關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的思考

孟祥忠

摘 要：反思學(xué)習(xí)是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要通道，也是教師提升專業(yè)水平的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。作者就反思在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中的重要性，提出了自己的觀點(diǎn)。教師要善于激發(fā)學(xué)生在課堂中積極參與反思，強(qiáng)化學(xué)生在解題訓(xùn)練中的反思，組織學(xué)生不斷進(jìn)行階段性反思。

關(guān)鍵詞：反思學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)；學(xué)生素養(yǎng)

一、問(wèn)題的提出

反思對(duì)教師的專業(yè)成長(zhǎng)起著至關(guān)重要的作用。有的教師雖從教多年，但在專業(yè)素養(yǎng)上卻提高甚微，缺少的就是“教學(xué)反思”這個(gè)環(huán)節(jié)。同樣，在學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，進(jìn)行科學(xué)而深刻的反思也尤為重要。筆者在近幾年的教學(xué)中，做了一些關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)和反思能力的嘗試，深感反思在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的必要性和深遠(yuǎn)意義。本文結(jié)合數(shù)學(xué)新課程的教學(xué)，淺談在新課程背景下，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的思考。

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》賦予了數(shù)學(xué)課程“使每個(gè)學(xué)生獲得必需的、與個(gè)性發(fā)展相適應(yīng)的數(shù)學(xué)，從而獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高”的重大育人功能。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，能使學(xué)生形成“數(shù)學(xué)頭腦”，從而在面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，能夠“數(shù)學(xué)地思考”，因而對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展意義深遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)課程強(qiáng)大的育人功能，要求每一個(gè)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，積極主動(dòng)、充滿自信、富有樂(lè)趣地學(xué)好數(shù)學(xué)，從而“讓不同的學(xué)生各獲最佳發(fā)展”。

然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，數(shù)學(xué)卻被相當(dāng)部分學(xué)生視為“很難、無(wú)味、無(wú)奈”的學(xué)科。不少學(xué)生經(jīng)常訴苦：

“上了一節(jié)數(shù)學(xué)課，聽了不少，也練了不少。下課了大腦中留下來(lái)的卻太少?！?/p>

“老師上課講的例題我能聽懂，但課后的作業(yè)我卻不會(huì)做?！?/p>

“平時(shí)實(shí)在做了不少習(xí)題，但考試時(shí)面對(duì)‘新題，卻還是找不著北。”

“數(shù)學(xué)概念、公式、定理太多且難記，很容易混淆、弄錯(cuò)?！?/p>

“作業(yè)、考試中的錯(cuò)題，我更正了。但下次考試時(shí)，我又犯了同樣類型的錯(cuò)誤?！?/p>

……

種種跡象表明，相當(dāng)部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率低下，學(xué)習(xí)活動(dòng)僅僅局限于記憶、模仿和積累，而缺乏對(duì)知識(shí)點(diǎn)的自主探究、對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的主動(dòng)構(gòu)建以及對(duì)數(shù)學(xué)的歸納提煉。在緊張而忙碌的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于缺少了培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)——數(shù)學(xué)反思，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)僅僅停留在“是什么”的層面上，而忽略了“為什么”“還有什么”“怎么辦”等拓展思維、提高解題能力的維度。

在此，就何謂數(shù)學(xué)反思、數(shù)學(xué)反思的必要性以及如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力等問(wèn)題，淺談自己的感悟。

二、反思的實(shí)質(zhì)及其必要性

反思，即回顧與思考。古代思想家荀子曾言：“君子博學(xué)而日參省乎己，則知明而行無(wú)過(guò)矣。”可見(jiàn)，反思對(duì)于修身治道，其意深矣。

數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心。人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)直至反思與建構(gòu)等思維過(guò)程。這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn)，同時(shí)又有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式做出思考和判斷，在形成理性思維能力中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。

數(shù)學(xué)反思是這些過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。它不僅僅是對(duì)所學(xué)知識(shí)做一般性的回顧或溫習(xí)，更是深究知識(shí)的形成過(guò)程，深究各知識(shí)點(diǎn)之間的有機(jī)聯(lián)系以及知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，深究在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，并將其進(jìn)行抽象、歸納，獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”或創(chuàng)新。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程與方法唯有在不斷反思中趨于完善。不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，就能不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)方法；不斷經(jīng)歷交流、反思等學(xué)習(xí)過(guò)程，就能逐步深刻感悟到數(shù)學(xué)思想方法之精美，逐步把握數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的規(guī)律、技能和技巧，從而不斷提高數(shù)學(xué)思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生的反思能力

1.激發(fā)學(xué)生在課堂中積極參與反思

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，在課堂教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，提出對(duì)學(xué)生具有挑戰(zhàn)性和吸引力的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性反思、批判性反思以及構(gòu)建性反思。

例如，在“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)中，教材以四邊形ABCD為例，用一條對(duì)角線AC將其分為兩個(gè)三角形，可得四邊形內(nèi)角和為360°；教師則可設(shè)計(jì)用兩條對(duì)角線AC、BD將四邊形分割成四個(gè)共點(diǎn)O的三角形，四邊形內(nèi)角和等于四個(gè)三角形內(nèi)角和減去一個(gè)周角的度數(shù)，即360°。

在這一過(guò)程之后，學(xué)生對(duì)結(jié)論已基本明了，但他們或多或少地有一些想法或困惑。此時(shí)教師可適時(shí)逐步引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生參與反思和感悟：

（1）點(diǎn)O是AC、BD的交點(diǎn)。點(diǎn)O有自由嗎？如果讓點(diǎn)O在AC上動(dòng)起來(lái)，結(jié)論還成立嗎？

（2）點(diǎn)O不在線段AC上可以嗎？在四邊形內(nèi)任意位置可以嗎？

（3）點(diǎn)O在四邊形ABCD邊上可以嗎？

（4）點(diǎn)O在四邊形外部可以嗎？

（5）這些方法有什么共同特點(diǎn)？

通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題的反思與感悟，學(xué)生們加深了對(duì)“分割轉(zhuǎn)化”方法的認(rèn)識(shí)，充分認(rèn)識(shí)了各種探究方法的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，經(jīng)歷了知識(shí)的“生長(zhǎng)”過(guò)程。在此“水到渠成”的基礎(chǔ)上，再由學(xué)生自己選擇自己所喜歡的方法合作探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和，則學(xué)生們往往會(huì)表現(xiàn)得自信積極，課堂將會(huì)呈現(xiàn)出和諧的師生互動(dòng)、生生互動(dòng)與合作交流的局面。經(jīng)過(guò)這樣的反思與感悟環(huán)節(jié)，學(xué)生們對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的掌握必將深刻，同時(shí)，也感悟了化歸、類比等數(shù)學(xué)思維方法，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然得到了發(fā)展。

再如，在學(xué)習(xí)“共線向量”時(shí)，不妨插入這樣一個(gè)片段：先引入平行線的性質(zhì)：“a∥b，b∥ca∥c”，然后很自然地板書，教師稍作停頓，靜觀學(xué)生反應(yīng)。此時(shí)則給學(xué)生一個(gè)反思的時(shí)機(jī)。當(dāng)學(xué)生恍然大悟地指出此式的錯(cuò)誤時(shí)，“批判性反思”已經(jīng)起到了平鋪直敘難以達(dá)到的效果。

在課堂小結(jié)這個(gè)環(huán)節(jié)，教師其實(shí)也可以引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、技能到數(shù)學(xué)思想方法等方面進(jìn)行小結(jié)反思。通過(guò)設(shè)置諸如“這節(jié)課你學(xué)到了些什么？”“你覺(jué)得哪個(gè)環(huán)節(jié)最難？”“最難忘的環(huán)節(jié)？”“你感悟到了何種數(shù)學(xué)思想方法？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容主動(dòng)進(jìn)行反思感悟，促進(jìn)學(xué)生的思維參與，從而加深理解的深刻性，培養(yǎng)他們概括提煉和知識(shí)建構(gòu)的能力。

實(shí)際上，只要教師精心設(shè)計(jì)，課堂中的反思無(wú)處不在。通過(guò)有效的課堂反思，可以激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，促進(jìn)學(xué)生的思維參與，加強(qiáng)學(xué)生的智慧碰撞。日積月累，持之以恒，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)將得到實(shí)質(zhì)性的提高。

2.強(qiáng)化學(xué)生在解題訓(xùn)練中的反思

題海茫茫，僅靠多做題來(lái)記憶、模仿駕馭題海顯然是不現(xiàn)實(shí)的。為了避免學(xué)生面對(duì)新題找不到北，解題后的反思至關(guān)重要。在教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生盡早養(yǎng)成解題后認(rèn)真反思的習(xí)慣。每做完一個(gè)比較新鮮的數(shù)學(xué)題后，應(yīng)該試著從以下幾方面加強(qiáng)反思：①題中的條件信息是以何種形式呈現(xiàn)的？還可以用那些形式呈現(xiàn)？②這個(gè)數(shù)學(xué)題考查了那些知識(shí)點(diǎn)？③這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以用來(lái)解決那些問(wèn)題？④用到了何種數(shù)學(xué)思想方法？⑤是否還有其他解法或更佳解法？⑥能否把此題作一般性推廣和引申，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型？⑦改變?cè)}的結(jié)構(gòu)或適當(dāng)改變題給條件，解題又如何變化？⑧我是如何根據(jù)題給“信息”聯(lián)想“知識(shí)點(diǎn)”，從而找到解題思路的？⑨解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在哪里？該吸取怎樣的教訓(xùn)？今后應(yīng)該注意什么？

例如，在《高二數(shù)學(xué)選修（2～3）基礎(chǔ)訓(xùn)練》中，有這樣一道題：

4名師范學(xué)生在畢業(yè)后分配至3個(gè)學(xué)校。每個(gè)學(xué)校至少分配1人，有多少種分配方案？

我讓學(xué)生在課后結(jié)合此題思考如下幾個(gè)問(wèn)題：①你能想出幾種辦法？分別體現(xiàn)了何種數(shù)學(xué)思想方法？②再做一題：設(shè)A={1、2、3、4}，B={5、6、7}，B中的元素在A中都有原象，則可建立多少個(gè)A→B的映射？③比較前兩題，能否構(gòu)建一個(gè)“問(wèn)題模式”？④請(qǐng)?jiān)倬幰弧巴！绷?xí)題。在習(xí)題課上，大家踴躍回答，設(shè)計(jì)了很多好題，并逐步歸納出“4個(gè)不同的球入3個(gè)不同的盒子不空”這一問(wèn)題模型，并進(jìn)一步推廣為“m個(gè)球入n個(gè)不同盒子不空”問(wèn)題模型。我因勢(shì)利導(dǎo)，再提出“m個(gè)相同的球入n個(gè)相同盒子不空”模型的解法。學(xué)生們經(jīng)過(guò)思考討論后，弄清了這兩個(gè)模型的區(qū)別，從而掌握了“兩串”數(shù)學(xué)題。當(dāng)學(xué)生們后來(lái)見(jiàn)到某省高考題中一道“四個(gè)部門任選三個(gè)風(fēng)景區(qū)中的一個(gè)去旅游（各部門選擇每個(gè)景區(qū)是等可能的），求三個(gè)景區(qū)都有部門選擇的概率”一題時(shí)，大家馬上能將其得心應(yīng)手地抽象為“四個(gè)不同的球入三個(gè)不同盒子不空”問(wèn)題模型而求解。

再如，在一習(xí)題中有一條件為“函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”。在解完此題后，不如設(shè)問(wèn)請(qǐng)學(xué)生反思：這一條件還可以用哪些形式給出？答案很多：①方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根；②若f（x）=ax2 +bx+c，存在實(shí)數(shù)m，使得af（m）<0；③已知g（x）=a（x-m）2+n，an<0 ；④已知 g（x）=a（x-m）（x-n），（m≠n）……

通過(guò)對(duì)此問(wèn)題的思考，拓展了學(xué)生的解題思路，實(shí)現(xiàn)了“一題多變，一題多用”，培養(yǎng)了他們的思維發(fā)散性和深刻性，促進(jìn)了知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化，從而提高了解題的應(yīng)變能力。

3.組織學(xué)生不斷進(jìn)行階段性反思

“學(xué)而時(shí)習(xí)之”“溫故而知新”，單元復(fù)習(xí)或階段回顧非常重要。在這一過(guò)程中，尤其需要組織和指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深刻的數(shù)學(xué)反思以構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高解題能力，并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)往往是知識(shí)點(diǎn)的積累和解題經(jīng)驗(yàn)的堆積。如何將這些知識(shí)點(diǎn)按照科學(xué)的線索有機(jī)融合為知識(shí)模塊并進(jìn)一步構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，如何將解題經(jīng)驗(yàn)上升為“居高臨下，游刃有余”的通法、解題策略或?qū)蔚膶W(xué)習(xí)加以整合感悟，以優(yōu)化適應(yīng)自己的學(xué)習(xí)方法？在平時(shí)的單元復(fù)習(xí)或期末復(fù)習(xí)中，我指導(dǎo)學(xué)生做了如下嘗試：

（1）創(chuàng)作“知識(shí)點(diǎn)方框結(jié)構(gòu)圖”。讓學(xué)生事先熟讀單元知識(shí)點(diǎn)后關(guān)上書本，按照知識(shí)點(diǎn)之間的縱向及橫向聯(lián)系，閉卷創(chuàng)作一幅“單元知識(shí)方框結(jié)構(gòu)圖”。在結(jié)構(gòu)圖右側(cè)，按知識(shí)點(diǎn)序號(hào)列出相應(yīng)的重要公式或定理。一學(xué)期下來(lái)，將各單元知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖裝訂成冊(cè)。

（2）撰寫“單元學(xué)習(xí)小結(jié)”。結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將近段時(shí)間以來(lái)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的得意與困惑、解題方法的感悟與思考、學(xué)習(xí)進(jìn)步或退步的原因剖析，以及對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心、對(duì)老師的教學(xué)建議等，寫成一篇簡(jiǎn)潔的短文，以作業(yè)的形式上交。教師做書面評(píng)析指導(dǎo)后再發(fā)還給學(xué)生保存。

（3）充實(shí)“錯(cuò)題本”。要求學(xué)生將一段時(shí)間以來(lái)在作業(yè)、練習(xí)、考試中出現(xiàn)的錯(cuò)題錄入“錯(cuò)題本”。簡(jiǎn)要地表述錯(cuò)處、錯(cuò)因以及錄入“錯(cuò)題本”時(shí)的思考，并將“錯(cuò)處、錯(cuò)因”用紅筆做出醒目記號(hào)。

以上幾種單元復(fù)習(xí)的形式，實(shí)質(zhì)上是給學(xué)生具體的反思渠道。通過(guò)“階段性”反思，學(xué)生的思維從感性上升到理性，知識(shí)印象由知識(shí)點(diǎn)集結(jié)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與情感、學(xué)習(xí)方法與效率以及教師的教學(xué)反饋與調(diào)節(jié)，都將產(chǎn)生積極有效的促進(jìn)作用。

生活中有這樣一道選擇題值得我們思考——你最難忘的人是：A.你聽說(shuō)的人；B.你有時(shí)見(jiàn)到的人；C.你天天見(jiàn)到的人；D.你在心中回憶思念著的人。答案不言而喻。要解決學(xué)生“難學(xué)”的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和信心由“負(fù)螺旋”到“正螺旋”的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)和能力至關(guān)重要。反思是提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)與能力素養(yǎng)的重要通道?！氨娎飳にО俣?，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”，但愿古人治學(xué)的最高境界在今天的新課程教學(xué)中呈現(xiàn)精彩。

（作者單位：湖南省株洲市第三中學(xué)）