適用．

(2)判斷一個級數(shù)的斂散性是級數(shù)部分的重要內(nèi)容，除了利用定義判定斂散性之外，還有很多非常好用的判定方法，這是后續(xù)章節(jié)的主要內(nèi)容，且在運用這些判定方法時，要用到調(diào)和級數(shù)和等比級數(shù)的相關(guān)結(jié)論，因此要求學(xué)生要熟練掌握這兩類級數(shù)的相關(guān)知識．

5 結(jié) 語

由于在常數(shù)項級數(shù)的基本概念的教學(xué)中，所用例題比較貼近學(xué)生的實際生活，所以更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生對概念內(nèi)涵的理解；此外，在教學(xué)過程中融入了數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)值計算等內(nèi)容，可以拓寬學(xué)生的視野，增強他們用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力．教師在教學(xué)中還可以要求學(xué)生利用課余時間搜集、整理級數(shù)的有關(guān)案例，這樣既可以鍛煉學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，又可以豐富教師今后的教學(xué)案例．

［1］ 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)：下冊[M]. 6版. 北京：高等教育出版社，2008.

［2］ 彭美云. 大學(xué)本科課堂教學(xué)中的幾個共性問題——基于13所高校問卷調(diào)查的統(tǒng)計與分析[J]. 高等工程教育研究，2014(2)：162-166.

［3］ 廖 明，姜 峰，朱 蕾，等. 提高教師課堂教學(xué)效果的策略研究——基于學(xué)生教學(xué)質(zhì)量觀視角[J]. 教師教育研究，2012，24(6)：61-65.

［4］ 賀妤函，張龍濱. 關(guān)于數(shù)項級數(shù)及其斂散性概念的教學(xué)方式[J]. 萍鄉(xiāng)高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2007(6)：5-8.

［5］ 周秀琴，霍曙明，趙玉亮. 高等數(shù)學(xué)“問題-情境教學(xué)法”教學(xué)實踐——“常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)”教學(xué)案例[J]. 科技信息，2010(14)：137-138.

［6］ 駱 樺，孫培梁，范友芳. 關(guān)于調(diào)和級數(shù)與Euler常數(shù)的數(shù)學(xué)實驗[J]. 浙江工程學(xué)院學(xué)報，2003，20(2)：116-118.

［7］ 羅 永. 調(diào)和級數(shù)案例教學(xué)[J]. 湘南學(xué)院學(xué)報，2014，35(2)：64-67.

［8］ 丁秀梅，王曉平. 歐拉常數(shù)γ及簡單應(yīng)用[J]. 江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報，2003，14(3)：43-45.

（編輯校對：胡玲玲）

Teaching Case of the Basic Concepts about Series of Constant Terms

ZHANG Chun-ying
(School of Science，Tianjin Chengjian University，Tianjin 300384，China)

In order to improve the value of knowledge，an attempt has been made in the teaching of the basic concepts about series of constant terms. It mainly includes the following contents：focusing on expounding the thought behind concept by using lead-in examples in real life；introducing the important conclusions in series and penetrating the idea and the process of mathematical modeling based on historical allusions and numerical computation；enabling students to comprehend points for attention in series calculation through the wrong solution analysis.

the value of knowledge；series of constant terms；lead-in example；mathematical thought

O173

A

2095-719X(2014)05-0376-05

2014-07-10；

2014-11-06

張春英（1977—），女，天津人，天津城建大學(xué)講師，碩士．